第七章平面直角坐标系.docx

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第七章平面直角坐标系

第七章　平面直角坐标系

7．1　平面直角坐标系

7．1.1　有序数对

01　　基础题

知识点1　有序数对

1．用7和8组成一个有序数对，可以写成（D）

A．（7，8）B．（8，7）C．7，8或8，7D．（7，8）或（8，7）

2．一个有序数对可以（A）

A．确定一个点的位置

B．确定两个点的位置

C．确定一个或两个点的位置

D．不能确定点的位置

3．下列关于有序数对的说法正确的是（C）

A．（3，2）与（2，3）表示的位置相同

B．（a，b）与（b，a）表示的位置一定不同

C．（3，－2）与（－2，3）是表示不同位置的两个有序数对

D．（4，4）与（4，4）表示两个不同的位置

知识点2　有序数对的应用

4．某班级第3组第4排位置可以用数对（3，4）表示，则数对（1，2）表示的位置是（C）

A．第2组第1排B．第1组第1排

C．第1组第2排D．第2组第2排

5．电影院里的座位按“×排×号”编排，小明的座位简记为（12，6），小菲的位置简记为（12，12），则小明与小菲坐的位置为（A）

A．同一排B．前后同一条直线上

C．中间隔六个人D．前后隔六排

6．如图所示，一方队正沿箭头所指的方向前进，A的位置为三列四行，表示为（3，4），那么C的位置是（D）

A．（4，5）B．（5，4）C．（4，2）D．（4，3）

7．（2017·丛台区期末）小敏的家在学校正南方向150m，正东方向200m处，如果以学校位置为原点，以正北、正东为正方向，则小敏家用有序数对（规定：

东西方向在前，南北方向在后）表示为（C）

A．（－200，－150）B．（200，150）

C．（200，－150）D．（－200，150）

8．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是（注：

街在前，巷在后）（A）

A．（2，2）→（2，5）→（5，6）

B．（2，2）→（2，5）→（6，5）

C．（2，2）→（6，2）→（6，5）

D．（2，2）→（2，3）→（6，3）→（6，5）

9．若将7门6楼简记为（7，6），则6门7楼可简记为（6，7），（8，5）表示的意义是8门5楼．

10．如图所示，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋❶的位置可记为（C，4），白棋②的位置可记为（E，3），则黑棋❾的位置应记为（D，6）．

11．如图，若图中的有序数对（4，1）对应字母D，有一个英文单词的字母顺序对应图中的有序数对为（1，1），（2，3），（2，3），（5，2），（5，1），则这个英文单词是APPLE.

02　　中档题

12．（易错易混）王宁在班里的座位号为（2，3），那么该同学所坐的位置是（D）

A．第2排第3列B．第3排第2列

C．第5排第5列D．不好确定

13．若有序数对（3a－1，2b＋5）与（8，9）表示的位置相同，则a＋b的值为（D）

A．2B．3C．4D．5

14．如图，雷达探测器测得六个目标A，B，C，D，E，F出现，按照规定的目标表示方法，目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法在表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示不正确的是（D）

A．A（5，30°）B．B（2，90°）C．D（4，240°）D．E（3，60°）

15．如图是某校的部分平面图，如果用（2，4），（2，7）分别表示图中桃李亭和综合楼的位置，那么教学楼的位置是（8，9），图书馆的位置是（5，6），（6，1）表示的是芳草亭的位置．

16．将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，从左至右第b个数．例如（4，3）表示的数是9，则（7，2）表示的数是23.

习题解析

17．如图，点A（3，1）表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B（2，3）表示放置2个胡萝卜、3棵青菜．

（1）请你写出其他各点C，D，E，F所表示的意义；

（2）若一只兔子从A到达B（顺着方格线走），有以下几条路可以选择：

①A→C→D→B；②A→F→D→B；③A→F→E→B，帮可爱的小白兔选一条路，使它吃到的食物最多．

解：

（1）C（2，1）表示放置2个胡萝卜、1棵青菜；D（2，2）表示放置2个胡萝卜、2棵青菜；E（3，3）表示放置3个胡萝卜、3棵青菜；F（3，2）表示放置3个胡萝卜、2棵青菜．

（2）走①有9个胡萝卜、7棵青菜；走②有10个胡萝卜、8棵青菜；走③有11个胡萝卜、9棵青菜．故小白兔走③吃到的胡萝卜、青菜都最多．

03　　综合题

18．五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：

在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后走），观察棋盘思考：

若A点的位置记作（8，4），甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？

为什么？

解：

甲必须在（1，7）或（5，3）处落子．因为若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．

7．1.2　平面直角坐标系

01　　基础题

知识点1　认识平面直角坐标系

1．下列说法错误的是（A）

A．平面内两条互相垂直的数轴就构成了平面直角坐标系

B．平面直角坐标系中两条坐标轴是相互垂直的

C．坐标平面被两条坐标轴分成了四个部分，每个部分称为象限

D．坐标轴上的点不属于任何象限

2．（2017·定州市期中）点A的坐标是（－2，5），则点A在（B）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（C）

A．实数B．有理数

C．有序实数对D．有序有理数对

4．如图，小手盖住的点的坐标可能为（C）

A．（5，2）B．（－6，3）C．（－4，－6）D．（3，－4）

5．如图，点A（－2，1）到y轴的距离为（C）

A．－2B．1C．2D.

6．在平面直角坐标系中，点（0，－10）在（D）

A．x轴的正半轴上B．x轴的负半轴上

C．y轴的正半轴上D．y轴的负半轴上

7．已知点A（1，2），AC⊥x轴于点C，则点C的坐标为（B）

A．（2，0）B．（1，0）C．（0，2）D．（0，1）

8．已知点P在第二象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，则点P的坐标可以是答案不唯一，如：

（－2，3）．（写出一个符合条件的坐标即可）

9．平面直角坐标系内有一点P（x，y），若点P在横轴上，则y＝0；若点P在纵轴上，则x＝0；若点P为坐标原点，则x＝0且y＝0．

10．写出图中A，B，C，D，E，F，O各点的坐标．

解：

观察图，得A（2，3），

B（3，2），C（－2，1），

D（－1，－2），E（2.5，0），

F（0，－2），O（0，0）．

知识点2　在平面直角坐标系中描点

11．在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来．

（0，－4），（3，－5），（6，0），（0，－1），（－6，0），（－3，－5），（0，－4）．

解：

如图．

12．如图，将边长为1的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，使点C的坐标为（

，

）．请建立平面直角坐标系，并写出其余各点的坐标．

解：

如图，A（－

，－

），B（

，－

），D（－

，

）．

13．在平面直角坐标系中描出点A（－3，3），B（－3，－1），C（2，－1），D（2，3），并用线段顺次连接各点，看它是什么样的几何图形？

并求出它的面积．

解：

图略，所得图形为长方形．

∵AB＝|3|＋|－1|＝4，BC＝|－3|＋|2|＝5.

∴S长方形ABCD＝AB·BC＝4×5＝20（平方单位）．

02　　中档题

14．（易错易混）（2017·秦皇岛市抚宁县期末）若点P（x，y）的坐标满足xy＝0（x≠y），则点P必在（D）

A．原点上

B．x轴上

C．y轴上

D．x轴上或y轴上（除原点）

15．（2017·定州市期中）如果点P（m＋3，m＋1）在平面直角坐标系的x轴上，那么P点坐标为（B）

A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，－4）

16．已知坐标平面内点M（a，b）在第三象限，那么点N（b，－a）在（B）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

17．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：

P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，－1），P5（－1，－1），P6（－1，2），…，根据这个规律，点P2017的坐标为（A）

A．（－504，－504）

B．（－505，－504）

C．（504，－504）

D．（－504，505）

18．（2017·保定市高阳县期末）已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5.若M（2，－2），则点N的坐标（7，－2）或（－3，－2）．

19．如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）．

（1）请建立适当的平面直角坐标系，并写出点C，D，E，F的坐标；

（2）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？

解：

（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．

所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）．

（2）每级台阶高为1，

所以10级台阶的高度是10.

20．在平面直角坐标系内描出各点，并依次用线段连接各点：

（4，4），（3，3），（4，3），（2，1），（4，1），（

，0），（

，0），（4，1），（6，1），（4，3），（5，3），（4，4）．

观察得到的图形，你觉得该图形像什么？

求出所得到图形的面积．

解：

如图所示：

该图形像宝塔松．

图形的面积为：

×1×1＋

×4×2＋

×2×1＝

＋4＋1＝

.

03　　综合题

21．（2017·定州市期中）如图，A（－1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3.

（1）求点B的坐标；

（2）求三角形ABC的面积；

（3）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）当点B在点A的右边时，点B的坐标为（2，0）；

当点B在点A的左边时，点B的坐标为（－4，0）．

所以点B的坐标为（2，0）或（－4，0）．

（2）三角形ABC的面积＝

×3×4＝6.

（3）设点P到x轴的距离为h，则

×3h＝10，解得h＝

.

①当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为（0，

）；

②当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为（0，－

）．

综上所述，点P的坐标为（0，

）或（0，－

）．

7.2　坐标方法的简单应用

7．2.1　用坐标表示地理位置

01　　基础题

知识点1　用坐标表示物体的位置

1．如图，若以解放公园为原点建立平面直角坐标系，则博物馆的坐标为（D）

A．（2，3）B．（0，3）C．（3，2）D．（2，2）

2．如图，茗茗从点O出发，先向东走15米，再向北走10米到达点M.如果点M的位置用（15，10）表示，那么（－10，5）表示的位置是（D）

A．点AB．点BC．点CD．点D

3．如图是某游乐城的平面示意图，用（8，2）表示入口处的位置，用（6，－1）表示球幕电影的位置，那么坐标原点表示的位置是（D）

A．太空秋千B．梦幻艺馆C．海底世界D．激光战车

4．（2017·定州市期中）如图是某植物园的平面图，图中A馆所在地用坐标表示为（1，0），B馆所在地用坐标表示为（－3，－1），那么C馆所在地用坐标表示为（2，4）．

知识点2　用方位角和距离表示物体的位置

5．海事救灾船前去救援某海域失火货轮，需要确定（C）

A．方位B．距离C．方位和距离D．失火轮船的国籍

6．某次海战中敌我双方舰艇对峙示意图（图中1cm代表20海里）如下，对我方潜艇O来说：

（1）北偏东40°的方向上有哪些目标？

要想确定敌舰B的位置，还需要什么数据？

（2）距离我方潜艇20海里的敌舰有哪几艘？

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要几个数据？

解：

（1）对我方潜艇来说，北偏东40°的方向上有两个目标：

敌舰B和小岛．要想确定敌舰B的位置，还需要知道敌舰B距我方潜艇的距离．

（2）距离我方潜艇20海里的敌舰有两艘：

敌舰A和敌舰C.

（3）要确定每艘敌舰的位置，各需要两个数据：

距离和方位角．

02　　中档题

7．如图所示，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点（1，－2），“象”位于点（3，－2），则“炮”位于点（B）

A．（1，3）B．（－2，0）C．（－1，2）D．（－2，2）

8．雷达二维平面定位的主要原理是：

测量目标的两个信息——距离和角度，目标的表示方法为（γ，α），其中，γ表示目标与探测器的距离；α表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中，目标A的位置表示为A（5，30°），目标B的位置表示为B（4，150°）．用这种方法表示目标C的位置，正确的是（C）

A．（－3，300°）B．（3，60°）C．（3，300°）D．（－3，60°）

9．如图，小刚在小明的北偏东60°方向的500m处，则小明在小刚的南偏西60°方向的500m.（请用方向和距离描述小明相对于小刚的位置）

10．如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB.若将A点表示为（3，30°），B点表示为（1，120°），则C点可表示为（2，75°）．

11．在一次寻宝游戏中，寻宝人找到了如图所示的两个标志，点A（2，3），B（4，1），这两个标志点到“宝藏”点的距离都是2，则“宝藏”点的坐标是（2，1）和（4，3）．

12．如图是某市市区几个旅游景点的平面示意图（比例尺为1∶20000，图中每个小方格的长度为1cm）．

（1）选取某一个景点为坐标原点，建立平面直角坐标系；

（2）根据所建立的平面直角坐标系，写出其他各景点的坐标．

解：

（1）以长寿园为坐标原点，向东方向为x轴正方向，向北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系如图（答案不唯一）．

（2）由比例尺可知：

图中1cm相当于实际20000cm.则长寿园（0，0），大剧院（40000，40000），湖心岛（20000，80000），安定广场（80000，60000），水绘园（120000，120000）．

13．如图是某动物园平面示意图的一部分（图中小正方形的边长代表100米），请问：

（1）在大门东南方向有哪些景点？

（2）从大门径直向东走300米，再向北走200米，到达哪个景点？

（3）以大门为坐标原点，向东方向为x轴正方向，向北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，写出蛇山，水族馆及大象馆的坐标．

解：

（1）猴山，大象馆．

（2）蛇山．

（3）如图，蛇山的坐标为（300，200）；水族馆的坐标为（500，0）；大象馆的坐标为（300，－300）．

03　　综合题

14．如图，在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点M的极坐标．若ON⊥Ox，且点N到极点O的距离为4个单位长度，则点N的极坐标可表示为（4，90°）．

7.2.2　用坐标表示平移

01　　基础题

知识点1　用坐标表示平移

1．（2017·秦皇岛市抚宁县期末）在平面直角坐标系中，将点M（1，2）向左平移2个长度单位后得到点N，则点N的坐标是（A）

A．（－1，2）B．（3，2）C．（1，4）D．（1，0）

2．在平面直角坐标系中，将点（2，3）向上平移1个单位长度，所得到的点的坐标是（C）

A．（1，3）B．（2，2）C．（2，4）D．（3，3）

3．如图，如果将三角形ABC向左平移2格得到三角形A′B′C′，则顶点A′的位置用数对表示为（B）

A．（5，1）B．（1，1）C．（7，1）D．（3，3）

4．如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度，那么这个图案上的点的坐标变化为（B）

A．横坐标不变，纵坐标减少3个单位长度

B．纵坐标不变，横坐标减少3个单位长度

C．横纵坐标都没有变化

D．横纵坐标都减少3个单位长度

5．（2016·安顺）如图，将三角形PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（A）

A．（－2，－4）B．（－2，4）C．（2，－3）D．（－1，－3）

6．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（－3，2）重合，则点A的坐标是（D）

A．（2，5）B．（－8，5）C．（－8，－1）D．（2，－1）

7．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（1，3），将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是（3，0），点A1的坐标是（4，3）．

8．（2017·广元）在平面直角坐标系中，将P（－3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得点P′，则P′的坐标为（－1，0）．

知识点2　根据坐标变化确定图形平移的方向和距离

9．已知三角形ABC的三个顶点的坐标为A（－1，4），B（2，－2），C（5，1），将三角形ABC的各点的横坐标都加3，纵坐标不变，则（B）

A．三角形ABC的形状和大小不变，只是向左方平移了3个单位长度

B．三角形ABC的形状和大小不变，只是向右方平移了3个单位长度

C．三角形ABC的形状不变，但比原来扩大了

D．三角形ABC的形状和大小都发生了变化

10．已知三角形ABC，若将三角形ABC平移后，得到三角形A′B′C′，且点A（1，0）的对应点A′的坐标是（－1，0），则三角形ABC是向左平移2个单位长度得到三角形A′B′C′.

11．如图，在平面直角坐标系xOy中，将线段AB平移得到线段MN.若点A（－1，3）的对应点为M（2，5），则点B（－3，－1）的对应点N的坐标是（0，1）．

知识点3　利用坐标画平移后的图形

12．如图所示为一小船，将其向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度，试确定A，B，C，D，E，F，G平移后对应点的坐标并画出平移后的图形．

解：

由A（1，2），B（3，1），C（4，1），D（5，2），E（3，2），F（3，4），G（2，3）可得平移后对应点为：

A′（－5，－3），B′（－3，－4），C′（－2，－4），D′（－1，－3），E′（－3，－3），

F′（－3，－1），G′（－4，－2）．

平移后的图形如图所示．

02　　中档题

13．在如图所示的正方形网格中，三角形ABC经过平移后得到三角形A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，则点P1的坐标为（C）

A．（1.4，－1）B．（1.5，2）C．（－1.6，－1）D．（2.4，1）

14．已知直角坐标系上的点A（2，－1），现在把原点向下移动4个单位长度，再向左移动3个单位长度，则点A在新坐标系中的坐标为（C）

A．（－1，－5）B．（－1，－4）C．（5，3）D．（－4，3）

15．如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（4，0），将三角形AOB沿x轴向右平移，得到三角形CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为（4，2）．

16．（2017·定州市期中）A，B两点的坐标分别为（1，0），（0，2）．若将线段AB平移至A1B1，点A1，B1的坐标分别为（2，a），（b，3），则a＋b＝2．

17．（2017·定州市期中）如图，已知A（－1，0），B（1，1），把线段AB平移，使点B移动到点D（3，4）处，这时点A移动到点C处．

（1）画出平移后的线段CD，并写出点C的坐标；

（2）如果平移时只能左右或者上下移动，叙述线段AB是怎样移到CD的．

解：

（1）如图，

∴C（1，3）．

（2）先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到CD.

18．如图，三角形ABC内任意一点P（x0，y0），将三角形ABC平移后，点P的对应点为P1（x0＋5，y0－3）．

（1）写出将三角形ABC平移后，三角形ABC中A，B，C分别对应的点A1，B1，C1的坐标，并画出三角形A1B1C1；

（2）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），写出M点的坐标（0，6）．若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是平行且相等．

解：

A1（2，－1），B1（1，－5），C1（5，－6）．三角形A1B1C1如图．

03　　综合题

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：

把每个点的横、纵坐标都乘同一实数a，将得到的点先向右平移m个单位长度，再向上平移n个单位长度（m>0，n>0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．

解：

易知AB＝6，A′B′＝3，

∴a＝

.

由（－3）×

＋m＝－1，得m＝

.

由0×

＋n＝2，得n＝2.

设F（x，y），变换后F′（ax＋m，ay＋n）．

∵F与F′重合，

∴ax＋m＝x，ay＋n＝y.

∴

x＋

＝x，

y＋2＝y.

解得x＝1，y＝4.

∴点F的坐标为（1，4）．

章末复习（三）　平面直角坐标系

01　　基础题

知识点1　有序数对

1．确定平面直角坐标系内点的位置是（D）

A．一个实数B．一个整数

C．一对实数D．有序实数对

2．我们规定向东和向北方向为正，若向东走4m，向北走6m，记为（4，6），则向西走5m，向北走3m，记为（－5，3），数对（－2，－6）表示向西走2__m，向南走6__m．

知识点2　平面直角坐标系

3．（2017·保定市高阳县期末）点M（5，3）在平面直角坐标系中的位置是（A）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

4．若点P（m，－1）在第三象限内，则点Q（－m，0）在（A）

A．x轴正半轴上B．x轴负半轴上

C．y轴正半轴上D．y轴负半轴上

5．（2017·保定市高阳县期末）在如图的方格纸上，若用（－1，1）表示A点，（0，3）表示B点，那么C点的位置可表示为（A）

A．（1，2）B．（2，3）C．（3，2）D．（2，1）

6．（2017·秦皇岛市抚宁县期末）点P的横坐标是－3，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是（B）

A．（5，－3）或（－5，－3）B．（－3，5）或（－3，－5）

C．（－3，5）D．（－3，－5）

7．（2017·定州市期中）已知A（2，－5），AB平行于y轴，则点B的坐标可能是（B）

A．（－2，5）B．（2，6）C．（5，－5）D．（－5，5）

知识点3　用坐