中考数学压轴题精选《圆的综合》.docx
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中考数学压轴题精选《圆的综合》
2020中考数学压轴题综合提升训练:
《圆的综合》
1.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,,AC为直径,DE⊥BC,垂足为E.
(1)求证:
CD平分∠ACE;
(2)若AC=8,CE=3,求CD的长.
(1)证明:
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD,
∵,
∴∠BAD=∠ACD,
∴∠DCE=∠ACD,
∴CD平分∠ACE;
(2)解:
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°,
∴∠DEC=∠ADC,
∵∠DCE=∠ACD,
∴△DCE∽△ACD,
∴,即,
∴.
2.如图,AB为⊙O的直径,C、F为⊙O上两点,且点C为的中点,过点C作AF的垂线,交AF的延长线于点E,交AB的延长线于点D.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)当BD=2,sinD=时,求AE的长.
(1)证明:
连接OC,如图,
∵点C为弧BF的中点,
∴弧BC=弧CF.
∴∠BAC=∠FAC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∴∠OCA=∠FAC,
∴OC∥AE,
∵AE⊥DE,
∴OC⊥DE.
∴DE是⊙O的切线;
(2)∵sinD==,
∴设OC=3x,OD=5x,
则5x=3x+2,
∴x=1,
∴OC=3,OD=5,
∴AD=8,
∵sinD===,
∴AE=.
3.如图,已知直线l切⊙O于点A,B为⊙O上一点,过点B作BC⊥l,垂足为点C,连接AB、OB.
(1)求证:
∠ABC=∠ABO;
(2)若AB=,AC=1,求⊙O的半径.
(1)证明:
连接OA,
∵OB=OA,
∴∠OBA=∠OAB,
∵AC切⊙O于A,
∴OA⊥AC,
∵BC⊥AC,
∴OA∥BC,
∴∠OBA=∠ABC,
∴∠ABC=∠ABO;
(2)解:
过O作OD⊥BC于D,
∵OD⊥BC,BC⊥AC,OA⊥AC,
∴∠ODC=∠DCA=∠OAC=90°,
∴OD=AC=1,
在Rt△ACB中,AB=,AC=1,由勾股定理得:
BC==3,
∵OD⊥BC,OD过O,
∴BD=DC=BC==1.5,
在Rt△ODB中,由勾股定理得:
OB==,
即⊙O的半径是.
4.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,连接AC.
(1)求证:
AC平分∠DAE;
(2)若cos∠DAE=,BE=2,求⊙O的半径.
(1)证明:
连接OC,
∵DE是⊙O的切线,
∴OC⊥DE,
∵AD⊥DE,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠DAC=∠OAC,
∴AC平分∠DAE;
(2)解:
设⊙O的半径为r,
∵OC∥AD,
∴∠DAE=∠COE,
∴cos∠DAE=cos∠COE=,BE=2,
∴=,
解得:
r=4,
即⊙O的半径为4.
5.如图a,AB为⊙O直径,AC为⊙O的为弦,PA为⊙O的切线,∠APC=2∠1.
(1)求证:
PC是⊙O的切线.
(2)当∠1=30°,AB=4时,其他条件不变,求图b中阴影部分的面积.
(1)证明:
连结OC,
在圆O中,OA=OC,
∴∠BOC=2∠1=∠APC,∠BOC+∠AOC=180°,
∴∠APC+∠AOC=180°,
∵PA为⊙O的切线,
∴∠OAP=90°
又四边形内角和为360°,
∴∠OCP=90°,OC为⊙O的半径,
∴PC为⊙O的切线;
(2)解:
PA为⊙O的切线,PC为⊙O的切线.
∴PA=PC,
∵∠1=30°,∠APC=2∠1,
∴∠APC=60°,
∴△APC为等边三角形,
连结OP,OC,
∵S四边形AOCP=2××2×2=4,S扇形AOC=×π×4=π,
∴S阴影部分的面积=4﹣π.
6.如图,线段AB经过⊙O的圆心,交⊙O于A,C两点,BC=1,AD为⊙O的弦,连接BD,∠BAD=∠ABD=30°,连接DO并延长交⊙O于点E,连接BE交⊙O于点M.
(1)求证:
直线BD是⊙O的切线;
(2)求切线BD的长;
(3)求线段BM的长.
(1)证明:
∵∠BAD=∠ABD=30°,
∴∠DOB=2∠BAD=60°,
∴∠ODB=180°﹣30°﹣60°=90°,
即OD⊥BD,
∵OD过O,
∴直线BD是⊙O的切线;
(2)解:
设OD=OC=r,
在Rt△BDO中,sin30°==,
解得:
r=1,
即OD=1,OB=1+1=2,
由勾股定理得:
BD==;
(3)解:
连接DM,
∵DE是⊙O的直径,
∴∠DME=90°,
即∠DMB=∠BDE=90°,
∵∠DBM=∠DBE,
∴△BMD∽△BDE,
∴,
∴,
解得:
BM=.
7.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,且AC为⊙O的直径,=,延长BC到E,使得BE=AB,连接DE.
(1)求证:
AD=DE;
(2)若DE为⊙O的切线,且DE=2,求的长度.
(1)证明:
连接BD,
∵=,
∴∠ABD=∠DBE,
∵AB=BE,BD=BD,
∴△ABD≌△EBD(SAS),
∴AD=DE;
(2)解:
连接OD,
∵=,
∴AD=CD,
∵AD=DE,
∴CD=DE,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠B=∠ADC=90°,
∵AD=CD,O为AC的中点,
∴∠ODE=∠ADC=45°,
∵DE为⊙O的切线,
∴∠ODE=90,
∴∠CDE=45°,
∴∠ADE=90°+45°=135°,
∵CD=DE,
∴∠DCE=∠DEC=67.5°,
∴∠BAD=67.5°,
∵AD=CD,∠ADC=90°,
∴∠DAC=45°,
∴∠BAC=22.5°,
∴AD=CD=2,
∴AC=4,
∴OC=2,
∴的长度是=.
8.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,OD⊥AC,垂足为D点,直线OD与⊙O相交于E,F两点,P是⊙O外一点,P在直线OD上,连接PA,PB,PC,且满足∠PCA=∠ABC
(1)求证:
PA=PC;
(2)求证:
PA是⊙O的切线;
(3)若BC=8,,求DE的长.
(1)证明∵OD⊥AC,
∴AD=CD,
∴PD是AC的垂直平分线,
∴PA=PC,
(2)证明:
由
(1)知:
PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠CBA=90°.
又∵∠PCA=∠ABC,
∴∠PCA+∠CAB=90°,
∴∠CAB+∠PAC=90°,即AB⊥PA,
∴PA是⊙O的切线;
(3)解:
∵AD=CD,OA=OB,
∴OD∥BC,OD=BC==4,
∵=,
设AB=3a,DF=2a,
∵AB=EF,
∴DE=3a﹣2a=a,
∴OD=4=﹣a,
a=8,
∴DE=8.
9.如图,C是上的一定点,D是弦AB上的一定点,P是弦CB上的一动点,连接DP,将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′,射线PD′与交于点Q.已知BC=6cm,设P,C两点间的距离为xcm,P,D两点间的距离为y1cm,P,Q两点间的距离为y2cm.
小石根据学习函数的经验,分别对函数y1,y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小石的探究过程,请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量,分别得到了y1,y2与x的几组对应值:
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
4.29
3.33
1.65
1.22
1.50
2.24
y2/cm
0.88
2.84
3.57
4.04
4.17
3.20
0.98
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,描出补全后的表中各组数据所对应的点(x,y1),(x,y2),并画出函数y1,y2的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
连接DQ,当△DPQ为等腰三角形时,PC的长度约为 1.3或5.7 cm.(结果保留一位小数)
解:
(1)观察图象发现规律可知:
表格数据为:
2.44;
(2)如图所示:
即为两个函数y1,y2的图象;
(3)观察图象可知:
两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时,PC的长度,
两个交点的横坐标为1.3和5.7.
故答案为:
1.3或5.7.
10.如图
(1),某数学活动小组经探究发现:
在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,此时PA•PB=PC•PD
(1)如图
(2),若AB与CD相交于圆外一点P,上面的结论是否成立?
请说明理由.
(2)如图(3),将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C,直接写出PA、PB、PC之间的数量关系.
(3)如图(3),直接利用
(2)的结论,求当PC=,PA=1时,阴影部分的面积.
解:
(1)成立.理由如下:
如图
(2),连接AD、BC,
则∠B=∠D
∵∠P=∠P
∴△PAD∽△PCB
∴=
∴PA•PB=PC•PD;
(2)PC2=PA•PB
理由如下:
如图(3),连接BC,OC,
∵PC与⊙O相切于点C,
∴∠PCO=90°,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°
∴∠PCA=∠OCB
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∴∠PCA=∠OBC
∵∠P=∠P
∴△PCA∽△PBC
∴PC:
PB=PA:
PC
∴PC2=PA•PB.
(3)如图(3),连接OC,
∵PC2=PA•PB,PC=,PA=1
∴PB=3,AO=CO=1
∴PO=2
∵PC与⊙O相切于点C,
∴△PCO是直角三角形
∴sin∠CPO==
∴∠CPO=30°,∠COP=60°
∴△AOC为等边三角形
∴S△AOC==
S扇形AOC==
∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC
=﹣.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),点B在x轴上,以AB为直径作⊙C,点P在y轴上,且在点A上方,过点P作⊙C的切线PQ,Q为切点,如果点Q在第一象限,则称Q为点P的离点.例如,图1中的Q为点P的一个离点.
(1)已知点P(0,3),Q为P的离点.
①如图2,若B(0,0),则圆心C的坐标为 (0,1) ,线段PQ的长为 ;
②若B(2,0),求线段PQ的长;
(2)已知1≤PA≤2,直线l:
y=kx+k+3(k≠0).
①当k=1时,若直线l上存在P的离点Q,则点Q纵坐标t的最大值为 6 ;
②记直线l:
y=kx+k+3(k≠0)在﹣1≤x≤1的部分为图形G,如果图形G上存在P的离点,直接写出k的取值范围.
解:
(1)①如图可知:
C(0,1),
在Rt△PQC中,CQ=1,PC=2,
∴PQ=,
故答案为(0,1);;
②如图,过C作CM⊥y轴于点M,连接CP,CQ.
∵A(0,2),B(2,0),
∴C(1,1).
∴M(0,1).
在Rt△ACM中,由勾股定理可得CA=.
∴CQ=.
∵P(0,3),M(0,1),
∴PM=2.
在Rt△PCM中,由勾股定理可得PC=.
在Rt△PCQ中,由勾股定理可得PQ==.
(2)①如图1:
当k=1时,y=x+4,
∴Q(t﹣2,t),
∴CQ=,
当t=2时,CQ最大,
在Rt△CDQ中,CD=,CQ最大则DQ最大,
∴Q(2,6),
故答案为6;
②∵﹣1≤x≤1,
Q点的在端点(﹣1,3)和(1,2k+4)之间运动,
当Q在(1,2k+4),P(0,4)时,