学年第二学期高二数学《排列一》学案含答案.docx

学年第二学期高二数学《排列一》学案含答案.docx

《学年第二学期高二数学《排列一》学案含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学年第二学期高二数学《排列一》学案含答案.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

学年第二学期高二数学《排列一》学案含答案

1.2.1　排列

（一）

学习目标　1.理解并掌握排列的概念（重点）.2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题（难点）.

知识点1　排列的定义

一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

【预习评价】　（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）同一个排列中，同一个元素能重复出现.（　　）

（2）123与321是相同的排列.（　　）

解析　

（1）由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素.

（2）123与321是不同的排列，只有两个排列元素相同，顺序也相同时，才是同一个排列.

答案　

（1）×　

（2）×

知识点2　排列数的定义及公式

1.排列数的定义

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.

2.排列数公式

A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）（n，m∈N*，m≤n）＝.

【预习评价】

（1）从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？

（2）从n个不同的元素中取出m个（m≤n）元素排成一列，共有多少种不同排法？

答案　

（1）4×3×2＝24个.

（2）n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）种.

题型一　排列的概念

【例1】　

（1）在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”（即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场）.若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛？

（2）在“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”.若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛？

（3）在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？

在上述三个问题中，是排列问题的是________（填序号）.

解析　对于

（1），同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于

（2），由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于（3），由于两名选手一旦比赛后就淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题.故填

（1）.

答案　

（1）

规律方法　确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认.

（1）首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题.

（2）其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.

【训练1】　判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.

（1）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；

（2）从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；

（3）从所有互质的三位数中选出两个数求其和；

（4）从所有互质的三位数中选出两个数求其商；

（5）高二

（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个.

解　

（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.

（2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分.

（3）不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求.

（4）是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而商的结果相同的可能，故是排列.

（5）是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生.

考查

方向

　题型二　排列数公式的应用

方向1　利用排列数公式求值

【例2－1】　计算A和A.

解　A＝15×14×13＝2730，A＝6×5×4×3×2×1＝720.

方向2　利用排列数公式化简

【例2－2】　

（1）用排列数表示（55－n）（56－n）…（69－n）（n∈N*且n＜55）；

（2）化简n（n＋1）（n＋2）（n＋3）…（n＋m）.

解　

（1）∵55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有（69－n）－（55－n）＋1＝15（个）数，∴（55－n）（56－n）…（69－n）＝A.

（2）由排列数公式可知n（n＋1）（n＋2）（n＋3）…（n＋m）＝A.

方向3　利用排列数公式证明

【例2－3】　求证A－A＝mA.

证明　∵A－A＝－

＝·＝·

＝m·＝mA，

∴A－A＝mA.

规律方法　

（1）排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题.

（2）排列数公式的阶乘的形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算.

【训练2】　证明A－A＝nA，并用此结论计算A＋2A＋3A＋…＋8A.

证明　A－A＝（n＋1）！

－n!

＝（n＋1）n！

－n！

＝n·n！

＝nA.

A＋2A＋3A＋…＋8A

＝（A－A）＋（A－A）＋…＋（A－A）＋（A－A）

＝A－A＝9！

－1＝362879.

题型三　排列的简单应用

【例3】　用排列数表示下列问题.

（1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；

（2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；

（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.

解　

（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A.

（2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A.

（3）可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A.

规律方法　首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题.

【训练3】　

（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

解　

（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210（种）不同的送法.

（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343（种）不同的送法.

课堂达标

1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（　　）

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲

B.甲乙丙，乙丙甲

C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙

D.甲乙，甲丙，乙丙

解析　选出两人，且两人的不同顺序都要考虑.

答案　C

2.设m∈N*，且m<15，则（15－m）（16－m）…（20－m）等于（　　）

A.AB.A

C.AD.A

解析　因为15－m，16－m，…，20－m中的最大数为20－m，且共有20－m－（15－m）＋1＝6（个），所以（15－m）·（16－m）…（20－m）＝A.

答案　C

3.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种.

解析　可分三步：

第一步，排最后一个商业广告，有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有A种.根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有AAA＝8（种）.

答案　8

4.8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法.（用数字作答）

解析　将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题.所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1680（种）.

答案　1680

5.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号.

解　第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；

第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；

第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法.

根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15（种）.

课堂小结

1.排列有两层含义：

一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.

2.排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.

基础过关

1.4·5·6·…·（n－1）·n等于（　　）

A.AB.AC.n！

－4!

D.A

解析　因为A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1），所以A＝n（n－1）（n－2）…[n－（n－3）＋1]＝n·（n－1）·（n－2）·…·6·5·4.

答案　D

2.将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（　　）

A.50B.60C.120D.90

解析　5本书进行全排列，A＝120.

答案　C

3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（　　）

A.12种B.24种C.48种D.120种

解析　∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24（种）.

答案　B

4.高三

（一）班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有________种不同的排法.

解析　不同排法的种数为AA＝3600（种）.

答案　3600

5.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言.（用数字作答）

解析　根据题意，得A＝1560，故全班共写了1560条毕业留言.

答案　1560

6.解不等式A－n<7.

解　由不等式A－n<7，

得（n－1）（n－2）－n<7，

整理得n2－4n－5<0，

解得－1

又因为n－1≥2且n∈N*，

即n≥3且n∈N*，

所以n＝3或n＝4，

故不等式A－n<7的解集为{3，4}.

7.判断下列问题是否为排列问题：

（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；

（2）选2个小组分别去植树和种菜；

（3）选2个小组去种菜；

（4）选10人组成一个学习小组；

（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

（6）某班40名学生在假期相互通信.

解　

（1）中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；

（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；

（3）（4）不存在顺序问题，不属于排列问题；

（5）中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；

（6）A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.

所以在上述各题中

（2）（5）（6）属于排列问题.

能力提升

8.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是（　　）

A.9B.10C.18D.20

解析　首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A＝20（种）排法，

因为＝，＝，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是20－2＝18.

答案　C

9.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为（　　）

A.54B.45

C.5×4×3×2D.5

解析　由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票.因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.

答案　D

10.5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为________.（用数字做答）

解析　可分两步：

第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为AA＝96.

答案　96

11.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案.（用数字作答）

解析　将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有A＝5×4×3＝60（种）.

答案　60

12.某国的篮球职业联赛共有16支球队参加.

（1）每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？

（2）若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用

（1）中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？

解　

（1）任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A＝16×15＝240.

（2）由

（1）中的分析，比赛的总场次是A×2＋1＝8×7×2＋1＝113.

13.（选做题）一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？

现在有多少个车站？

解　由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，∴A－A＝62，

即（n＋m）（n＋m－1）－n（n－1）＝62.

∴m（2n＋m－1）＝62＝2×31，

∵m＜2n＋m－1，且n≥2，m，n∈N*，

∴解得m＝2，n＝15，

故原有15个车站，现有17个车站.