衡水名师原创数学专题卷专题十三《圆锥曲线与方程》详解.docx
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衡水名师原创数学专题卷专题十三《圆锥曲线与方程》详解
2021衡水名师原创数学专题卷
专题十三《圆锥曲线与方程》
考点40：
椭圆及其性质（1-3题，9-11题，13,14题）
考点41：
双曲线及其性质（4,5题，6-10题，15题）
考点42：
抛物线及其性质（6,7题，16题）
考点43：
直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题）
考点44：
圆锥曲线的综合问题（8题，16题，17-22题）
考试时间：
120分钟满分：
150分
说明：
请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围（）
A. B.C.D.
2.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
3.已知椭圆的短袖长为2，上顶点为，左顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
4.设点是双曲线与圆在第一象限的交点,分别是双曲线的左、右焦点,且,则双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
5.若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
6.已知F是抛物线的焦点，抛物线C上动点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则（）
A.B.C.D.
7.已知抛物线与直线交于两点.若（为坐标原点）,则实数（）
A.B.C.1D.2
8.已知点是椭圆与双曲线的公共焦点,点是它们在第一象限的公共点,满足.若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的取值范围为（）
A.B.C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
）
9.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，，…组成公差为的等差数列，则（）
A．该椭圆的焦距为6B．的最小值为2
C．的值可以为D．的值可以为
10.已知过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点,过原点与弦的中点D的直线交直线于点E,若为等腰直角三角形,则直线l的方程为（）
A.B.
C.D.
11.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为点，若它的右焦点到直线的距离为，且椭圆上有一点，则（）
A.椭圆方程为B.离心率
C.D.
12.抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于两点,交抛物线C的准线于D,若,则
A.
B.直线的方程为
C.点B到准线的距离为6
D.（O为坐标原点）的面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
）
13.设是椭圆的左、右焦点，椭圆上一点P满足，则点P的横坐标为.
14.已知点，椭圆上两点满足，则当____________________时，点横坐标的绝对值最大.
15.过点）作直线与双曲线相交于两点,且为线段的中点,则直线的方程（表示为一般式）为____________.
16.已知抛物线，过C的焦点的直线与C交于A，B两点。
弦长为2，则线段的中垂线与x轴交点的横坐标为__________．
四、解答题（本题共6小题，共70分。
）
17.（本题满分10分）如图，点为圆上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线
与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存
在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.
18.（本题满分12分）已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限．
（1）求切点的纵坐标；
（2）有一离心率为的椭圆恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线的斜率分别为，，，若，求椭圆的方程．
19.（本题满分12分）已知抛物线为抛物线的焦点．以为圆心，为半径作圆，与抛物线在第一象限交点的横坐标为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线交于两点，过分别作抛物线的切线，设切线的交点为，求证：
为直角三角形.
20.（本题满分12分）已知抛物线的焦点为,直线，直线与的交点为，同时直线，直线与的交点为,与轴交于点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若求的长.
21.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点，直线，若动点在直线上的射影为，且，设点的轨迹为.
（1）求的轨迹方程；
（2）设直线与曲线相交与两点，试探究曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（本题满分12分）椭圆将圆的圆周分为四等份,且椭圆的离心率为.
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于不同的两点,且的中点为,线段的垂直平分线为,直线与轴交于点,求的取值范围.
参考答案及解析
1.答案：
C
解析：
直线恒过定点，
直线与椭圆恒有公共点,即点在椭圆内或椭圆上，
∴，即，又，
∴或.
故选：
C.
2.答案：
A
解析：
由,椭圆，
作出椭圆图象如图：
则.
由题意可得：
，
∴，
∴.
∴（负值舍去）.
故选：
A.
3.答案：
D
解析：
由已知的，故.∵的面积为，
∴，∴.
又∵，
∴，
∴.
又,∴,
∴.
∴的取值范围为.
4.答案：
B
解析：
点到原点的距离为.因为在中,,所以,所以是直角三角形,即.由双曲线的定义知.又因为,所以.在中,由勾股定理,得,解得.故选B.
5.答案：
A
解析：
将直线代入双曲线方程,并整理得.
以题意,直线与双曲线的右支交于不同两点,故,故选A.
6.答案：
D
解析：
过点A作x轴的垂线，垂足是C，交的延长线于点D.
设，则，，
，即，，
，
，
联立①②③解得，
.
7.答案：
B
解析：
设,联立消去得,故.易知.因为,故,故.因为,故,即,解得.
8.答案：
D
解析：
因为,所以点在的垂直平分线上.由题意知椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为.设半焦距为,则所以,所以,当且仅当时取“=”.故的取值范围为.故选D.
9.答案：
ABC
解析：
由椭圆，得，故A正确；，故B正确；设组成的等差数列为，由已知可得该数列是单调递增数列，则
，又，所以，所以，所以的最大值是，故C正确，D错误.故选ABC.
10.答案：
AC
解析：
易知,则由题意可设直线,代入双曲线C的方程,消去x,整理得,设,由根与系数的关系,得,,即
所以直线的方程为,令,得,即
所以直线的斜率为,,则必有,即,解得,又,
从而直线l的方程为或
11.答案：
BC
解析：
，
直线的表达式为，即.
又，
点到直线的距离为,
即.
又，
，
即,
，
故离心率，故选项B正确;
设椭圆方程为，代人点得，
，故选项A错误；
又，可得，故选项C正确；
，故选项D错误，故选BC.
12.答案：
BCD
解析：
如图,不妨令点B在第一象限,设点K为准线于x轴的交点,分别过点作抛物线的准线的垂线,垂足分别为,,所以点F为的中点,又,所以中,,
则点B到准线的距离为6,故C正确;,则,故A错误;由,易得,所以直线的方程为,故B正确;连接,故D正确,故选BCD.
13.答案：
3
解析：
由椭圆的定义，得.而，所以.
设点P的坐标为，则.
联立得方程组消去y并整理，得，
解得或（舍去）.所以点P的横坐标为3.
14.答案：
5
解析：
设，，
当直线斜率不存在时，，.
当直线斜率存在时，设为.联立得，，，
.
∵，∴，解得，.
∴（当且仅当时取“”）.
，，得，
∴当时，点横坐标最大.
15.答案：
解析：
由双曲线的标准方程：
，设，，
可设直线的方程为，
代入，整理得 ①，
则是方程①的两个不同的根，
所以，且，
由是的中点得，
，
解得，
直线的方程为.
故答案为：
.
16.答案：
解析：
由题意得，抛物线，则其焦点为，
又过C的焦点的直线与C交于两点，，
当斜率不存在时，直线，代入C得，
解得，则，与题干相矛盾。
故斜率存在，设斜率为k,则直线的方程为，
联立直线与抛物线C的方程，得，
整理得，
设，则，，
则，
即，解得，
设中点，则，
故点的坐标为，
设线段的中垂线与x轴交点的横坐标为，
故直线的斜率为，
且，
则，化简得，
因为，故.
17.答案：
（1）设，，则，，
由题意知，所以为中点，
由中点坐标公式得，即，
又点在圆：
上，故满足，
得.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
因为，故，即①，
联立，消去得：
，
设，，
，，
，
因为为平行四边形，故，
点在椭圆上，故，整理得，②，
将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.
解析：
18.答案：
（1）设切点则有，
由切线的斜率为，
得的方程为，
又点在上所以，即，
所以点A的纵坐标．
（2）由
（1）得，切线斜率，
设，切线方程为，
由得又，
所以．
所以椭圆方程为且过，
所以．
由得，
所以，
又因为，
即
解得，所以,
所以椭圆方程为.
解析：
19.答案：
（1）记抛物线与圆在第一象限的交点为.由题意可得：
圆与抛物线的准线相切，且到抛物线准线的距离等于圆的半径.所以点的坐标为，代入抛物线方程得：
，所以.
（2）设由得，求导得，所以两点处切线斜率分别为
由得
所以，所以，所以,即为直角三角形.
解析：
20.答案：
解：
（1）得：
.
设，
由求根公式得:
，，.
则.
⑵设直线，
得：
.
，
设，
可知，，，，
.
解之得：
或.
，
当时，；当时，.
解析：
21.答案：
解：
（1）设，由得，平方化简得.
（2）设，联立，得，即，所以.
假设存在点使得四边形为平行四边形，则，所以，所以.
由点在曲线上得，代入得，解得.
所以当时，曲线上存在点使得四边形为平行四边形，此时点的坐标为或者.当，曲线上不存在点使得四边形为平行四边形.
解析：
22.答案：
（1）不妨取第一象限的交点为,由椭圆将圆的圆周分为四等份,知.
所以.
因为点在椭圆上,所以.①
因为,所以.②
①②联立,解得.
所以椭圆的方程为.
（2）设,则两式相减,得.
又因的中点为,所以.
所以直线的斜率.
当时,直线的方程为,直线即轴,此时.
当时,直线的斜率.
所以直线的方程为,即.
令,则.
因为点在椭圆内部,所以.
所以,所以.
综上所述,的取值范围为.
解析：
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