随机过程习题解析.docx

1、随机过程习题解析习题一1.某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为 0.9及0.5,若随机地用一支枪，射击一发子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？2.设随机变量X的概率密度为Af (x)= x2 1【0求：(1)常数A;分布函数F(x); (3)随机变量Y = lnX的分布函数及概率分布。3.设随机变量(X, Y )的概率密度为jif (x , y) = Asi n (x + y ), 0_x ,y2方差DX , DY ; (4)协方差及相关系求： 常数A ; (2)数学期望EX, EY ; (3)数。4.设随机变量X服从指数分布kx_ ke x _ 00 x c 0求特征函数

2、 (x),并求数学期望和方差。5.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为 1和 2的泊松分布，试用特征函数求Z = X + Y随机变量的概率分布。6.名矿工陷进一个三扇门的矿井中。第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全 区。第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。第三扇门通到另一隧道，走 五个小时后，仍会使他回到这矿井中。 假定矿井中漆黑一团， 这矿工总是等可能地在三扇门 中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间 X的矩母函数。7 .设（X , Y）的分布密度为4xy,0 X c1.(1) (x, y)=0,其他&y,0 X c1.(2)枣(x,y)=*0,其他问X ,

3、 Y是否相互独立?8.设（X, Y）的联合分布密度为问：(1)1, -取何值时X , Y不相关;(2) : , 1取何值时相互独立。习题二1.设有两个随机变量 X、Y相互独立，它们的概率度分别为 fX(x)和fY(y)，定义如下随机过程：Z(t) =X Yt，t R试求Z(t)的均值函数 m(t)和相关函数R(t1 ,t2)。一 12.从t=0开始每隔一秒丢掷一次硬币(均匀的)，对每一个丢掷的时刻 t，规定随机变量2S_ cost,当时刻t掷出正面x(t)= 丿、2t, 当时刻t掷出反面试求：1 1（1）F （ 2 ； X1）, F （t1;X1） （2） F （2，1 ； X，X2）。3袋中

4、有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定 的t对应随机变量v心、 -,如果t时取得红球X (t)二 3et ,如果t时取得白球试求这个随机过程的一维分布函数族。4.设在时间区间 0,t 1内来到某商店的顾客数 X(t)是参数入的泊松过程。Yn为第n个顾客来到的时刻，求 Yn的分布函数。5.设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果 1分钟内没有车子通过的概率为 0.2,求2分钟内有多于一辆车通过的概率。6令N(t)表示0,t时间内(单位：分)顾客到达某商店的人数，设 NJ是泊松过程。根据30人。求两个顾客相继到达的时间间历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每

5、小时 隔短于4分钟的概率。7.质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动， 每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位 长），或以概率q=1 p向左移动一格，以X （n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐 标），则随机过程牧（n）, n =0,，,2, ?由于质点随机游动的独立性， 它是一个独立增量过程。 求X （ n）的概率分布及增量 X（t+ ）X （ t）的概率分布。8.求随机过程 X（t） = X sin t的一维概率密度，其中-为常数，X N（0,1）。n9.设复随机过程z（t）=、 A孑二，0 - 1，其中 Ak（ 1乞k乞n）是相互独立且服kF2从N （0 ,二k）的随机变量，二k（1

6、乞k三n）是常数，试求复随机过程 Z（ t）的均值函数与自 相关函数。10.设 汶，t -0 ?为一个独立增量过程，且 X（ 0） =0，证明X（t）是个马氏过程。11.设随机过程X(t) = X。Vt , t T，其中Xo, V是相互独立的标准正态分布变量，试证 X(t) 是- -个正态过程。212.设X(tS Vt At ，t - 0 ,其中SV、A为相互独立的正态分布变量， 试证X(t)是一个正态过程。习题二1. 一质点在区间0,4中的0,1,2,3,4上作随机游动，移动的规则是：在0点以概率1向右移动一个单位，在1,2,3点上各以概率1/3向左，向右移动一个单位或留在原处 ，试求转移概

7、率矩阵2.一个圆周上共有 N格(按顺时针排列)，一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则 是：质点总是以概率 p顺时针游动一格，以概率 q=1-p逆时针游动一格。试求移动概率 矩阵。3.一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：以概率 p从i移动到i-1,以概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。4.波利亚（polya）罐子模型波利亚（polya）罐子模型可描述如下：一个罐子装有 r格红球，I个黑球，现随机地从罐中取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进 a个同颜色的球。持续地进行这一实验过程，设 Xn表示第n次试验结束时罐中实有红

8、球的数目：Xn=i,日,I=0 , 1, 2,不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此， X n ,n -0是马氏链。使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。5.设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同 颜色的球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态 k，试用马尔可夫链描述这个模型 （称 为爱伦菲斯特模型），并求转移概率矩阵。1 , 2, 3。在不同季6 设水库的蓄水情况分为三个状态：空库、半库、蓄满。并分别记为节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为0.4 0.5 0.1R = 0.3 0.

9、3 0.4.0.1 0.7 0.2一的概率。7. 一个开关有两个状态：开、关，分别记为 1 , 2。设& 设马氏链的状态空间为1二1,2,3,其进一步转移矩阵为试研究各状态间的关系。13239 设马氏链，Xn,n-O.的状态空间,9,12，其一步转移矩阵为11。12 2 111R = 一|2 4 4L 1 20 _ _ -3 3 一试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。12121400 00 01 18 80 1试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。11 设马氏链Xn, n _0的状态空间I二0,1,2,其一步转移矩阵为试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。12 天气预报问题 若明

10、天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。并设今日有雨、明日也有雨的概率为:，今日无雨、明日也有雨的概率为 。试求：（1 ）一步转移矩阵；（2）今日有雨且第4日仍有雨的概率（设=.7, - =04）.。13 考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字 0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的数字仍与者阶段相同的转移概率为 0.75.且记第n阶段接受的数 Xn，试求进入第1阶段的数字是0，而且第5阶段被接受到的也是 0的概率。按损害的程度分为 5种状态：无损害称为3，严重损害称为状态 4，全部倒塌称为状14.设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链， 状态1,轻微损害称为状态 2，中等损害称为状态 态5。

11、设一步转移概率为-0.80.2000100.50.40.10R =000.40.50.10000.20.800001 一又设初始分布为Po(1) = 1, po(2) = O,po(3) =0, po=0, Po(5) = 0 试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少?15 设某河流每日的 BOD (生物耗氧量)浓度为齐次马氏链 Xn,n1，状态空间1 =1,2,4是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为 1, 2, 3, 4,其转移矩阵为(以天为单位)-0.50.40.10 1D 一0.20.50.20.1p -0.050.250.60.100.20.40.4 一如果BOD浓

12、度高，则称河流处于污染状态。(1)说明此马氏链为不可约非周期正常返链;(2)求此链的平稳分布；111301201 =1,2,3,4,5，其一步转移矩阵为试对其状态分类。00.50.500 10000.20.8R=0000.40.61000010000 一试研究各状态的类及周期性。17.设马氏链的状态空间0.5 0.5 0、 R = 0.5 0.5 00 0 b试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。19.设马氏链的状态空间为1二1,2,3,4，其一步转移矩阵为00101000P1 =0.30.7000.60.20.20试对各状态进行分类。20.设X （t）,t _0为一个时间连续的马氏链，其状

13、态空间1二0,1。假定X（t）在时间段t 内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为 ：t 。（人t），未曾改变状态的概率为。（八t）。试求时间t时的转移概率1 - A oC ：t），而在这段时间内改变多于一次的概率为习题四试判断其连续性和可微21.已知随机过程 X(t)的自相关函数为 RX( - )=- exp - ?性。tp2.随机初相信号 X(t)=Acos(t+ ),试中A和均为常数，已知 mX(t)=O,T2 RX( - )=A co t/2, =t s。信号 X(t)在时间 T 内的积分值为 Y(T)= 0 X(t)dt,试求 Y(T) 的均值和方差。2 r 23.讨论随机过程

14、 X(t)=At +Bt+C,(其中A , B, C独立同分布且服从 N(0,、)的均方连续1 tX(s)ds的均值函数和相关函数。性、均方可微性和均方可积性。并求 X / (t),Y(t)= t2 24.讨论随机过程X(t),(其中X(t)的均值为0，相关函数R(s,t)=1/a +(s t)的均方连续性、均方可微性1 t和均方可积性。并求 X / (t),Y(t)= t 0 X(s)ds的均值函数和相关函数。习题五1.设Z(t)=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为爻、Y.、-12p2/31/3证明Z(t)是宽平稳过程。2设X(t) =Acost - B

15、sint，其中是常数，A,B是相互独立，且都服从正态分布N(0f2)的随机变量，试证明 Z(t)是平稳过程。3设随机过程 X(t) =cos t，其中是在0,2二上均匀分布的随机变量，试证(1)Xn =X(n) =cos, n =0, 一1,_2， 是一个平稳序列。(2) X(t), ，不是一个平稳过程。4 设随机过程 X(t)=f(t ；)其中f(t)是周期为T的波形，；在区间内为均匀分布的随 机变量，证明 X(t)是平稳过程。5设随机过程X(t)由下列三个样本函数组成，且等概率发生，X(t,e-i) =1， X (t, e2 si nt， X (t, e3 cost问：(1 )计算均值mx

16、(t)和自相关函数Rx(t1,t2)；(2)该随机过程 X(t)是否平稳。6设随机过程 X(t)=Asin(2兀t+ 62)其中A为常数，91和62为相互独立的随机变量。 01的概率密度为偶函数，62在L.二二1内均匀分布。证明：(1)X(t)为平稳过程；(2)X(t)是均值遍历的(3)习题六时，Xn 关于Yn 是下鞅；当 ： 0时，Xn，关于；Yn 是上鞅。:Xn;关于丫;是鞅。2.设Yn (n =，1,2，)表示生灭过程各代的个体数，且 丫0 ，任意一个个体生育后代的分布为均值”，证明Xn =Yn是一个关于 % 的鞅。1X X P(Xi =1) = P(Xi =1)= 4.(公平博弈的问题

17、)设X1，X2，独立同分布，分布函数为 2，于是，可以将 Xi看作一个投硬币的游戏的结果：如果出现正面就赢 1元，出现反面则输1元：假设我们按以下的规则来赌博， 每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍， 直到赢了赌 博即停，令Wn表示第n次赌博后所输(或赢)的总钱数，Wo = 0，则Wn是关于Xl，X2，Xn 的鞅。5.设B(t)是布朗运动，则2(1)B (t) -t 是鞅；2expuB(t) -中(2)对任何的实数u , 2 是鞅。习题七1.通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义?2.假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为 20元，估算的时间为一年。在一年结束时，若资产价值按正态

18、分布， 其期望值为10,标准差为1,那么在两年期结束时, 资产价值的期望值和标准差是多少？3.假定有一支股票价格 S遵循一般维那过程，即dS= dr -dW ,在第一年中，=2，二=3，若股票价格的初始值为 30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少?4.考虑一种无红利支付的股票，假定价格 S遵循过程：S 二 .：t其中每年预期收益率为 - 0.1 （以连续复利计），漂移率为-0.3，若初始值为S=20元,试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？习题八0B2(S)dB(s)8B3(t)-.0B(s)ds,k_2并求出E B4（t）,，E B6（t的值。4.设B(t)是标

19、准布朗运动，It =1 (B(u),0岂U乞t)，利用伊托公式证明下列随机过程是关于It的连续鞅。t(1)X (t) = e2 cos B(t)；t(2)X(t)二 esin B(t)习题九1.若某种股票的初始价格为 30美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月后，该股票价格的概率分布是什么？并判断在置信度为 95%时股票价格的变化范围。2.假设某种股票当前的价格为 15元，每年的预期收益率为 12%，每年的波动率为 20%，则在一年后股票价格的均值和方差是多少？3.假设有一股票，其期望收益率为 16%，波动性为30%，某天其股票价格为 40元，计算如下问题：（1）预期下一天的股

20、票价格为多少？ （ 2）下一天该股票的标准差为多少？（3）下一天该股票95%的置信度区间为多少？4.股票A和股票B均符合几何布朗运动，在任何短时间内二者的变化是不想关的，问由 一股股票A和一股股票 B构成的证券组合的价值是否也遵循几何布朗运动？请解释原 因。5.若某种股票价 格S遵循几何 布朗运动，其期望收益 率为 ，波动率为 二，即dS=J Sdt+匚SdW 则变量“ S”也遵循几何布朗运动习题十1.求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。 其中股票的价格为52元，执行价格为50元,无风险利率是5%，年波动率为30%,到期日为3个月。2 求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格， 其中股票的价格为 69 元，执行价格为 70元， 无风险利率是 5%，年波动率为 35%，到期日为 9 个月。3 假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，此时股票价格为 22 元，股票期权的协定价格是 20 元，无风险利率是 5% ，每年的易变性是 20%。4 求无红利支付股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。无红利支付股票的期权，股票的 价格为 30 元，执行价格为 29 元，无风险利率是 5%，年波动率为 25% ，到期日为 4 个 月。问：(1)如果是一个欧式看涨期权，计算其价格 ;(2) 如果这是一个欧式看跌期权，计算其价格。