人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》练习题含答案.docx
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人教A版高中数学必修2教学同步讲练第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》练习题含答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝
60°，则β＝（ ）
A．60° B．120°
C．30°D．60°或120°
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
4.如图，在三棱锥SABC中，与AB异面的棱为（ ）
A．BCB．SAC．SCD．SB
5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）
A．梯形B．矩形
C．平行四边形D．正方形
二、填空题
6．在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
7．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
则一定成立的是________（填序号）．
8．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
三、解答题
9．如图，已知长方体的长和宽都是4
cm，高是4cm.
（1）求BC和A′C′所成的角的度数．
（2）求AA′和BC′所成的角的度数．
10．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．
B级 能力提升
1．在三棱锥ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝
，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
3.若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值．
参考答案
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝
60°，则β＝（ ）
A．60° B．120°
C．30°D．60°或120°
解析：
由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.
答案：
D
2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.
答案：
B
3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°
答案：
C
4.如图，在三棱锥SABC中，与AB异面的棱为（ ）
A．BC
B．SA
C．SC
D．SB
解析：
根据异面直线的判定定理可知AB与SC为异面直线．
答案：
C
5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（ ）
A．梯形B．矩形
C．平行四边形D．正方形
解析：
如图所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊
BD，HG綊EF綊
AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．
答案：
D
二、填空题
6．在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：
以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．
答案：
8
7．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
则一定成立的是________（填序号）．
解析：
因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，
所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°
答案：
③
8．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
解析：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，
在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝
a，AE＝
＝
a，故cos∠EAD＝
.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为
.
答案：
三、解答题
9．如图，已知长方体的长和宽都是4
cm，高是4cm.
（1）求BC和A′C′所成的角的度数．
（2）求AA′和BC′所成的角的度数．
解：
（1）在长方体中，BC∥B′C′，
所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角．
因为A′B′＝B′C′＝4
cm，∠A′B′C′＝90°，
所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.
（2）在长方体中，AA′∥BB′，
所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角．
因为BB′＝4cm，B′C′＝4
cm，
所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.
10．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．
解：
取BD的中点G，连接EG，FG，
因为E，F分别为BC，AD的中点，
所以EG綊
CD，GF綊
AB.
所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角．
因为AB＝CD，
所以△EFG为等腰三角形．
又AB与CD所成角为30°，
所以∠EGF＝30°或150°.
因为∠GFE就是EF与AB所成的角，
所以EF与AB所成角为75°或15°.
B级 能力提升
1．在三棱锥ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝
，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是（ ）
A．90°B．60°
C．45°D．30°
解析：
如图所示，因为PQ綊
AC，QR綊
BD，所以∠PQR为
异面直线AC与BD所成的角或其补角，PQ＝2.QR＝
，PR＝3，有PQ2＋QR2＝PR2.由勾股定理，得∠PQR＝90°.
答案：
A
2.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的序号为________．
解析：
把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：
①③
3.若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值．
解：
取BD的中点F，连接EF，AF，
又E为BC的中点，
所以EF綊
CD，
所以∠AEF或其补角为异面直线AE与CD所成的角，设空间四边形的棱长为a，则AE＝AF＝
a，EF＝
，
所以cos∠AEF＝
＝
＝
.
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