学年第二学期高二数学《排列一》学案含答案.docx

1、学年第二学期高二数学排列一学案含答案1.2.1排列(一)学习目标1.理解并掌握排列的概念(重点).2.理解并掌握排列数公式，能应用排列知识解决简单的实际问题(难点).知识点1排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)同一个排列中，同一个元素能重复出现.()(2)123与321是相同的排列.()解析(1)由排列的定义知，在同一个排列中不能重复出现同一个元素.(2)123与321是不同的排列，只有两个排列元素相同，顺序也相同时，才是同一个排列.答案(1)(2)知识点2排

2、列数的定义及公式1.排列数的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.2.排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn).【预习评价】(1)从1，2，3，4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的3位数？(2)从n个不同的元素中取出m个(mn)元素排成一列，共有多少种不同排法？答案(1)43224个.(2)n(n1)(n2)(nm1)种.题型一排列的概念【例1】(1)在各国举行的足球联赛中，一般采取“主客场制”(即每两个球队之间分为主队和客队各赛一场).若共有12支球队参赛，则需进行多少场比赛？(2)在

3、“世界杯”足球赛中，由于有东道主国家承办，故无法实行“主客场制”，而采用“分组循环淘汰制”.若共有32支球队参加，分为八组，每组4支球队进行小组循环赛，则在小组循环赛中需进行多少场比赛？(3)在乒乓球单打比赛中，由于参赛选手较多，故常采取“抽签组对淘汰制”决出冠军，若共有100名选手参赛，待冠军产生时，共需举行多少场比赛？在上述三个问题中，是排列问题的是_(填序号).解析对于(1)，同样是甲、乙两队比赛，甲作为主队和乙作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；对于(2)，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需要进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；对于(3)，由于两名选手一旦比赛后就

4、淘汰其中一位，故也与顺序无关，不是排列问题.故填(1).答案(1)规律方法确认一个具体问题是否为排列问题，一般从两个方面确认.(1)首先要保证元素的无重复性，否则不是排列问题.(2)其次要保证选出的元素被安排的有序性，否则不是排列问题，而检验它是否有顺序的标准是变换某一结果中两元素的位置，看结果是否变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.【训练1】判断下列问题是不是排列问题，并说明理由.(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B；(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所

5、有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐这四个空位中的三个.解(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分.(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求.(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序而发生变化，且这些三位数是互质的，不存在选出的数不同而商的结果相同的可能，故是排列.(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生.考查方向题型二排列数公式的应用方向1利用排列数公式求

6、值【例21】计算A和A.解A1514132 730，A654321720.方向2利用排列数公式化简【例22】(1)用排列数表示(55n)(56n)(69n)(nN*且n55)；(2)化简n(n1)(n2)(n3)(nm).解(1)55n，56n，69n中的最大数为69n，且共有(69n)(55n)115(个)数，(55n)(56n)(69n)A.(2)由排列数公式可知n(n1)(n2)(n3)(nm)A.方向3利用排列数公式证明【例23】求证AAmA.证明AAmmA，AAmA.规律方法(1)排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题.(2)排列数公式的阶乘的形

7、式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意提取公因式，可以简化计算.【训练2】证明AAnA，并用此结论计算A2A3A8A.证明AA(n1)！n!(n1)n！n！nn！nA.A2A3A8A(AA)(AA)(AA)(AA)AA9！1362 879.题型三排列的简单应用【例3】用排列数表示下列问题.(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.解(1)从100

8、个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其排列数为A.(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，其排列数为A.(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数为A.规律方法首先分析问题是不是排列问题，若是排列问题，则利用定义解题.【训练3】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7

9、个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A765210(种)不同的送法.(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有777343(种)不同的送法.课堂达标1.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙解析选出两人，且两人的不同顺序都要考虑.答案C2.设mN*，且m15，则(15m)(16m)(20m)等于()A.A B. A C.A D.A解析因为15m，16m，20m中的最大数为20m，且共有20m(15m)16(个)，所以(15m)(16m)

10、(20m)A.答案C3.某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有_种.解析可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有A种.根据分步乘法计数原理，不同的播放方式共有AAA8(种).答案84.8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有_种不同的种法.(用数字作答)解析将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个

11、不同元素中任选4个元素的排列问题.所以不同的种法共有A87651 680(种).答案1 6805.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号.解第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法.根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有AAA33232115(种).课堂小结1.排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”.这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素

12、与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准.2.排列数公式有两种形式，可以根据要求灵活选用.基础过关1.456(n1)n等于()A.A B.A C.n！4! D.A解析因为An(n1)(n2)(nm1)，所以An(n1)(n2)n(n3)1n(n1)(n2)654.答案D2.将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A.50 B.60 C.120 D.90解析5本书进行全排列，A120.答案C3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A.12种 B.24种 C.48种 D.120种解析同学甲只能在周一值日，除同

13、学甲外的4名同学将在周二至周五值日，5名同学值日顺序的编排方案共有A24(种).答案B4.高三(一)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则共有_种不同的排法.解析不同排法的种数为AA3 600(种).答案3 6005.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答)解析根据题意，得A1 560，故全班共写了1 560条毕业留言.答案1 5606.解不等式An7.解由不等式An7，得(n1)(n2)n7，整理得n24n50，解得1n5.又因为n12且nN*，即n3且nN*，所以n

14、3或n4，故不等式An7的解集为3，4.7.判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信.解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排

15、列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题.能力提升8.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A.9 B.10 C.18 D.20解析首先从1，3，5，7，9这五个数中任取两个不同的数排列，共有A20(种)排法，因为，所以从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是20218.答案C9.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种

16、数为()A.54 B.45C.5432 D.5解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票.因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法.又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种.答案D10.5名同学排成一列，甲同学不排排头的排法种数为_.(用数字做答)解析可分两步：第一步，甲同学不排排头，故排头的位置可以从余下的四个同学中选一个排，有A种方法；第二步，余下的四个同学全排列，有A种不同的排法，根据分步乘法计数原理，所求的排法种数为AA96.答案9611.有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学

17、毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有_种不同的招聘方案.(用数字作答)解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题.所以不同的招聘方案共有A54360(种).答案6012.某国的篮球职业联赛共有16支球队参加.(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A1615240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A218721113.13.(选做题)一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且m1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解由题意可知，原有车票的种数是A种，现有车票的种数是A种，AA62，即(nm)(nm1)n(n1)62.m(2nm1)62231，m2nm1，且n2，m，nN*，解得m2，n15，故原有15个车站，现有17个车站.