教案空间点直线平面之间的位置关系.docx

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教案空间点直线平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

【第一课时】

【教学目标】

1．了解平面的概念，会用图形与字母表示平面

2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用

【教学重难点】

1．平面的概念

2．点、线、面的位置关系

3．三个基本事实及推论

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．教材中是如何定义平面的？

2．平面的表示方法有哪些？

3．点、线、面之间有哪些关系？

如何用符号表示？

4．三个基本事实及推论的内容是什么？

各有什么作用？

二、基础知识

1．平面

（1）平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的．

（2）平面的画法

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面．当水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．

（3）平面的表示方法

我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．如图中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD．

（1）平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量．

（2）平面无厚薄、无大小，是无限延展的．

2．点、线、面之间的关系及符号表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面．

文字语言

符号语言

图形语言

A在l上

A∈l

A在l外

A∉l

A在α内

A∈α

A在α外

A∉α

l在α内

l⊂α

l在α外

l⊄α

l，m相交于A

l∩m＝A

l，α相交于A

l∩α＝A

α，β相交于l

α∩β＝l

从集合的角度理解点、线、面之间的关系

（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．

（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．

3．平面的性质

基本

事实

文字语言

图形语言

符号语言

基本

事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α

基本

事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒

l⊂α

基本

事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

名师点拨

在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画，这样可使画出的图形立体感更强一些．如下图①，图②所示：

4．平面性质的三个推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．如图

（1）．

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．如图

（2）．

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．如图（3）．

三、合作探究

图形、文字、符号语言的相互转化

例1：

（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．

平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.

（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．

α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.

【解】

（1）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．

（2）文字语言叙述为：

点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．

[规律方法]

三种语言的转换方法

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

点、线共面问题

例2：

证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

【解】已知：

如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.

求证：

直线l1，l2，l3在同一平面内．

证明：

法一：

（纳入平面法）

因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.

因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.

又因为l2⊂α，

所以B∈α.同理可证C∈α.

又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α.

所以直线l1，l2，l3在同一平面内．

法二：

（辅助平面法）

因为l1∩l2＝A，所以l1，l2确定一个平面α.

因为l2∩l3＝B，

所以l2，l3确定一个平面β.

因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α.

因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．

[规律方法]

证明点、线共面的常用方法

（1）纳入平面法：

先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

（2）辅助平面法：

先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

三点共线、三线共点问题

例3：

如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、AA1的中点．求证：

CE，D1F，DA三线交于一点．

【证明】连接EF，D1C，A1B，

因为E为AB的中点，

F为AA1的中点，所以EF

A1B.

又因为A1B

D1C，

所以EF

D1C，

所以E，F，D1，C四点共面，

可设D1F∩CE＝P.

又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，

所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．

又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，

所以据基本事实3可得P∈DA，

即CE，D1F，DA三线交于一点．

[变条件、变问法]若将本例条件中的“E，F分别为AB，AA1的中点”改成“E，F分别为AB，AA1上的点，且D1F∩CE＝M”，求证：

点D、A、M三点共线．

证明：

因为D1F∩CE＝M，

且D1F⊂平面A1D1DA，所以M∈平面A1D1DA，

同理M∈平面BCDA，

从而M在两个平面的交线上，

因为平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，

所以M∈AD成立．所以点D、A、M三点共线．

[规律方法]

【课堂检测】

1．能确定一个平面的条件是（）

A．空间三个点B．一个点和一条直线

C．无数个点D．两条相交直线

解析：

选D.不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．

2．经过同一条直线上的3个点的平面（）

A．有且只有一个B．有且只有3个

C．有无数个D．不存在

解析：

选C.经过共线3个点的平面有无数个，比如：

课本中每一页都过共线的三点．

3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（）

A．l⊂αB．l⊄α

C．l∩α＝MD．l∩α＝N

解析：

选A.因为M∈a，a⊂α，所以M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l⊂α.

4．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面（）

A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点

C．仅有两个公共点D．有无数个公共点

解析：

选D.根据基本事实3可知，两个不重合的平面若有一个公共点，则这两个平面有且只有一条经过该点的公共直线．

5．说明语句“l⊂α，m∩α＝A，A∉l”表示的点、线、面的位置关系，并画出图形．

解：

直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，图形如图所示．

【第二课时】

【教学目标】

1．了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义

2．了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示

3．了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表示

【教学重难点】

1．空间两直线的位置关系

2．直线与平面的位置关系

3．平面与平面的位置关系

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．空间两直线有哪几种位置关系？

2．直线与平面的位置关系有哪几种？

3．平面与平面的位置关系有哪几种？

4．如何用符号和图形表示直线与平面的位置关系？

5．如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？

二、基础知识

1．空间中直线与直线的位置关系

（1）异面直线

①定义：

把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；

②画法：

（通常用平面衬托）

（2）空间两条直线的位置关系

（1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．

（2）不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．

2．空间中直线与平面的位置关系

位置关系

直线a在

平面α内

直线a在平面α外

直线a与平

面α相交

直线a与

平面α平行

公共点

无数个公共点

有且只有

一个公共点

没有公共点

符号表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．

3．空间中平面与平面的位置关系

位置关系

两个平面平行

两个平面相交

公共点

没有公共点

有无数个公共点（在一条直线上）

符号表示

α∥β

α∩β＝l

图形表示

名师点拨

（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．

三、合作探究

空间两直线位置关系的判定

例1：

如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】①平行②异面③相交④异面

[规律方法]

（1）判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．

（2）判定两条直线是异面直线的方法

①定义法：

由定义判断两直线不可能在同一平面内；

②重要结论：

连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）．

直线与平面的位置关系

例2：

下列命题：

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数为（）

A．1B．2

C．3D．4

【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．

因为直线a在平面α外包括两种情况：

a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．

因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．

综上，真命题的个数为1.

【答案】A

[归纳反思]

判断直线与平面的位置关系应注意的问题

（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．

（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

平面与平面的位置关系

例3：

已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）

A．平行B．相交

C．平行或相交D．以上都不对

【解析】如图，可能会出现以下两种情况：

【答案】C

1．[变条件]在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？

解：

如图，a⊂α，b⊂β，a，b异面，则两平面平行或相交．

2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？

解：

如图，α内都有无数条直线与平面β平行．

由图知，平面α与平面β可能平行或相交．

3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面α内的任意一条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？

解：

因为平面α内的任意一条直线与平面β平行，所以只有这两个平面平行才能做到，所以平面α与平面β平行．

[规律方法]

（1）平面与平面的位置关系的判断方法

①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；

②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

（2）常见的平面和平面平行的模型

①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

②长方体的六个面中，三组相对面平行．

点、线、面位置关系图形的画法

例4：

如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

（1）过点G及AC.

（2）过三点E，F，D1.

【解】

（1）画法：

连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．

（2）画法：

连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

[规律方法]

直线与平面位置关系的图形的画法

（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．

（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．

【课堂检测】

1．不平行的两条直线的位置关系是（）

A．相交B．异面

C．平行D．相交或异面

解析：

选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．

2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（）

A．l∥αB．l⊂α

C．l与α相交D．以上都有可能

解析：

选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C.

3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（）

A．平行B．异面

C．相交D．平行或异面

解析：

选D.如图：

4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（）

A．平行B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内D．平行或直线在平面内

解析：

选D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．

5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．

答案：

异面

6．下列命题正确的是________．（填序号）

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．

解析：

①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．

答案：

①