1、三角形的性质及其应用讲义三角形的三线及面积(讲义)一、知识点睛:1. 三角形的三线: (1)在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的_,叫做这个三角形的中线,三角形的三条中线_交于一点,这点称为三角形的_(2)在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的_叫做三角形的角平分线,三角形的三条角平分线_交于一点,这点称为三角形的_(3)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的_叫做三角形的高线(简称三角形的高),三角形的三条高_交于一点,这点称为三角形的_;锐角三角形的三条高线及垂心都在其_,直角三角形的垂心是_,钝角三角形的垂心和两条高线在其_如图,在
2、ABC中,作出AC边上的高线 _即为所求2. 面积问题:(1)处理面积问题的思路_;_;_(2)处理面积问题方法举例利用平行转移面积如图,满足SABP=SABC的点P都在直线l1,l2上利用等分点转移面积两个三角形底相等时,面积比等于_之比;高相等时,面积比等于_之比二、精讲精练:1. 如图,ABC的角平分线AD,中线BE交于点O,则结论:AO是ABE的角平分线;BO是ABC的中线其中( )A都正确 B都不正确C正确,不正确 D不正确,正确2. 如图所示,在ABC中,BC边上的高是_,AB边上的高是_;在BCE中,BE边上的高是_,EC边上的高是_;在ACD中,AC边上的高是_,CD边上的高是
3、_3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D都有可能4. 如图,在正方形ABCD中,BC=2,DCE是正方形ABCD的外角,P是DCE的平分线CF上任意一点,则PBD的面积等于_5. 如图,在梯形ABCD中,ABCD,延长DC到E,使CE=AB,连接BD,BE若梯形ABCD的面积为25cm2,则BDE的面积为_第5题图 第6题图6. 正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则DEK的面积为_7. 已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A
4、,B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形面积为1,则点C的个数是_个 第7题图 第8题图8. 在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点),在这个55的方格纸中,找出格点C使ABC的面积为2,则满足条件的格点C的个数是_个9. 如图,AD是ABC的边BC上的中线,点E在AD上,AE=2DE,若ABE的面积是4,则ABC的面积是_ 10. 如图,在ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且SABC=16,则SDEF=_11. 如图,在ABC中,E是BC边上的一点,EC=2BE,
5、点D是AC的中点,设ABC,ADF,BEF的面积分别为SABC,SADF,SBEF,且SABC=12,则SADF-SBEF=( )A1 B2 C3 D4 12. 如图所示,SABC=6,若SBDE=SDEC=SACE,则SADE=_13. 如图,设E,F分别是ABC的边AC,AB上的点,线段BE,CF交于点D若BDF,BCD,CDE的面积分别是3,7,7,则EDF的面积是_,AEF的面积是_ 14. 如图,梯形ABCD被对角线分为4个小三角形,已知AOB和BOC的面积分别为25cm2和35cm2,那么梯形的面积是_15. 如图,在长方形ABCD中,ABP的面积为20cm2,CDQ的面积为35c
6、m2,则阴影四边形EPFQ的面积是_ 16. 如图,若梯形ABCD面积为6,E,F为AB的三等分点,M,N为DC的三等分点,则四边形EFNM的面积是_ 【参考答案】一、知识点睛1. (1)线段,在三角形内部,重心(2)线段,在三角形内部,内心(3)线段,所在直线,垂心,内部,直角顶点,外部作图略2. (1)公式法;割补法;转化法(2)对应高,对应底二、精讲精练1. C 2. AF,CE;CE,BE;DC,AC3. C 4. 2 5. 25cm2 6. 16 7. 68. 59. 12 10. 2 11. B 12. 1 13. 3,1514. 144 cm215. 55 cm2 16. 2三角
7、形的三线及面积(随堂测试)1. 现有2cm,3cm,4cm,5cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( )A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图,一个面积为50cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则ABC的面积是_ 3. 已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形面积为2,则点C的个数是_个(在图中标出点C的位置)4. 如图,在ABC中,点E,F分别是AB,BC的中点,连接EF,若ABC的面积是8cm2,则BEF的面积是_【参考答案】1. C 2
8、. 25cm 3. 10 4. 2cm三角形的三线及面积(习题)例1:已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,A,B两点在小方格的顶点上,位置如图所示,点C也在小方格的顶点上,且以A,B,C为顶点的三角形面积为1,则点C的个数为_个【思路分析】连接AB,则AB作为ABC的底,要使ABC的面积为1,利用同底等高,即平行转移面积即可具体操作:1 先在AB的一侧找一个点C,使ABC的面积为1,过点C作AB的平行线;2 再在AB的另一侧找一个点C,使ABC的面积为1,过点C作AB的平行线如图所示:共6个例2:如图,将ABC的三边AB,BC,CA分别延长至D,E,F,且使BD=AB,CE=2
9、BC,AF=3AC若,则_【思路分析】1 观察图形,结合题目条件,题目中较多的等分点,可利用等分点转移面积;2 连接CD,则ABC和BCD为同高的三角形,面积比等于底边之比,结合已知条件,可求出;3 BCD和CDE也是同高的三角形,面积比等于底边之比,可求得;4 同理,连接AE,可求出和;5 连接BF,可求出和,最终求得1. 现有2cm,4cm,6cm,8cm长的四根木棒,任意选取三根组成一个三角形,那么可以组成三角形的个数为( )A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图,为估计池塘岸边A,B的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A,B间的距离不可能是( )A2
10、0米 B15米 C10米 D5米 第2题图 第3题图3. 如图,ACBC,CDAB,DEBC,垂足分别为C,D,E,则下列说法不正确的是( )AAC是ABC的高 BDE是BCD的高CDE是ABE的高 DAD是ACD的高4. 在直角三角形,钝角三角形和锐角三角形中,有两条高在三角形外部的是( )A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D都有可能5. 在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,点A,B是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点),在这个55的方格纸中,找出格点C使ABC的面积为2个平方单位,则满足条件的格点C的个数是_个6. 如图,直线AEBD,点C在BD上,若AE=4,BD=8
11、,ABD的面积为16,则ACE的面积为_7. 如图,在ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且SABC=4cm2,那么阴影部分的面积是_8. 已知:如图,在ABC中,点D,E,F分别在三边上,E是AC的中点,BD=2CD,AD,BE,CF交于一点G,SBGD=8,SAGE=3,那么ABC的面积是_9. 如图,两条对角线把梯形分割成四个三角形,若SEDC=6,SBEC=18,则AEB的面积是_,AED的面积是_10. 如图所示,在ABC中,点D是AB的中点,点E在边BC上,CE=2BE,若ABC的面积为6,则BDE的面积是_11. 四边形ABCD与AEFG均为正方形,若ABH
12、的面积为6cm2,则图中阴影部分的面积是_【参考答案】例1:6例2:181. A 2. D 3. C 4. B 5. 5 6. 8 7. 1 cm 8. 30 9. 6 2 10. 1 11. 6 cm三角形综合应用(讲义)一、知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向:1. 三角形中的隐含条件是:_;_;_2. 角平分线出现时采用_解决问题3. 高线出现时考虑_或_二、精讲精练1. 现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数是( )A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图,用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中
13、相邻两螺丝的距离依次为2,3,4,6,且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任两螺丝之间的距离最大值是( )A5 B6 C7 D103. 下列五种说法:三角形的三个内角中至少有两个锐角;三角形的三个内角中至少有一个钝角;一个三角形中,至少有一个角不少于60;钝角三角形中,任意两个内角的和必大于90;直角三角形中两锐角互余其中正确的说法有_(填序号)4. 如图,在三角形纸片ABC中,A=60,B=55将纸片一角折叠使点C落在ABC内,则1+2的度数为_ 第4题图 第5题图5. 如图,一个五角星的五个角的和是_6. 如图,A+B+C+D+E+F=_ 7. 如图1,BAD的平分
14、线AE与BCD的平分线CE交于点E,ABCD,ADC=40,ABC=30,则AEC=_;如图2,BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E,ADC=,ABC=,则AEC=_ 图1 图28. 探究:(1)如图1,在ABC中,BP平分ABC,CP平分ACB,猜想P和A有何数量关系?(2)如图2,在ABC中,BP平分ABC,CP平分外角ACE,猜想P和A有何数量关系?(3)如图3,BP平分CBF,CP平分BCE,猜想P和A有何数量关系?图1 图2 图39. 如图,在ABC中,三个内角的角平分线交于点O,OEBC于点E(1)ABO+BCO+CAO的度数为_;(2)BOD和COE的数量关系是_ 第9
15、题图 第10题图10. 如图,在RtABC中,BAC=90,ADBC(1)若AB=6,AC=8,BC=10,则AD=_;(2)若AB=2,BC=3,则AC:AD=_11. 如图,在ABC中,若AB=2cm,AC=3cm,BC=4cm,AD,BF,CE为ABC的三条高,则这三条高的比AD:BF:CE=_12. 如图,在ABC中,AB=AC,P是BC边上任意一点,PDAB于点D,PEAC于点E(1)若AB=8,ABC的面积为14,则PD+PE的值是多少?(2)过点B作BFAC于点F,求证:PD+PE=BF 【参考答案】一、知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;三角形内角和等于
16、180;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和2. 设元3. 互余,面积二、精讲精练1. B 2. C 3. 4. 130 5. 1806. 360 7. 35;(+)8. (1)P=90+A; (2)P=A;(3)P=90-A9. (1)90 (2)BOD=COE10. (1) (2)3:211. 3:4:612. (1) (2)证明略三角形综合应用(随堂测试)5. 如图,A+B+C+D+E=_6. 如图,点E,D分别在ABC的边BA,CA的延长线上,CF,EF分别平分ACB和AED,若B=65,D=45,则F的度数为_7. 如图,在ABC中,CE平分ACB,CDAB于D,DFCE于F
17、,已知A=40,B=72,求FDE的度数【参考答案】5. 180 6. 55 7. 16 三角形综合应用(习题)例1:如图,BD,CD分别平分ABC,ACB,CEBD交BD的延长线于点E求证:DCE=CAD【思路分析】1 看到条件BD,CD平分ABC,可知AD也平分BAC,得到:,;2 根据CEBD,得,所以;3 题目所求为DCE=CAD,若能够说明即可;4 根据三角形的内角和定理得:,所以,再根据三角形的外角定理可知,所以,证明成立【过程书写】证明:如图,BD,CD分别平分ABC,ACB,在ABC中,EDC是BCD的一个外角CEBEDCE=CAD1. 满足下列条件的ABC中,不是直角三角形的
18、是( )AB+A=CBA:B:C=2:3:5CA=2B=3C D一个外角等于和它相邻的一个内角2. 如图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则1+2=_3. 如图,A+B+C+D+E+F=_ 第3题图 第4题图4. 如图,在RtABC中,C=90,若CAB与CBA的平分线相交于点O,则AOB=_5. 如图,在ABC中,ABC的平分线BD与外角平分线CE的反向延长线交于点D,若A=30,则D=_ 第5题图 第6题图6. 如图,在ABC中,AD平分BAC,点F在DA的延长线上,FEBC于E,若B=40,C=70,则DFE=_7. 如图,在ABC中,若AB=2cm,BC=4cm,则ABC的高AD与CE的比是_8. 如图,在ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,BAC=50,C=60,求CAD及AOB的度数9. 如图,在ABC中,AD为BAC的平分线,G为AD的中点,延长BG交AC于E,CFAD于H,交AB于F下列说法中正确的有_(填序号)AD是ABE的角平分线;BE是ABD的中线;CH是ACD的边AD上的高;AH是ACF的边CF上的高;BG是ABD的中线 【参考答案】1. C2. 2703. 3604. 1355. 156. 157. 1:28. CAD=30,AOB=1209.
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