课时作业1.docx
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课时作业1
课时作业
(一)
1.集合M={x∈N*|x(x-3)<0}的子集个数为( )
A.1 B.2
C.3D.4
答案 D
解析 ∵M={x∈N*|x(x-3)<0}
={x∈N*|0={1,2},
∴M的子集个数为22=4.选D.
2.设U=R,集合A={y|y=
,x>1},B={-2,-1,1,2},则下列结论正确的是( )
A.(∁UA)∩B={-2,-1}B.(∁UA)∪B=(-∞,0)
C.A∪B=(0,+∞)D.A∩B={-2,-1}
答案 A
解析 ∵A={y|y=
,x>1}={y|y>0},
∴∁UA={y|y≤0}.选A.
3.已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是( )
A.2B.3
C.4D.8
答案 C
解析 共有{2},{2,0},{2,1},{2,0,1}4个.
4.(2012·安徽)设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=( )
A.(1,2)B.[1,2]
C.[1,2)D.(1,2]
答案 D
解析 由-3≤2x-1≤3,得-1≤x≤2.
要使函数y=lg(x-1)有意义,须x-1>0,
∴x>1.∴集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x>1}.
∴A∩B={x|15.集合M={x|x=1+a2,a∈N*},P={x|x=a2-4a+5,a∈N*},则下列关系中正确的是( )
A.MPB.PM
C.M=PD.M
P且P
M
答案 A
解析 P={x|x=1+(a-2)2,a∈N*},当a=2时,x=1,而M中无元素1,P比M多一个元素.
6.如图所示的韦恩图中,A,B是非空集合,定义集合A@B为阴影部分所表示的集合.若x,y∈R,A={x|0≤x≤2},B={y|y=3x,x>0},则A@B=( )
A.{x|0<x<2}B.{x|1<x≤2}
C.{x|0≤x≤1或x≥2}D.{x|0≤x≤1或x>2}
答案 D
解析 依据定义,A@B就是将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合.B={y|y>1},依据定义得:
A@B={x|0≤x≤1或x>2}.
7.(2011·陕西)设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N={x||x-
|<
,i为虚数单位,x∈R},则M∩N为( )
A.(0,1)B.(0,1]
C.[0,1)D.[0,1]
答案 C
解析 对于集合M,函数y=|cos2x|,其值域为[0,1],所以M=[0,1].根据复数模的计算方法得不等式
<
,即x2<1,所以N=(-1,1),则M∩N=[0,1).正确选项为C.
8.设集合A={x|
+
=1},B={y|y=x2},则A∩B=( )
A.[-2,2]B.[0,2]
C.[0,+∞)D.{(-1,1),(1,1)}
答案 B
解析 ∵A={x|-2≤x≤2},B={y|y≥0},
∴A∩B={x|0≤x≤2},选B.
9.(2013·山东济宁)已知集合A={x|log2x<1},B={x|00).若A∪B=B,则c的取值范围是( )
A.(0,1]B.[1,+∞)
C.(0,2]D.[2,+∞)
答案 D
解析 A={x|010.(2012·重庆)设平面点集A={(x,y)|(y-x)(y-
)≥0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
A.
πB.
π
C.
πD.
答案 D
解析
不等式(y-x)(y-
)≥0可化为
或
集合B表示圆(x-1)2+(y-1)2=1上以及圆内部的点所构成的集合,A∩B所表示的平面区域如图阴影部分所示.由于曲线y=
,圆(x-1)2+(y-1)2=1均关于直线y=x对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选D项.
11.(2013·衡水调研)设集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________.
答案 {1,2,3}
12.a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,
,b},则b-a等于______.
答案 2
解析 利用集合相等的定义,后面集合中含有元素0,前面集合中也必含有元素0,且只可能a+b或a为0.注意后面集合中含有元素
,故a≠0,只能a+b=0,即b=-a.集合变成了{1,0,a}={0,-1,-a},显然a=-1,b=1,b-a=2.
13.(2013·南昌模拟)设集合P={(x,y)|x+y<4,x,y∈N*},则集合P的非空子集个数是________.
答案 7
解析 当x=1时,y<3,又y∈N*,因此y=1或y=2;当x=2时,y<2,又y∈N*,因此y=1;当x=3时,y<1,又y∈N*,因此这样的y不存在.综上所述,集合P中的元素有(1,1)、(1,2)、(2,1),集合P的非空子集的个数是23-1=7.
14.已知集合A、B与集合A@B的对应关系如下表:
A
{1,2,3,4,5}
{-1,0,1}
{-4,8}
B
{2,4,6,8}
{-2,-1,0,1}
{-4,-2,0,2}
A@B
{1,3,5,6,8}
{-2}
{-2,0,2,8}
若A={-2010,0,2011},B={-2010,0,2012},试根据图表中的规律写出A@B=________.
答案 {2011,2012}
15.设集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定义A*B={(x,y)|x∈A∩B,y∈A∪B},则A*B中元素的个数为________.
答案 10
解析 由题知,A∩B={0,1},A∪B={-1,0,1,2,3},所以满足题意的实数对有(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),共10个,即A*B中的元素有10个.
16.已知集合A={a1,a2,a3,…,an},n∈N*且n>2,令TA={x|x=ai+aj,ai,aj∈A,1≤i①若A={2,4,8,16},则card(TA)=________;
②若ai+1-ai=c(1≤i≤n-1,c为非零常数),则card(TA)=________.
答案 6 2n-3
解析 在理解新定义的基础上,应用新定义解决问题.①由新定义可得TA={6,10,18,12,20,24},该集合中有6个元素,故card(TA)=6.②由ai+1-ai=c(c为常数,1≤i≤n-1)可知,集合A中的元素构成等差数列,即A={a1,a1+c,a1+2c,…,a1+(n-1)c},因为c≠0,所以TA={2a1+c,2a1+2c,…,2a1+(n-1)c,2a1+nc,…,2a1+(2n-3)c},共有2n-3个元素,故card(TA)=2n-3.
17.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.
(1)9∈A∩B;
(2){9}=A∩B.
答案
(1)a=5或a=-3
(2)a=-3
解析
(1)∵9∈A∩B且9∈B,∴9∈A.
∴2a-1=9或a2=9.∴a=5或a=±3.
而当a=3时,a-5=1-a=-2,故舍去.
∴a=5或a=-3.
(2)∵{9}=A∩B,∴9∈A∩B.
∴a=5或a=-3.
而当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},
此时A∩B={-4,9}≠{9},故a=5舍去.
∴a=-3.
讲评 9∈A∩B与{9}=A∩B意义不同,9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素,但A与B允许有其他公共元素.而{9}=A∩B说明A与B的公共元素有且只有一个9.
18.已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)·(x-3a)<0}.
(1)若AB,求a的取值范围;
(2)若A∩B=∅,求a的取值范围;
(3)若A∩B={x|3<x<4},求a的取值范围.
答案
(1)
≤a≤2
(2)a≤
或a≥4 (3)3
解析 ∵A={x|x2-6x+8<0},
∴A={x|2<x<4}.
(1)当a>0时,
B={x|a<x<3a},应满足
⇒
≤a≤2.
当a<0时,B={x|3a<x<a},应满足
⇒a∈∅.
∴
≤a≤2时,AB.
(2)要满足A∩B=∅,
当a>0时,B={x|a<x<3a},a≥4或3a≤2,
∴0<a≤
或a≥4.
当a<0时,B={x|3a<x<a},a≤2或a≥
.
∴a<0时成立.验证知当a=0时也成立.
综上所述,a≤
或a≥4时,A∩B=∅.
(3)要满足A∩B={x|3<x<4},显然a>0且a=3时成立.
∵此时B={x|3<x<9},而A∩B={x|3<x<4},
故所求a的值为3.
1.设集合B={a1,a2,…,an},J={b1,b2,…,bm},定义集合B⊕J={(a,b)|a=a1+a2+…+an,b=b1+b2+…+bm},已知B={51,21,28},J={89,70,52},则B⊕J的子集为( )
A.(100,211)B.{(100,211)}
C.∅,{100,211}D.∅,{(100,211)}
答案 D
解析 求一集合的子集,其中必有∅,又因为集合B⊕J是点集,观察选项,可得答案为D项.
2.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必有xy∈S”,则当
时,
b+c+d等于( )
A.1B.-1
C.0D.i
答案 B
解析 根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c2=-1,得c=±i,因对任意x,y∈S必有xy∈S,所以当c=i时,d=-i;当c=-i时,d=i,所以b+c+d=-1.
3.(2011·安徽)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57B.56
C.49D.8
答案 B
解析 由题意知,集合S的个数为26-23=64-8=56.
4.已知集合A=B={0,1},集合C={u|u=xy,x∈A,y∈B},则集合C的子集个数是( )
A.4B.7
C.8D.16
答案 A
解析 ∵C={u|u=xy,x∈A,y∈B},
∴C={0,1},故C的子集个数为22个.
5.(2012·重庆)设函数f(x)=x2-4x+3,g(x)=3x-2,集合M={x∈R|f(g(x))>0},N={x∈R|g(x)<2},则M∩N为( )
A.(1,+∞)B.(0,1)
C.(-1,1)D.(-∞,1)
答案 D
解析 函数f(x)=(x-3)(x-1),令f(x)>0,得x>3或x<1,不等式f(g(x))>0可化为g(x)>3或g(x)<1,即3x-2>3或3x-2<1,分别求解得x>log35或x<1,即M={x∈R|x>log35或x<1},N={x∈R|3x-2<2}={x∈R|x6.已知全集U={y|y=log2x,x>1},集合P={y|y=
,x>3},则∁UP=( )
A.[
,+∞)B.(0,
)
C.(0,+∞)D.(-∞,0]∪[
,+∞)
答案 A
解析 因为函数y=log2x在(0,+∞)上为增函数,所以当x>1时,y>log21=0,故U=(0,+∞);因为函数y=
在(0,+∞)上为减函数,故当x>3时,0,故P=(0,
).显然P⊆U,故∁UP=[
,+∞),所以选A.
7.定义集合运算:
A⊙B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设集合A={-2013,0,2013},B={lna,ea},则集合A⊙B的所有元素之和为( )
A.2013B.0
C.-2013D.ln2013+e2013
答案 B
解析 因为A⊙B={z|z=xy,x∈A,y∈B},
所以当x=0时,无论y取何值,都有z=0;
当x=-2013,y=lna时,z=(-2013)×lna=-2013lna;
当x=2013,y=lna时,z=2013×lna=2013lna;
当x=-2013,y=ea时,z=(-2013)×ea=-2013ea;
当x=2013,y=ea时,z=2013×ea=2013ea.
故A⊙B={0,2013lna,-2013lna,2013ea,-2013ea}.
所以A⊙B的所有元素之和为0+2013lna+(-2013lna)+2013ea+(-2013ea)=0.
8.设集合P={3,log2a},Q={a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=( )
A.{3,0}B.{3,0,1}
C.{3,0,2}D.{3,0,1,2}
答案 B
解析 因为P∩Q={0},所以0∈P,log2a=0,a=1,而0∈Q,所以b=0.所以P∩Q={3,0,1}.
9.(2012·天津)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
答案 -1 1
解析 ∵A={x∈R||x+2|<3},∴|x+2|<3.
∴-3又∵B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),
∴-1是方程(x-m)(x-2)=0的根,n是区间(-5,1)的右端点.
∴m=-1,n=1.
10.设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0}.若(∁UA)∩B=∅,则m的值是______.
答案 1或2
思路 本题中的集合A,B均是一元二次方程的解集,其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(∁UA)∩B=∅对集合A,B的关系进行转化.
解析 A={-2,-1},由(∁UA)∩B=∅,得B⊆A.
∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠∅.
∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.
①若B={-1},则m=1;
②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};
③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.
经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.
11.已知集合U={1,2,3,4},M={x|x2-5x+p=0},若∁UM={2,3},则实数p的值为________.
答案 4
解析 ∵∁UM={2,3},U={1,2,3,4},∴M={1,4}.
∴1,4是方程x2-5x+p=0的两根,∴p=1×4=4.
12.(2013·衡水调研卷)若数列{an}是等差数列,公差为d且d≠0,a1、d∈R,{an}的前n项和记为Sn,设集合P={(x,y)|
-y2=1,x、y∈R},Q={(x,y)|x=an,y=
,n∈N*},给出下列命题:
①集合Q表示的图形是一条直线;
②P∩Q=∅;
③P∩Q只有一个元素;
④P∩Q至多有一个元素.
其中正确的命题序号是________.(注:
把你认为是正确命题的序号都填上)
答案 ④
解析 依题意得y=
=
=
x+
a1,即集合Q中的元素是直线x-2y=-a1上的一系列点,因此①不正确;注意到直线y=
x+
a1与双曲线
-y2=1的一条渐近线y=
x平行或重合,因此直线y=
x+
a1与
双曲线
-y2=1至多有一个公共点,于是集合P∩Q中最多有一个元素,因此②③都不正确,④正确.
13.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.
答案 m∈(-∞,3]
解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤5},
当B=∅时,由m+1>2m-1,解得m<2.
当B≠∅时,则
解得2≤m≤3.
综上可知,m∈(-∞,3].
讲评 空集在以下两种情况下容易忘记:
①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中,方程或不等式无解时的情况容易漏掉;②在A∪B=B、A∩B=A中,容易忽视A=∅的情况.
14.
(1)已知R为实数集,集合A={x|x2-3x+2≤0}.若B∪∁RA=R,B∩∁RA={x|0(2)已知集合M={a,0},N={x|x2-3x<0,x∈Z},而且M∩N={1},记P=M∪N,写出集合P的所有子集.
解析
(1)∵A={x|1≤x≤2},∴∁RA={x|x<1或x>2}.
又B∪∁RA=R,A∪∁RA=R,可得A⊆B.而B∩∁RA={x|0∴{x|0借助于数轴可得B=A∪{x|0(2)由x2-3x<0,得0由M={a,0}且M∩N={1},可得a=1.
∴M={1,0},P={1,2}∪{1,0}={0,1,2}.
故P的子集为:
∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}.