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1、三角形的性质及其应用讲义三角形的三线及面积（讲义）一、知识点睛：1. 三角形的三线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的_，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_交于一点，这点称为三角形的_（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的_叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线_交于一点，这点称为三角形的_（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的_叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高_交于一点，这点称为三角形的_；锐角三角形的三条高线及垂心都在其_，直角三角形的垂心是_，钝角三角形的垂心和两条高线在其_如图，在

2、ABC中，作出AC边上的高线 _即为所求2. 面积问题：（1）处理面积问题的思路_；_；_（2）处理面积问题方法举例利用平行转移面积如图，满足SABP=SABC的点P都在直线l1，l2上利用等分点转移面积两个三角形底相等时，面积比等于_之比；高相等时，面积比等于_之比二、精讲精练：1. 如图，ABC的角平分线AD，中线BE交于点O，则结论：AO是ABE的角平分线；BO是ABC的中线其中（ ）A都正确 B都不正确C正确，不正确 D不正确，正确2. 如图所示，在ABC中，BC边上的高是_，AB边上的高是_；在BCE中，BE边上的高是_，EC边上的高是_；在ACD中，AC边上的高是_，CD边上的高是

3、_3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D都有可能4. 如图，在正方形ABCD中，BC=2，DCE是正方形ABCD的外角，P是DCE的平分线CF上任意一点，则PBD的面积等于_5. 如图，在梯形ABCD中，ABCD，延长DC到E，使CE=AB，连接BD，BE若梯形ABCD的面积为25cm2，则BDE的面积为_第5题图 第6题图6. 正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为_7. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A

4、，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数是_个 第7题图 第8题图8. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个55的方格纸中，找出格点C使ABC的面积为2，则满足条件的格点C的个数是_个9. 如图，AD是ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若ABE的面积是4，则ABC的面积是_ 10. 如图，在ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且SABC=16，则SDEF=_11. 如图，在ABC中，E是BC边上的一点，EC=2BE，

5、点D是AC的中点，设ABC，ADF，BEF的面积分别为SABC，SADF，SBEF，且SABC=12，则SADF-SBEF=（ ）A1 B2 C3 D4 12. 如图所示，SABC=6，若SBDE=SDEC=SACE，则SADE=_13. 如图，设E，F分别是ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D若BDF，BCD，CDE的面积分别是3，7，7，则EDF的面积是_，AEF的面积是_ 14. 如图，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知AOB和BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是_15. 如图，在长方形ABCD中，ABP的面积为20cm2，CDQ的面积为35c

6、m2，则阴影四边形EPFQ的面积是_ 16. 如图，若梯形ABCD面积为6，E，F为AB的三等分点，M，N为DC的三等分点，则四边形EFNM的面积是_ 【参考答案】一、知识点睛1. （1）线段，在三角形内部，重心（2）线段，在三角形内部，内心（3）线段，所在直线，垂心，内部，直角顶点，外部作图略2. （1）公式法；割补法；转化法（2）对应高，对应底二、精讲精练1. C 2. AF，CE；CE，BE；DC，AC3. C 4. 2 5. 25cm2 6. 16 7. 68. 59. 12 10. 2 11. B 12. 1 13. 3，1514. 144 cm215. 55 cm2 16. 2三角

7、形的三线及面积（随堂测试）1. 现有2cm，3cm，4cm，5cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图，一个面积为50cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起，则ABC的面积是_ 3. 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则点C的个数是_个（在图中标出点C的位置）4. 如图，在ABC中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF，若ABC的面积是8cm2，则BEF的面积是_【参考答案】1. C 2

8、. 25cm 3. 10 4. 2cm三角形的三线及面积（习题）例1：已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为_个【思路分析】连接AB，则AB作为ABC的底，要使ABC的面积为1，利用同底等高，即平行转移面积即可具体操作：1 先在AB的一侧找一个点C，使ABC的面积为1，过点C作AB的平行线；2 再在AB的另一侧找一个点C，使ABC的面积为1，过点C作AB的平行线如图所示：共6个例2：如图，将ABC的三边AB，BC，CA分别延长至D，E，F，且使BD=AB，CE=2

9、BC，AF=3AC若，则_【思路分析】1 观察图形，结合题目条件，题目中较多的等分点，可利用等分点转移面积；2 连接CD，则ABC和BCD为同高的三角形，面积比等于底边之比，结合已知条件，可求出；3 BCD和CDE也是同高的三角形，面积比等于底边之比，可求得；4 同理，连接AE，可求出和；5 连接BF，可求出和，最终求得1. 现有2cm，4cm，6cm，8cm长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，则A，B间的距离不可能是（ ）A2

10、0米 B15米 C10米 D5米 第2题图 第3题图3. 如图，ACBC，CDAB，DEBC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（ ）AAC是ABC的高 BDE是BCD的高CDE是ABE的高 DAD是ACD的高4. 在直角三角形，钝角三角形和锐角三角形中，有两条高在三角形外部的是（ ）A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D都有可能5. 在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个55的方格纸中，找出格点C使ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C的个数是_个6. 如图，直线AEBD，点C在BD上，若AE=4，BD=8

11、，ABD的面积为16，则ACE的面积为_7. 如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且SABC=4cm2，那么阴影部分的面积是_8. 已知：如图，在ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，BD=2CD，AD，BE，CF交于一点G，SBGD=8，SAGE=3，那么ABC的面积是_9. 如图，两条对角线把梯形分割成四个三角形，若SEDC=6，SBEC=18，则AEB的面积是_，AED的面积是_10. 如图所示，在ABC中，点D是AB的中点，点E在边BC上，CE=2BE，若ABC的面积为6，则BDE的面积是_11. 四边形ABCD与AEFG均为正方形，若ABH

12、的面积为6cm2，则图中阴影部分的面积是_【参考答案】例1：6例2：181. A 2. D 3. C 4. B 5. 5 6. 8 7. 1 cm 8. 30 9. 6 2 10. 1 11. 6 cm三角形综合应用（讲义）一、知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向：1. 三角形中的隐含条件是：_；_；_2. 角平分线出现时采用_解决问题3. 高线出现时考虑_或_二、精讲精练1. 现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中

13、相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6，且相邻两木条的夹角均可调整若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝之间的距离最大值是（ ）A5 B6 C7 D103. 下列五种说法：三角形的三个内角中至少有两个锐角；三角形的三个内角中至少有一个钝角；一个三角形中，至少有一个角不少于60；钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90；直角三角形中两锐角互余其中正确的说法有_（填序号）4. 如图，在三角形纸片ABC中，A=60，B=55将纸片一角折叠使点C落在ABC内，则1+2的度数为_ 第4题图 第5题图5. 如图，一个五角星的五个角的和是_6. 如图，A+B+C+D+E+F=_ 7. 如图1，BAD的平分

14、线AE与BCD的平分线CE交于点E，ABCD，ADC=40，ABC=30，则AEC=_；如图2，BAD的平分线AE与BCD的平分线CE交于点E，ADC=，ABC=，则AEC=_ 图1 图28. 探究：（1）如图1，在ABC中，BP平分ABC，CP平分ACB，猜想P和A有何数量关系？（2）如图2，在ABC中，BP平分ABC，CP平分外角ACE，猜想P和A有何数量关系？（3）如图3，BP平分CBF，CP平分BCE，猜想P和A有何数量关系？图1 图2 图39. 如图，在ABC中，三个内角的角平分线交于点O，OEBC于点E（1）ABO+BCO+CAO的度数为_；（2）BOD和COE的数量关系是_ 第9

15、题图 第10题图10. 如图，在RtABC中，BAC=90，ADBC（1）若AB=6，AC=8，BC=10，则AD=_；（2）若AB=2，BC=3，则AC:AD=_11. 如图，在ABC中，若AB=2cm，AC=3cm，BC=4cm，AD，BF，CE为ABC的三条高，则这三条高的比AD:BF:CE=_12. 如图，在ABC中，AB=AC，P是BC边上任意一点，PDAB于点D，PEAC于点E（1）若AB=8，ABC的面积为14，则PD+PE的值是多少？（2）过点B作BFAC于点F，求证：PD+PE=BF 【参考答案】一、知识点睛1. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形内角和等于

16、180；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和2. 设元3. 互余，面积二、精讲精练1. B 2. C 3. 4. 130 5. 1806. 360 7. 35；(+)8. （1）P=90+A； （2）P=A；（3）P=90-A9. （1）90 （2）BOD=COE10. （1） （2）3:211. 3:4:612. （1） （2）证明略三角形综合应用（随堂测试）5. 如图，A+B+C+D+E=_6. 如图，点E，D分别在ABC的边BA，CA的延长线上，CF，EF分别平分ACB和AED，若B=65，D=45，则F的度数为_7. 如图，在ABC中，CE平分ACB，CDAB于D，DFCE于F

17、，已知A=40，B=72，求FDE的度数【参考答案】5. 180 6. 55 7. 16 三角形综合应用（习题）例1：如图，BD，CD分别平分ABC，ACB，CEBD交BD的延长线于点E求证：DCE=CAD【思路分析】1 看到条件BD，CD平分ABC，可知AD也平分BAC，得到：，；2 根据CEBD，得，所以；3 题目所求为DCE=CAD，若能够说明即可；4 根据三角形的内角和定理得：，所以，再根据三角形的外角定理可知，所以，证明成立【过程书写】证明：如图，BD，CD分别平分ABC，ACB，在ABC中，EDC是BCD的一个外角CEBEDCE=CAD1. 满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的

18、是（ ）AB+A=CBA:B:C=2:3:5CA=2B=3C D一个外角等于和它相邻的一个内角2. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则1+2=_3. 如图，A+B+C+D+E+F=_ 第3题图 第4题图4. 如图，在RtABC中，C=90，若CAB与CBA的平分线相交于点O，则AOB=_5. 如图，在ABC中，ABC的平分线BD与外角平分线CE的反向延长线交于点D，若A=30，则D=_ 第5题图 第6题图6. 如图，在ABC中，AD平分BAC，点F在DA的延长线上，FEBC于E，若B=40，C=70，则DFE=_7. 如图，在ABC中，若AB=2cm，BC=4cm，则ABC的高AD与CE的比是_8. 如图，在ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，BAC=50，C=60，求CAD及AOB的度数9. 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，G为AD的中点，延长BG交AC于E，CFAD于H，交AB于F下列说法中正确的有_（填序号）AD是ABE的角平分线；BE是ABD的中线；CH是ACD的边AD上的高；AH是ACF的边CF上的高；BG是ABD的中线 【参考答案】1. C2. 2703. 3604. 1355. 156. 157. 1:28. CAD=30，AOB=1209.