新人教版必修五解三角之解三角形应用举例讲义学生版及教师版.docx
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新人教版必修五解三角之解三角形应用举例讲义学生版及教师版
新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义
解三角形
内容简介：
1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
解三角形应用举例
【知识要点】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点诠释：
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。
坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：
一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。
方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点
的方位角是
。
方向角：
一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度。
如图为南偏西
方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转
）；
如图为北偏东
方向（指从正北开始向正东方向旋转
）.
东南方向：
指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：
这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问题：
这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.
3.测量角度问题：
这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高
【典型例题】
类型一：
距离问题
例1.（上海高考）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
举一反三：
【变式】为了开凿隧道，要测量隧道上
间的距离，为此在山的一侧选取适当点
，如图，测得
，又测得
两点到隧道口的距离
，
在一条直线上），计算隧道
的长.
类型二：
高度问题
例2.某人在塔的正东沿着南偏西
的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为
，求塔高.
举一反三：
【变式1】（湖北高考）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=_________m.
【变式2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2
，再继续前进10
m至D点，测得顶端A的仰角为4
，求
的大小和建筑物AE的高。
类型三：
角度问题
例3.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？
举一反三：
【变式1】两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏西30
，灯塔B在观察站C南偏西60
，则A、B之间的距离为；
【变式2】如图示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于
，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A.
B.
C.
D.
【变式3】如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A为（
）km的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A为2km的C处的缉私船奉命以
km/h的速度追截走私船.此时走私船正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
并求出所需要的时间.
1、选择题
1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4米,
则其跨度AB的长为（）
A.12米B.8米
C.
米D.
米
2.某人向正东方向走了x千米后，他向右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好
千米，那么x的值为（）
A.
B.
或
C.
D.3
3.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）
A.
米 B.
米 C.
米 D.
米
4.若在测量中，某渠道斜坡的坡度
，设
为坡角，那么
为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为（ ）
A．
m B．
m
C．
mD.
m
6．（四川高考）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（ ）
A．240（
－1）mB.180（
－1）mC．120（
－1）mD．30（
＋1）m
填空题
7.一艘船以
的速度向正北方向航行,船在
处看见灯塔
在船的东北方向上,
后船在
处看见灯塔
在船的北偏东
的方向上,这时,船与灯塔的距离
；
8.（四川高考）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于 m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：
sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
≈1.73）
9.（河南高考）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°．已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m．
解答题
10．如图所示，已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？
11．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图所示）．求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）．
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东
的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和
角的正弦值．
13.如图，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，∠BAD=110°，又在B点测得∠ABD=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD.（精确到1m）
14.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东
的方向航行
后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东
的方向航行
后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?
15.如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？
（角度精确到1°，sin41°＝
）
新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义
解三角形
内容简介：
1.正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题
解三角形应用举例
【知识要点】
要点一、解三角形应用题的步骤
解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：
（1）准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；
（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；
（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；
（4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.
要点诠释：
要点二、解三角形应用题的基本思路
实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解
要点三、实际问题中的一些名词、术语
仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：
坡角和坡度
坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。
坡比是坡角的正切值。
方位角与方向角：
方位角：
一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。
方位角的取值范围为0°～360°。
如图，点
的方位角是
。
方向角：
一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度。
如图为南偏西
方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转
）；
如图为北偏东
方向（指从正北开始向正东方向旋转
）.
东南方向：
指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；
要点四、解三角形应用中的常见题型
正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：
1.测量距离问题：
这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.
2.测量高度问
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