三角形的性质及其应用讲义.docx

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三角形的性质及其应用讲义

三角形的三线及面积（讲义）

一、知识点睛：

1.三角形的三线：

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．

（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．

（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．

如图，在△ABC中，作出AC边上的高线．

________即为所求．

2.面积问题：

（1）处理面积问题的思路

①_____________________________；

②_____________________________；

③_____________________________．

（2）处理面积问题方法举例

①利用平行转移面积

如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．

②利用等分点转移面积

两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比．

二、精讲精练：

1.如图，△ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：

①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABC的中线．其中（）

A．①②都正确B．①②都不正确

C．①正确，②不正确D．①不正确，②正确

2.如图所示，在△ABC中，BC边上的高是_______，AB边上的高是_______；在△BCE中，BE边上的高是________，EC边上的高是_________；在△ACD中，AC边上的高是________，CD边上的高是________．

3.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．都有可能

4.如图，在正方形ABCD中，BC=2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于_________．

5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE．若梯形ABCD的面积为25cm2，则△BDE的面积为__________．

第5题图第6题图

6.正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为____________．

7.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_______个．

第7题图第8题图

8.在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_______个．

9.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC的面积是_______．

10.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC=16，则S△DEF=_____________．

11.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=（）

A．1B．2C．3D．4

12.如图所示，S△ABC=6，若S△BDE=S△DEC=S△ACE，则S△ADE=______．

13.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是3，7，7，则△EDF的面积是_______，△AEF的面积是______．

14.如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是_____________．

15.如图，在长方形ABCD中，△ABP的面积为20cm2，△CDQ的面积为35cm2，则阴影四边形EPFQ的面积是_________．

16.如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_________．

【参考答案】

一、知识点睛

1.

（1）线段，在三角形内部，重心．

（2）线段，在三角形内部，内心．

（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部．

作图略

2.

（1）①公式法；②割补法；③转化法．

（2）②对应高，对应底．

二、精讲精练

1.C

2.AF，CE；CE，BE；DC，AC．

3.C

4.2

5.25cm2

6.16

7.6

8.5

9.12

10.2

11.B

12.1

13.3，15

14.144cm2

15.55cm2

16.2

三角形的三线及面积（随堂测试）

1.现有2cm，3cm，4cm，5cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.如图，一个面积为50cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则△ABC的面积是___________．

3.已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则点C的个数是_______个（在图中标出点C的位置）．

4.如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，若△ABC的面积是8cm2，则△BEF的面积是______．

【参考答案】

1.C

2.25cm²

3.10

4.2cm²

三角形的三线及面积（习题）

例1：

已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为__________个．

【思路分析】

连接AB，则AB作为△ABC的底，要使△ABC的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可．具体操作：

1先在AB的一侧找一个点C，使△ABC的面积为1，过点C作AB的平行线；

2再在AB的另一侧找一个点C，使△ABC的面积为1，过点C作AB的平行线．

如图所示：

共6个．

例2：

如图，将△ABC的三边AB，BC，CA分别延长至D，E，F，且使BD=AB，CE=2BC，AF=3AC．若

，则

_______．

【思路分析】

1观察图形，结合题目条件，题目中较多的等分点，可利用等分点转移面积；

2连接CD，则△ABC和△BCD为同高的三角形，面积比等于底边之比，结合已知条件

，可求出

；

3△BCD和△CDE也是同高的三角形，面积比等于底边之比，可求得

；

4同理，连接AE，可求出

和

；

5连接BF，可求出

和

，最终求得

．

1.现有2cm，4cm，6cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，则A，B间的距离不可能是（）

A．20米B．15米C．10米D．5米

第2题图第3题图

3.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）

A．AC是△ABC的高B．DE是△BCD的高

C．DE是△ABE的高D．AD是△ACD的高

4.在直角三角形，钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．都有可能

5.在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是_______个．

6.如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE=4，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为___________．

7.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，那么阴影部分的面积是_________．

8.已知：

如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD=2CD，AD，BE，CF交于一点G，S△BGD=8，S△AGE=3，那么△ABC的面积是____________．

9.如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若S△EDC=6，S△BEC=18，则△AEB的面积是____________，△AED的面积是___________．

10.如图所示，在△ABC中，点D是AB的中点，点E在边BC上，CE=2BE，若△ABC的面积为6，则△BDE的面积是____．

11.四边形ABCD与AEFG均为正方形，若△ABH的面积为6cm2，则图中阴影部分的面积是______________．

【参考答案】

例1：

6

例2：

18

1.A

2.D

3.C

4.B

5.5

6.8

7.1cm²

8.30

9.62

10.1

11.6cm²

三角形综合应用（讲义）

一、知识点睛

在三角形背景下处理问题的思考方向：

1.三角形中的隐含条件是：

___________________________________________________；

___________________________________________________；

___________________________________________________．

2.角平分线出现时采用______________解决问题．

3.高线出现时考虑__________或__________．

二、精讲精练

1.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.

如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（）

A．5B．6C．7D．10

3.下列五种说法：

①三角形的三个内角中至少有两个锐角；

②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不少于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）．

4.如图，在三角形纸片ABC中，∠A=60°，∠B=55°．将纸片一角折叠使点C落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为_________．

第4题图第5题图

5.如图，一个五角星的五个角的和是________．

6.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．

7.如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，则∠AEC=________；如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=α，∠ABC=β，则∠AEC=_______________．

图1图2

8.探究：

（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，

猜想∠P和∠A有何数量关系？

（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角

∠ACE，猜想

P和∠A有何数量关系？

（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE，猜想∠P和

∠A有何数量关系？

图1图2图3

9.如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OE⊥BC于点E．

（1）∠ABO+∠BCO+∠CAO的度数为____________；

（2）∠BOD和∠COE的数量关系是________________．

第9题图第10题图

10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．

（1）若AB=6，AC=8，BC=10，则AD=____________；

（2）若AB=2，BC=3，则AC:

AD=____________．

11.如图，在△ABC中，若AB=2cm，AC=3cm，BC=4cm，AD，BF，CE为△ABC的三条高，则这三条高的比

AD:

BF:

CE=____________________．

12.如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．

（1）若AB=8，△ABC的面积为14，则PD+PE的值是多少？

（2）过点B作BF⊥AC于点F，求证：

PD+PE=BF．

【参考答案】

一、知识点睛

1.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

三角形内角和等于180°；

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

2.设元

3.互余，面积

二、精讲精练

1.B

2.C

3.①③⑤

4.130°

5.180°

6.360°

7.35°；

（α+β）

8.

（1）∠P=90°+

∠A；

（2）∠P=

∠A；

（3）∠P=90°-

∠A

9.

（1）90°

（2）∠BOD=∠COE

10.

（1）

（2）3:

2

11.3:

4:

6

12.

（1）

（2）证明略

三角形综合应用（随堂测试）

5.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=___________．

6.如图，点E，D分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，CF，EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B=65°，∠D=45°，则∠F的度数为________．

7.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，已知∠A=40°，∠B=72°，求∠FDE的度数．

【参考答案】

5.180°

6.55°

7.16°

三角形综合应用（习题）

例1：

如图，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，CE⊥BD交BD的延长线于点E．

求证：

∠DCE=∠CAD．

【思路分析】

1看到条件BD，CD平分∠ABC，可知AD也平分∠BAC，得到：

，

，

；

2根据CE⊥BD，得

，所以

；

3题目所求为∠DCE=∠CAD，若能够说明

即可；

4根据三角形的内角和定理得：

，

所以

，再根据三角形的外角定理可知

，所以

，证明成立．

【过程书写】

证明：

如图，

∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB

∴

，

，

在△ABC中，

∴

∵∠EDC是△BCD的一个外角

∴

∴

∵CE⊥BE

∴

∴

∴∠DCE=∠CAD

1.满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A．∠B+∠A=∠C

B．∠A:

∠B:

∠C=2:

3:

5

C．∠A=2∠B=3∠C

D．一个外角等于和它相邻的一个内角

2.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=___________．

3.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________．

第3题图第4题图

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠CAB与∠CBA的平分线相交于点O，则∠AOB=__________．

5.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与外角平分线CE的反向延长线交于点D，若∠A=30°，则∠D=________．

第5题图第6题图

6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于E，若∠B=40°，∠C=70°，则∠DFE=________．

7.如图，在△ABC中，若AB=2cm，BC=4cm，则△ABC的高AD与CE的比是__________．

8.如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=60°，求∠CAD及∠AOB的度数．

9.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于E，CF⊥AD于H，交AB于F．下列说法中正确的有_______________（填序号）．

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的边CF上的高；⑤BG是△ABD的中线．

【参考答案】

1.C

2.270°

3.360°

4.135°

5.15°

6.15°

7.1:

2

8.∠CAD=30°，∠AOB=120°

9.③④⑤