第七章平面直角坐标系.docx
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第七章平面直角坐标系
第七章 平面直角坐标系
7.1 平面直角坐标系
7.1.1 有序数对
01 基础题
知识点1 有序数对
1.用7和8组成一个有序数对,可以写成(D)
A.(7,8)B.(8,7)C.7,8或8,7D.(7,8)或(8,7)
2.一个有序数对可以(A)
A.确定一个点的位置
B.确定两个点的位置
C.确定一个或两个点的位置
D.不能确定点的位置
3.下列关于有序数对的说法正确的是(C)
A.(3,2)与(2,3)表示的位置相同
B.(a,b)与(b,a)表示的位置一定不同
C.(3,-2)与(-2,3)是表示不同位置的两个有序数对
D.(4,4)与(4,4)表示两个不同的位置
知识点2 有序数对的应用
4.某班级第3组第4排位置可以用数对(3,4)表示,则数对(1,2)表示的位置是(C)
A.第2组第1排B.第1组第1排
C.第1组第2排D.第2组第2排
5.电影院里的座位按“×排×号”编排,小明的座位简记为(12,6),小菲的位置简记为(12,12),则小明与小菲坐的位置为(A)
A.同一排B.前后同一条直线上
C.中间隔六个人D.前后隔六排
6.如图所示,一方队正沿箭头所指的方向前进,A的位置为三列四行,表示为(3,4),那么C的位置是(D)
A.(4,5)B.(5,4)C.(4,2)D.(4,3)
7.(2017·丛台区期末)小敏的家在学校正南方向150m,正东方向200m处,如果以学校位置为原点,以正北、正东为正方向,则小敏家用有序数对(规定:
东西方向在前,南北方向在后)表示为(C)
A.(-200,-150)B.(200,150)
C.(200,-150)D.(-200,150)
8.如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图,这个电视塔的位置用A表示.某人由点B出发到电视塔,他的路径表示错误的是(注:
街在前,巷在后)(A)
A.(2,2)→(2,5)→(5,6)
B.(2,2)→(2,5)→(6,5)
C.(2,2)→(6,2)→(6,5)
D.(2,2)→(2,3)→(6,3)→(6,5)
9.若将7门6楼简记为(7,6),则6门7楼可简记为(6,7),(8,5)表示的意义是8门5楼.
10.如图所示,围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋,为记录棋谱方便,横线用数字表示,纵线用英文字母表示,这样,黑棋❶的位置可记为(C,4),白棋②的位置可记为(E,3),则黑棋❾的位置应记为(D,6).
11.如图,若图中的有序数对(4,1)对应字母D,有一个英文单词的字母顺序对应图中的有序数对为(1,1),(2,3),(2,3),(5,2),(5,1),则这个英文单词是APPLE.
02 中档题
12.(易错易混)王宁在班里的座位号为(2,3),那么该同学所坐的位置是(D)
A.第2排第3列B.第3排第2列
C.第5排第5列D.不好确定
13.若有序数对(3a-1,2b+5)与(8,9)表示的位置相同,则a+b的值为(D)
A.2B.3C.4D.5
14.如图,雷达探测器测得六个目标A,B,C,D,E,F出现,按照规定的目标表示方法,目标C,F的位置分别表示为C(6,120°),F(5,210°),按照此方法在表示目标A,B,D,E的位置时,其中表示不正确的是(D)
A.A(5,30°)B.B(2,90°)C.D(4,240°)D.E(3,60°)
15.如图是某校的部分平面图,如果用(2,4),(2,7)分别表示图中桃李亭和综合楼的位置,那么教学楼的位置是(8,9),图书馆的位置是(5,6),(6,1)表示的是芳草亭的位置.
16.将正整数按如图所示的规律排列.若用有序数对(a,b)表示第a排,从左至右第b个数.例如(4,3)表示的数是9,则(7,2)表示的数是23.
习题解析
17.如图,点A(3,1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜,点B(2,3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜.
(1)请你写出其他各点C,D,E,F所表示的意义;
(2)若一只兔子从A到达B(顺着方格线走),有以下几条路可以选择:
①A→C→D→B;②A→F→D→B;③A→F→E→B,帮可爱的小白兔选一条路,使它吃到的食物最多.
解:
(1)C(2,1)表示放置2个胡萝卜、1棵青菜;D(2,2)表示放置2个胡萝卜、2棵青菜;E(3,3)表示放置3个胡萝卜、3棵青菜;F(3,2)表示放置3个胡萝卜、2棵青菜.
(2)走①有9个胡萝卜、7棵青菜;走②有10个胡萝卜、8棵青菜;走③有11个胡萝卜、9棵青菜.故小白兔走③吃到的胡萝卜、青菜都最多.
03 综合题
18.五子连珠棋和象棋、围棋一样,深受广大棋友的喜爱,其规则是:
在15×15的正方形棋盘中,由黑方先行,轮流弈子,在任一方向上连成五子者为胜.如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图(甲执黑子先行,乙执白子后走),观察棋盘思考:
若A点的位置记作(8,4),甲必须在哪个位置上落子,才不会让乙在短时间内获胜?
为什么?
解:
甲必须在(1,7)或(5,3)处落子.因为若甲不首先截断以上两处之一,而让乙在(1,7)或(5,3)处落子,则不论截断何处,乙总有一处落子可连成五子,乙必胜无疑.
7.1.2 平面直角坐标系
01 基础题
知识点1 认识平面直角坐标系
1.下列说法错误的是(A)
A.平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系
B.平面直角坐标系中两条坐标轴是相互垂直的
C.坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分,每个部分称为象限
D.坐标轴上的点不属于任何象限
2.(2017·定州市期中)点A的坐标是(-2,5),则点A在(B)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3.与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是(C)
A.实数B.有理数
C.有序实数对D.有序有理数对
4.如图,小手盖住的点的坐标可能为(C)
A.(5,2)B.(-6,3)C.(-4,-6)D.(3,-4)
5.如图,点A(-2,1)到y轴的距离为(C)
A.-2B.1C.2D.
6.在平面直角坐标系中,点(0,-10)在(D)
A.x轴的正半轴上B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上D.y轴的负半轴上
7.已知点A(1,2),AC⊥x轴于点C,则点C的坐标为(B)
A.(2,0)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,1)
8.已知点P在第二象限,它的横坐标与纵坐标的和为1,则点P的坐标可以是答案不唯一,如:
(-2,3).(写出一个符合条件的坐标即可)
9.平面直角坐标系内有一点P(x,y),若点P在横轴上,则y=0;若点P在纵轴上,则x=0;若点P为坐标原点,则x=0且y=0.
10.写出图中A,B,C,D,E,F,O各点的坐标.
解:
观察图,得A(2,3),
B(3,2),C(-2,1),
D(-1,-2),E(2.5,0),
F(0,-2),O(0,0).
知识点2 在平面直角坐标系中描点
11.在如图所示的平面直角坐标系中,描出下列各点,并将各点用线段依次连接起来.
(0,-4),(3,-5),(6,0),(0,-1),(-6,0),(-3,-5),(0,-4).
解:
如图.
12.如图,将边长为1的正方形ABCD放在平面直角坐标系中,使点C的坐标为(
,
).请建立平面直角坐标系,并写出其余各点的坐标.
解:
如图,A(-
,-
),B(
,-
),D(-
,
).
13.在平面直角坐标系中描出点A(-3,3),B(-3,-1),C(2,-1),D(2,3),并用线段顺次连接各点,看它是什么样的几何图形?
并求出它的面积.
解:
图略,所得图形为长方形.
∵AB=|3|+|-1|=4,BC=|-3|+|2|=5.
∴S长方形ABCD=AB·BC=4×5=20(平方单位).
02 中档题
14.(易错易混)(2017·秦皇岛市抚宁县期末)若点P(x,y)的坐标满足xy=0(x≠y),则点P必在(D)
A.原点上
B.x轴上
C.y轴上
D.x轴上或y轴上(除原点)
15.(2017·定州市期中)如果点P(m+3,m+1)在平面直角坐标系的x轴上,那么P点坐标为(B)
A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,-4)
16.已知坐标平面内点M(a,b)在第三象限,那么点N(b,-a)在(B)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
17.如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长度,P1,P2,P3,…均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列,如:
P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2),…,根据这个规律,点P2017的坐标为(A)
A.(-504,-504)
B.(-505,-504)
C.(504,-504)
D.(-504,505)
18.(2017·保定市高阳县期末)已知线段MN平行于x轴,且MN的长度为5.若M(2,-2),则点N的坐标(7,-2)或(-3,-2).
19.如图所示是某台阶的一部分,如果点A的坐标为(0,0),B点的坐标为(1,1).
(1)请建立适当的平面直角坐标系,并写出点C,D,E,F的坐标;
(2)如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗?
解:
(1)以A点为原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系.
所以C,D,E,F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5).
(2)每级台阶高为1,
所以10级台阶的高度是10.
20.在平面直角坐标系内描出各点,并依次用线段连接各点:
(4,4),(3,3),(4,3),(2,1),(4,1),(
,0),(
,0),(4,1),(6,1),(4,3),(5,3),(4,4).
观察得到的图形,你觉得该图形像什么?
求出所得到图形的面积.
解:
如图所示:
该图形像宝塔松.
图形的面积为:
×1×1+
×4×2+
×2×1=
+4+1=
.
03 综合题
21.(2017·定州市期中)如图,A(-1,0),C(1,4),点B在x轴上,且AB=3.
(1)求点B的坐标;
(2)求三角形ABC的面积;
(3)在y轴上是否存在点P,使以A,B,P三点为顶点的三角形的面积为10?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)当点B在点A的右边时,点B的坐标为(2,0);
当点B在点A的左边时,点B的坐标为(-4,0).
所以点B的坐标为(2,0)或(-4,0).
(2)三角形ABC的面积=
×3×4=6.
(3)设点P到x轴的距离为h,则
×3h=10,解得h=
.
①当点P在y轴正半轴时,点P的坐标为(0,
);
②当点P在y轴负半轴时,点P的坐标为(0,-
).
综上所述,点P的坐标为(0,
)或(0,-
).
7.2 坐标方法的简单应用
7.2.1 用坐标表示地理位置
01 基础题
知识点1 用坐标表示物体的位置
1.如图,若以解放公园为原点建立平面直角坐标系,则博物馆的坐标为(D)
A.(2,3)B.(0,3)C.(3,2)D.(2,2)
2.如图,茗茗从点O出发,先向东走15米,再向北走10米到达点M.如果点M的位置用(15,10)表示,那么(-10,5)表示的位置是(D)
A.点AB.点BC.点CD.点D
3.如图是某游乐城的平面示意图,用(8,2)表示入口处的位置,用(6,-1)表示球幕电影的位置,那么坐标原点表示的位置是(D)
A.太空秋千B.梦幻艺馆C.海底世界D.激光战车
4.(2017·定州市期中)如图是某植物园的平面图,图中A馆所在地用坐标表示为(1,0),B馆所在地用坐标表示为(-3,-1),那么C馆所在地用坐标表示为(2,4).
知识点2 用方位角和距离表示物体的位置
5.海事救灾船前去救援某海域失火货轮,需要确定(C)
A.方位B.距离C.方位和距离D.失火轮船的国籍
6.某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图(图中1cm代表20海里)如下,对我方潜艇O来说:
(1)北偏东40°的方向上有哪些目标?
要想确定敌舰B的位置,还需要什么数据?
(2)距离我方潜艇20海里的敌舰有哪几艘?
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要几个数据?
解:
(1)对我方潜艇来说,北偏东40°的方向上有两个目标:
敌舰B和小岛.要想确定敌舰B的位置,还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离.
(2)距离我方潜艇20海里的敌舰有两艘:
敌舰A和敌舰C.
(3)要确定每艘敌舰的位置,各需要两个数据:
距离和方位角.
02 中档题
7.如图所示,若在象棋盘上建立平面直角坐标系,使“将”位于点(1,-2),“象”位于点(3,-2),则“炮”位于点(B)
A.(1,3)B.(-2,0)C.(-1,2)D.(-2,2)
8.雷达二维平面定位的主要原理是:
测量目标的两个信息——距离和角度,目标的表示方法为(γ,α),其中,γ表示目标与探测器的距离;α表示以正东为始边,逆时针旋转后的角度.如图,雷达探测器显示在点A,B,C处有目标出现,其中,目标A的位置表示为A(5,30°),目标B的位置表示为B(4,150°).用这种方法表示目标C的位置,正确的是(C)
A.(-3,300°)B.(3,60°)C.(3,300°)D.(-3,60°)
9.如图,小刚在小明的北偏东60°方向的500m处,则小明在小刚的南偏西60°方向的500m.(请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置)
10.如图,线段OB,OC,OA的长度分别是1,2,3,且OC平分∠AOB.若将A点表示为(3,30°),B点表示为(1,120°),则C点可表示为(2,75°).
11.在一次寻宝游戏中,寻宝人找到了如图所示的两个标志,点A(2,3),B(4,1),这两个标志点到“宝藏”点的距离都是2,则“宝藏”点的坐标是(2,1)和(4,3).
12.如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图(比例尺为1∶20000,图中每个小方格的长度为1cm).
(1)选取某一个景点为坐标原点,建立平面直角坐标系;
(2)根据所建立的平面直角坐标系,写出其他各景点的坐标.
解:
(1)以长寿园为坐标原点,向东方向为x轴正方向,向北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系如图(答案不唯一).
(2)由比例尺可知:
图中1cm相当于实际20000cm.则长寿园(0,0),大剧院(40000,40000),湖心岛(20000,80000),安定广场(80000,60000),水绘园(120000,120000).
13.如图是某动物园平面示意图的一部分(图中小正方形的边长代表100米),请问:
(1)在大门东南方向有哪些景点?
(2)从大门径直向东走300米,再向北走200米,到达哪个景点?
(3)以大门为坐标原点,向东方向为x轴正方向,向北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系,写出蛇山,水族馆及大象馆的坐标.
解:
(1)猴山,大象馆.
(2)蛇山.
(3)如图,蛇山的坐标为(300,200);水族馆的坐标为(500,0);大象馆的坐标为(300,-300).
03 综合题
14.如图,在平面内取一个定点O,叫极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个单位长度和角度的正方向(通常取逆时针方向).对于平面内任何一点M,用ρ表示线段OM的长度,θ表示从Ox到OM的角度,ρ叫做点M的极径,θ叫做点M的极角,有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标.若ON⊥Ox,且点N到极点O的距离为4个单位长度,则点N的极坐标可表示为(4,90°).
7.2.2 用坐标表示平移
01 基础题
知识点1 用坐标表示平移
1.(2017·秦皇岛市抚宁县期末)在平面直角坐标系中,将点M(1,2)向左平移2个长度单位后得到点N,则点N的坐标是(A)
A.(-1,2)B.(3,2)C.(1,4)D.(1,0)
2.在平面直角坐标系中,将点(2,3)向上平移1个单位长度,所得到的点的坐标是(C)
A.(1,3)B.(2,2)C.(2,4)D.(3,3)
3.如图,如果将三角形ABC向左平移2格得到三角形A′B′C′,则顶点A′的位置用数对表示为(B)
A.(5,1)B.(1,1)C.(7,1)D.(3,3)
4.如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度,那么这个图案上的点的坐标变化为(B)
A.横坐标不变,纵坐标减少3个单位长度
B.纵坐标不变,横坐标减少3个单位长度
C.横纵坐标都没有变化
D.横纵坐标都减少3个单位长度
5.(2016·安顺)如图,将三角形PQR向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则顶点P平移后的坐标是(A)
A.(-2,-4)B.(-2,4)C.(2,-3)D.(-1,-3)
6.在平面直角坐标系中,将点A(x,y)向左平移5个单位长度,再向上平移3个单位长度后与点B(-3,2)重合,则点A的坐标是(D)
A.(2,5)B.(-8,5)C.(-8,-1)D.(2,-1)
7.在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(1,3),将线段OA向右平移3个单位长度,得到线段O1A1,则点O1的坐标是(3,0),点A1的坐标是(4,3).
8.(2017·广元)在平面直角坐标系中,将P(-3,2)向右平移2个单位长度,再向下平移2个单位长度得点P′,则P′的坐标为(-1,0).
知识点2 根据坐标变化确定图形平移的方向和距离
9.已知三角形ABC的三个顶点的坐标为A(-1,4),B(2,-2),C(5,1),将三角形ABC的各点的横坐标都加3,纵坐标不变,则(B)
A.三角形ABC的形状和大小不变,只是向左方平移了3个单位长度
B.三角形ABC的形状和大小不变,只是向右方平移了3个单位长度
C.三角形ABC的形状不变,但比原来扩大了
D.三角形ABC的形状和大小都发生了变化
10.已知三角形ABC,若将三角形ABC平移后,得到三角形A′B′C′,且点A(1,0)的对应点A′的坐标是(-1,0),则三角形ABC是向左平移2个单位长度得到三角形A′B′C′.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,将线段AB平移得到线段MN.若点A(-1,3)的对应点为M(2,5),则点B(-3,-1)的对应点N的坐标是(0,1).
知识点3 利用坐标画平移后的图形
12.如图所示为一小船,将其向左平移6个单位长度,再向下平移5个单位长度,试确定A,B,C,D,E,F,G平移后对应点的坐标并画出平移后的图形.
解:
由A(1,2),B(3,1),C(4,1),D(5,2),E(3,2),F(3,4),G(2,3)可得平移后对应点为:
A′(-5,-3),B′(-3,-4),C′(-2,-4),D′(-1,-3),E′(-3,-3),
F′(-3,-1),G′(-4,-2).
平移后的图形如图所示.
02 中档题
13.在如图所示的正方形网格中,三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1,已知在AC上一点P(2.4,2)平移后的对应点为P1,则点P1的坐标为(C)
A.(1.4,-1)B.(1.5,2)C.(-1.6,-1)D.(2.4,1)
14.已知直角坐标系上的点A(2,-1),现在把原点向下移动4个单位长度,再向左移动3个单位长度,则点A在新坐标系中的坐标为(C)
A.(-1,-5)B.(-1,-4)C.(5,3)D.(-4,3)
15.如图,点A,B的坐标分别为(1,2),(4,0),将三角形AOB沿x轴向右平移,得到三角形CDE,已知DB=1,则点C的坐标为(4,2).
16.(2017·定州市期中)A,B两点的坐标分别为(1,0),(0,2).若将线段AB平移至A1B1,点A1,B1的坐标分别为(2,a),(b,3),则a+b=2.
17.(2017·定州市期中)如图,已知A(-1,0),B(1,1),把线段AB平移,使点B移动到点D(3,4)处,这时点A移动到点C处.
(1)画出平移后的线段CD,并写出点C的坐标;
(2)如果平移时只能左右或者上下移动,叙述线段AB是怎样移到CD的.
解:
(1)如图,
∴C(1,3).
(2)先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度即可得到CD.
18.如图,三角形ABC内任意一点P(x0,y0),将三角形ABC平移后,点P的对应点为P1(x0+5,y0-3).
(1)写出将三角形ABC平移后,三角形ABC中A,B,C分别对应的点A1,B1,C1的坐标,并画出三角形A1B1C1;
(2)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1(5,3),写出M点的坐标(0,6).若连接线段MM1,PP1,则这两条线段之间的关系是平行且相等.
解:
A1(2,-1),B1(1,-5),C1(5,-6).三角形A1B1C1如图.
03 综合题
19.如图,在平面直角坐标系xOy中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作:
把每个点的横、纵坐标都乘同一实数a,将得到的点先向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度(m>0,n>0),得到正方形A′B′C′D′及其内部的点,其中点A,B的对应点分别为A′,B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合,求点F的坐标.
解:
易知AB=6,A′B′=3,
∴a=
.
由(-3)×
+m=-1,得m=
.
由0×
+n=2,得n=2.
设F(x,y),变换后F′(ax+m,ay+n).
∵F与F′重合,
∴ax+m=x,ay+n=y.
∴
x+
=x,
y+2=y.
解得x=1,y=4.
∴点F的坐标为(1,4).
章末复习(三) 平面直角坐标系
01 基础题
知识点1 有序数对
1.确定平面直角坐标系内点的位置是(D)
A.一个实数B.一个整数
C.一对实数D.有序实数对
2.我们规定向东和向北方向为正,若向东走4m,向北走6m,记为(4,6),则向西走5m,向北走3m,记为(-5,3),数对(-2,-6)表示向西走2__m,向南走6__m.
知识点2 平面直角坐标系
3.(2017·保定市高阳县期末)点M(5,3)在平面直角坐标系中的位置是(A)
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
4.若点P(m,-1)在第三象限内,则点Q(-m,0)在(A)
A.x轴正半轴上B.x轴负半轴上
C.y轴正半轴上D.y轴负半轴上
5.(2017·保定市高阳县期末)在如图的方格纸上,若用(-1,1)表示A点,(0,3)表示B点,那么C点的位置可表示为(A)
A.(1,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,1)
6.(2017·秦皇岛市抚宁县期末)点P的横坐标是-3,且到x轴的距离为5,则P点的坐标是(B)
A.(5,-3)或(-5,-3)B.(-3,5)或(-3,-5)
C.(-3,5)D.(-3,-5)
7.(2017·定州市期中)已知A(2,-5),AB平行于y轴,则点B的坐标可能是(B)
A.(-2,5)B.(2,6)C.(5,-5)D.(-5,5)
知识点3 用坐