届高三年福建漳州八校第三次联考.docx
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届高三年福建漳州八校第三次联考
2018届高三年福建漳州八校第三次联考
数学试卷（文）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数，且是纯虚数，则实数（）
A．1B．2C．-1D．-2
2.若公差为2的等差数列的前9项和为81，则（）
A．1B．9C．17D．19
3.函数的图象大致为（）
A．B．
C．D．
4.已知集合，那么“”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C.充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）
A．8B．9C.10D．11
6.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（）
A．B．C.D．
7.执行如图所示的程序框图，若输入，输出的值为0，则的解析式可以是（）
A．B．
C.D．
8.已知函数，则下列结论正确的是（）
A．有极值B．有零点C.是奇函数D．是增函数
9.如图，与轴的正半轴交点为，点，在上，且，点在第一象限，，则（）
A．B．C.D．
10.已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为（）
A．B．C.D．
11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）
A．B．C.6D．
12.已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是（）
A．B．C.D．
二、填空题（每题5分，满分20分）
13函数在处的切线方程是________________．
14.若，，，且，那么与的夹角为．
15.在锐角中，内角的对边分别为，且，，则的面积=．
16.已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.（本小题满分12分）已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人。
为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，再将两组的分数分成5组：
分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
（I）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰为一男一女的概率；
（II）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?
附表：
19．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：
BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？
请说明理由．
20.（本小题满分12分）已知圆：
过椭圆：
（）的短轴端点，，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为3．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点作圆的一条切线交椭圆于，两点，求的面积的最大值．
21．（本小题满分12分）
设函数，为正实数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：
；
（3）若函数有且只有个零点，求的值．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程是，若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴且取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，则直线的参数方程的是为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设点，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数的最小值为.
（1）求实数的值；
（2）若均为正实数，且满足，求证:
.
参考答案
一、选择题
1-5:
ACACC6-10:
BDDBD11、12：
CD
二、填空题:
13．14..15．16.
三、解答题:
17.解：
（1）,若，则，又数列为以为首项，为公比的等比数列，，.
（2）,由
（1）可知，，又，①
，②由①-②，得18.解析：
（Ⅰ）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，
分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；………………2分
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3B2）；………4分
故所求的概率为P=．………………6分
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…7分
据此可得2×2列联表如下：
数学尖子生
非数学尖子生
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
（9分）
所以得；……11分
因为1.79＜2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”………………12分
19.解：
（1）证明：
取PD中点Q，连结AQ、EQ．∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ=CD．…
又∵AB∥CD且AB=CD，∴EQ∥AB且EQ=AB．…∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．…又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…6分
（2）解：
棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．12分
20.解：
（Ⅰ）∵圆过椭圆的短轴端点，∴，又∵线段长度的最大值为3，
∴，即，
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）由题意可设切线的方程为，即，则，得．①
联立得方程组消去整理得．
其中，
设，，则，，
则．②
将①代入②得，∴，
而，等号成立当且仅当，即．
综上可知：
．
21．解：
（1）当时，，则，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，设函数，则，
令，得，列表如下：
极大值
所以的极大值为．所以．
（3），，
令，得，因为，
所以在上单调增，在上单调减．
所以．
设，因为函数只有1个零点，而，
所以是函数的唯一零点．
当时，，有且只有个零点，
此时，解得．
下证，当时，的零点不唯一．
若，则，此时，即，则．
由
（2）知，，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，
所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；
若，则，此时，即，则．
同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．
因此，所以的值为．
22.解：
（1）曲线的极坐标方程是，化为，所以曲线的直角坐标方程为.
直线的参数方程是为参数），消去参数可得直线的普通方程.
（2）将为参数）代入方程，得.即
.由，解得.所以.，解得.又满足，所以或
或.
23.解：
（1）因为函数，所以当时，；当时，；
当时，，综上，的最小值.
（2）据
（1）求解知，所以，又因为，所以
，
即，当且仅当时，取“=”所以，即.
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