数学模型部分正文.docx

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数学模型部分正文

1问题重述

设有一零售商从供应商处以

的批发价（wholesaleprice）购得某种商品，并以

的零售价（retailprice）销售到市场上。

又设市场对该商品的需求

是服从密度函数为

的随机变量，并假设其相应的分布函数

单调、可微且

，并记

。

当商品供大于求时，可以

的处理价（salvageprice）进行处理。

（1）求最优订购数量，是整体期望利润最大。

（2）设

，

，

，

，则最优订购数量和整体期望利润是多少？

（3）能否将该问题推广到多零售商或多供应商的情形？

2问题分析

根据本课题的内容，订购者以w的批发价购进商品，然后以b的价格售出去，如果供过求就以s的价格处理掉。

问题在于订购者订购的数量过多，供大于求时，以处理价处理商品时，针对单个处理商品来说是亏本的，然而，如果订购者订购量少时，又会导致少赚钱。

该论文就是要建立模型，并求解，得到一个可以使得订购者获利最多的订购数量。

应该自然地假设b>w>s并且已知市场对该商品的需求

是服从密度函数为

的随机变量，并假设其相应的分布函数

单调、可微且

，并记

。

这些都是对约束条件的理想化，事实上，现实生活中并没有这么理想条件。

由于订购针对市场需求来说，零售商订购的数量都比较大，并且市场对该商品的需求X分布函数也是连续的，所以先从求和的方式给出离散型的分析，然后在用积分的形式给出连续型的分析，结合分布函授来确定零售商的最优订购数量。

针对本课题的三个问题：

首先，解决第一个问题，由于市场对该商品的需求x的分布函数f（x）未知，所以全部用符号来表示其中的函数关系建立一个全是符号表示的模型，其中遇到需求量分布函数的地方均以f（x）表示，这样建立一个符号模型，当已知具体的需求量分布函数的时候直接带入就可以计算求解；

第二，问题二的解决方案，问题二就是问题一所建立的模型的应用，已知了需求量x的具体分布函数，只要将相应的数字带入第一个问题的模型中，就可以得到问题二的具体答案了；

第三，问题三，将该问题推广到多零售商或者供应商的情况。

将问题分为单供应商多零售商和多供应商单零售商两种情况进行讨论和论述。

零售商和零售商、供应商和供应商之间都存在竞争，要分两层或者多层考虑和分析。

3模型的假设

3.1模型准备

首先，自然地假设b>w>s。

为什么这么假设呢？

第一，售出价高于批发价，这个理所当然，没有解释的必要；第二，w>s，为什么呢w要大于s呢？

试想，如果s大于w，说明以处理价处理掉，也是获利的，那就是无论怎么样，只要订购量越大，获利都会越大，根本不用建模求解，并且是也是不现实的情况。

所以，售出一件商品，就获利b-w，处理掉一件商品就陪w-s。

第二，假设需求量为x，其概率为f（x）。

第三，假设需求量就是课题给出的分布函数，而不受其他因素的影响。

第四，订购量为n,记获利为G（n）。

有了上述的条件就可以建立优化模型了。

3.2符号说明

w：

商品订购单价；

b：

商品出售单价；

s：

商品的处理单价；

x：

市场对该商品的需求量；

f（x）：

市场对该商品需求量的分布函数；

n：

订购商品的数量；

G（n）：

利润函数；

4模型的建立

4.1零售商的利润函数

订购数量为n，因为需求量x是随机的，其概率为f（x），所以x可以小于n，也可以等于或者大于n。

致使订购者的利润也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是对单位时间而言的，必须是连续的一段时间，将这段时间分为若干个单位时间（比如整段时间为一年，则单位时间为一个月），一下均称为单位时间。

目标函数计算的应该是订购者长期的利润平均收入。

从概率论的角度来看，这相当于订购者每个单位时间收入的期望值，以下均简称为平均收入。

记订购者每个单位时间平均收入为G（n），售出一件赚b-w；退回一件赔b-s:

（1）如果某个单位时间需求量x≤n,则他售出量为x,处理掉的数量为n-x.所以订购者这个单位时间所得利益为（b-w）x，损失额为（b-s）（n-x）;

（2）如果某个单位时间需求量x>n，则订购的商品全部售出,即售出n份，所以报童这天所得利益为（b-w）n<（b-w）x。

又需求量x的概率为f（x），所以得到离散型的目标函数如下：

G（n）=

求n使G（n）最大,即所得n就订购者最优订购数量.

4.2确定最优订购数量

通常需求量x和购进量n都相当大，所以可以将x视为连续变量,便于分析和计算.

此时概率f（x）转化为概率密度函数p（x）,将上式离散目标函数改为积分形式，得到连续型的目标函数如下：

G（n）=+

对G（n）求导得:

=（b-w）np（n）−（b-w）np（n）+

=

令得到：

使订购者每个单位时间平均收入达到最大的订购数量n应满足上式.

因为,所以所以上式可表示为:

根据需求量的概率密度函数p（x）的图形可以确定订购数量n.

在图中用p1,p2别分表示曲线p（x）下的两部分面积,则

当订购商品数量为n时，p1=是需求量不超过n的概率,即卖不完的概率;p2=是需求量x超过n的概率,所以从上式可以看出,订购数量n是卖不完与卖完的概率之比,恰好等于卖出一件商品赚的钱b-w与处理一件商品赔的钱b-s之比.这便是第一个问题的答案。

5模型求解

与本课题的第二个问题想对应。

课题已经给出了x的分布函数：

，并且给出：

订购价格：

w=3；

售出价格：

b=6；

处理价格：

s=2；

问题的要求是求出最优订购数量和整体期望利润。

根据给出的条件，可知需求量x的分布函数一个服从均值为1000，均方差为200的正太分布，所以可以得到:

P（x）=exp

并且=

利用matlab作为计算工具，建立一个n1的M-File，用于求解最优顶哦故数量，其中关键代码如下：

%求解最优订购数量n

b=6;%出售价格

w=3;%订购价格

s=2;%处理价格

m=1000;%均值

sgm=200;%均方差

n=norminv（（b-w）/（b-s）,m,sgm）

运行n1得到结果为：

n=

1.1349e+003

（这里并没有说明订购商品的计量方式一定为整数，也不排除用小数计量的，比如以千克为单位的商品，故保留计算的小数形式）。

然后根据利润目标函数：

G（n）=+

建议一个叫n2的M-file，用来求解最大利润G（n），其中关键代码如下：

symsx%积分变量

%下面是为其中的常量赋值

b=6;%售出价格

w=3;%订购价格

s=2;%处理价格

m=1000;%均值

sgm=200;%均方差

%下面是正太分布函数p（x）

px=1/（sqrt（2*pi）*sgm）*exp（-（x-m）^2/（2*sgm^2））;

%下面是利润函数G（n）

Gn=int（（（b-w）*x-（w-s）*（n-x））*px,0,n）+int（（b-w）*n*px,n,inf）;

Gn=double（Gn）

运行n2得到结果为：

Gn=

2.7458e+003

需要注意一点：

运行第二个文件时，必须要先运行第一个m文件，并且不要清空缓存，因为第二个m文件中定义的n是第一个程序求出的。

如果清空了，将会发生错误。

6模型推广

6.1单供应商多零售商

当供应商只有一个的时候，功用上之间不存在竞争，都是垄断经营，而对于零售商就不一样了。

零售商之间相互存在竞争。

假如这多个零售商都是在同一地域销售商品，那么该地域的对该商品的需求量为x，其分布函数为f（x），这个需求量和分布函数对这多个零售商都是相同的变量，即在某一时间段内，该地域的需求量x及其分布函数f（x）不随零售商的变化而变化。

并且所有的零售商订购商品各家均为w，零售价均为b，处理价格均为s。

假设零售商的序列为A={a1，a2，a3，……，an}；零售商序列对应的订购数量为D={d1,d2,d3,……，dn}；并且假设在售货过程中，消费者购买某一零售的商品的概率为pi，i=1,2,3,4，……，n，所以对应的序列为P={p1,p2,p3,……，pn}。

所以约定一下符号：

w：

商品订购单价；

b：

商品出售单价；

s：

商品的处理单价；

x：

市场对该商品的需求量；

f（x）：

市场对该商品需求量的分布函数；

ai：

多个零售商中标号为i的零售商；

ni：

标号为i的零售商订购商品的数量；

Gi（ni）：

标号为i的零售商的利润函数；

根据上述分析，ai零售商售出一件商品获利为pi（b-w），处理一件商品损失为（1-pi）（w-s），那么一个零售商售出x件商品获利为

（b-w）x，处理掉y件商品的损失为

（w-s）。

和单零售商单供应商的道理一样，这里的收入也不能是某一个单位时间的，必须是长期的，比如一年或者几年，其中的单位时间就是将这样的一段时间分为若干个单位时间，然后来解决各个零售商在这样一段时间内的获利情况。

由上述分析可得，某一个零售商ai在某一时间段的获利为：

计算

令

=0，得到

所以，同理有：

用这个等式确定ai对应的订购数量ni。

然后将ni带入

得到对应零售商获利的最大值。

6.2单零售商多供应商

多供应商的情况下，供应商之间的竞争是争夺零售商，他们的目标也是使自己能获得更多的利润。

他们的利润来源于零售商，所以零售商是供应商们的资源。

1.如果所有的零售商的批发价都是相同的，或者是与订购数量无关的，这种情况非常简单。

供应商序列为Q={q1,q2,……，qn}；其对应的批发单价序列为W={w1，w2，……，wn}，其中批发单价可以相等也可以不相等；另外，零售商除了订购商品本身的费用之外（如运费之类的）的花费序列为T={t1，t2，……，tn}；并且假设零售商预计将要订购的数量为n（可以用前面的单零售商单供应商的模型求解而得）。

则有总花费序列：

Z={zi}其中zi=ti+nwi，（i=1,2,3,……,n）。

然后有Z总=min{Z}就可以确定供应商。

2.对现实中的供应商而言，他们都会有相应的优惠策略。

多数是单价与订购数量有一定的关系，他们用订购数量作为决策变量，将单价w分为阶段性变量，也可以以折扣的形式体现，但其实质是一样的。

所以，在上述第一种情况的基础上，零售商可以先根据但零售商单供应商的模型求解最优订购数量n，然后列出所有供应商包含该n的阶段的批发单价Wi={w1，w2，……，wn}，然后再根据Z={zi}其中zi=ti+nwi，（i=1,2,3,……,n），Z总=min{Z}可以确定订购哪一个供应商的商品。

7结果分析

单零售商单供应商的情况下，当订购数量为n时，p1=是需求量r不超过n的概率，及售不完的概率；p2=是需求量超过n，即不够出售的概率，所以等式

表明，订购数量n应该是售不完与不够出售的概率之比，恰好等于售出一件商品所赚与处理掉一件商品所赔之比。

所以，当零售商卖出一件商品所赚与处理一件商品所赔之比越大时，订购数量就应该越大。

这个问题属于随机存储模型，由于需求量是随机变量，在知道其概率分布的前提下，构造利润函数（它是随机变量的函数）也是随机变量，根据期望利润最大，确定最佳定货量或最佳存储量。

这类问题又成为报童的诀窍或者随机存储策略。

模型的推广中，第一情况下，其结果类与单零售商单供应商的情况非常类似，在此不再重新分析。

第二种情况下，模型已经是现实中极为简单的一种情况，无论多少个供应商，均可以中这样的方法来确定到底订购哪一个供应商的商品。

8模型评价

8.1模型的优点

单供应商单零售的模型，将需求量x及其分布函数用概率转为连续型变量，该模型除了应用于整数数量的订购商品外，也非常适合于浮点型的订购数量；

本课程设计将现实中模糊的数量关系，用具体数值和方法来推理、计算而得到更为具体、可靠、科学的结果，对于商品买卖的商家来说极有参考价值；

由单零售商单供应商的模型，结合模型的推广可以得到买卖商或者是二层的订购—售货链，可以用来解决现实的商家营业订购和零售的实际问题中。

8.2模型的缺点

单供应商单零售商的模型中，对条件作了理想化处理，比如消费者对该商品的需求量f（x）不可能与其他因素无关，或许会受天气、季节，或者是某一商场人流量等因素都可能影响需求量，但是这些因素又无法确定也无法琢磨其变化规律；

同样是单供应商单零售商，但是当其商品供过求的时候，可能有多阶的处理，比如一阶处理以批发价出售，再者才以一个低于批发价的价格出售，或者更多阶的处理等，这是该模型没有定量解决的地方；

模型的推广情况下，条件作了更多的理想化处理，对于多个零售商而言，他们并没有被规定用相同的零售价出售商品，如果他们没有以相同的单价出售，那么将会产生一个影响零售商销售商品的概率的因素；又或者会因为地理位置的影响，比如在其他条件完全一样的情况下，没有人愿意跑到更远的地方买东西，还有声誉的影响等。

然而这些因素均无法预算。

9收获与体会

首先，本课程设计是关于订购商品与零售商品的课题，如今社会到处都是商场，那么到底有多少商家认真的考虑、调查和分析了他们自己所售商品的获利情况的科学理论基础，又有多少订购商从科学的角度去分析了所订购商品的数量与市场需求的关系，并且做出了具体的数值分析，利害关系的分析呢？

所以选择这个课题，让我明白了，要作为一个获利更多的销售者，我们应该花相当的精力去研究订购与销售中的实际问题，作为实际行动的理论基础，然后才是订购与销售的开始。

其次，通过本课程设计，我也清楚的知道，现实生活中的各种工作，都没有标准的模式，但是一定存在更好的模式，这便是优化。

或许所有的方法和方式都没有错误，但是所有的方式方法都有其缺陷与不足。

对于这么一类的问题，我们都可以建立数学模型，去探求更好的解决方案。

最后，做本课程设计的时候，不得不去查阅更多的资料，那些都是前辈或者长者们理论与实践的精髓，虽然没有站到巨人的肩上，但是可以立足于更高的角度来思考和分析问题，以至于得到更为全面，更为恰当的方案，这些资料可以是书籍中的，也可以是网络上的资源，同时也翻阅了好几遍matlab优化章节的部分，巩固了以前所学知识的同时，也学到了很多以前没有学到的东西。

参考文献

[1]姜启源谢金星叶俊编．数学模型（第三版）[M]．北京：

高等教育出版社，2005：

1-202.

[2]赵静但琦编.数学建模与数学实验（第二版）[M]．北京：

高等教育出版社，2003：

1-167.

[3]吴建国．数学建摸案例精编[M]．北京：

中国水利水电出版社．2005．

[4]刘卫国主编.MATLAB程序设计教程（第一版）[M].北京：

中国水利水电出版社，2005：

1-205.

[5]刘琼荪龚劬何中市傅鹂任善强编著．数学实验[M]．北京：

高等教育出版社，2008：

135-145.

[6]周晓阳主编．数学实验（第一版）[M]．武汉：

华中科技大学，2002.01：

1-220.

[7]张明辉王学辉等编注．MATLAB6.1最新应用详解[M]．北京：

中国水利水电出版社，2001：

1-180.

[8]

[9]

附录1源代码程序

n1代码：

%求解最优订购数量n

b=6;%出售价格

w=3;%订购价格

s=2;%处理价格

m=1000;%均值

sgm=200;%均方差

n=norminv（（b-w）/（b-s）,m,sgm）

运行结果：

>>n1

n=

1.1349e+003

n2的代码：

symsx%积分变量

%下面是为其中的常量赋值

b=6;%售出价格

w=3;%订购价格

s=2;%处理价格

m=1000;%均值

sgm=200;%均方差

%下面是正太分布函数p（x）

px=1/（sqrt（2*pi）*sgm）*exp（-（x-m）^2/（2*sgm^2））;

%下面是利润函数G（n）

Gn=int（（（b-w）*x-（w-s）*（n-x））*px,0,n）+int（（b-w）*n*px,n,inf）;

Gn=double（Gn）

附录2正太分布时G（n）的推导过程