四年级数学培优第20讲巧算相遇问题.docx

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四年级数学培优第20讲巧算相遇问题

第20讲巧算相遇问题

巧点晴——方法和技巧

解答稍复杂的相遇问题时必须注意：

（1）要弄清题意，对具体问题要作仔细分析，必要时作线段帮助理解；

（2）要弄清距离、速度和、时间之间的联系，紧扣数量关系式：

速度和×时间=距离，路程÷时间=速度和，路程÷速度和=时间。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】甲、乙两汽车从A，B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离两地中点64千米处相遇。

求A，B两地的距离。

分析两车的速度和为：

56+48=104（千米/小时），如果知道它们相遇的时间，但可求出两地距离。

由题设条件可作线段图如下：

相遇时甲车比乙车多走：

64×2=128（千米），已知甲车每小时比乙车多走：

56－48=8（千米），因此，甲、乙相遇的时间为128÷8=16（小时）。

解（56＋48）×[64×2÷（56－48）]=1664（千米）

答：

A，B两地相距1664千米。

做一做1甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时行18千米，两人相遇在距全程中点3千米处。

求全程长多少千米。

【例2】小张从甲地步行到乙地，每小时走6千米；小王从乙地步行到甲地，每小时比小张慢1千米。

小王出发1小时后小张出发，两人经过5小时相遇。

问甲、乙两地相距多少千米？

分析1要求两地相距多少千米，一种方法就是分别求出小张和小王走了多远，然后把他们走过的路程加起来，作线段图如下：

解从出发到相遇，小张走了5小时，所以他共走了6×5=30（千米）

而小王由于先出发1小时，所以由出发到相遇他走了（5+1=）6小时，步行速度是每小时（6－1=）5千米，所以他共走了：

5×6=30（千米）

故两地相距：

30＋30=60（千米）

分析2由已知条件可知，甲、乙两地间的路程也可看做是小王先走的路程和两人同时走的路程之和。

解小王先走的路程是：

（6-1）×1=5（千米）

两人共同走过的路程可以应用相遇问题的方法求出，即：

（6-1+6）×5=55（千米）

所以，甲、乙两地间的距离是：

5+55=60（千米）

答：

两地相距60千米。

做一做2甲、乙两列火车从A，B两城相向而行，甲车每小时行38千米，乙车每小时行40千米。

乙车先出发2小时后，甲车才出发，甲车行5小时后与乙车相遇。

问A，B两城相距多少千米？

【例3】兄弟两人同时从家里出发到学校去。

家到学校相距2800米，哥哥骑自行车每分钟行进200米，弟弟步行每分钟走80米。

弟弟在途中与刚到校就返回的哥哥相遇。

问相遇时弟弟距离学校还有多少千米？

分析与解1依据题意，作线段图如下：

由图中不难看出：

从出发到相遇两人共走了2个2800米，所以他们在相同的时间内走过的路程和为：

2800×2=5600（米）。

根据这一条件，可求出两人所有的时间，即：

5600÷（200+80）=20（分钟）

此时，弟弟距学校还有：

2800－8×20=1200（米）

分析2本题也可以当做追及问题来解决。

由上图中不难看出，在相同的时间内，哥哥恰好比弟弟多走了两个要求的距离。

所以我们可以求出在相同时间内哥哥比弟弟多行了多少米，再把所得的结果除以2即可。

解从出发到两人相遇共用了多少分钟：

2800×2÷（200＋80）=20（分钟）

20分钟内哥哥比弟弟多行了多少米：

（200-80）×20=2400（米）

相遇时弟弟距学校还有多远：

2400÷2=1200（米）

答：

相遇时弟弟距学校还有1200米。

做一做3兄弟两人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1250米，哥哥跑步每分钟前进180米，弟弟步行每分钟前进70米，哥哥跑到学校后马上返回与弟弟会合。

问他们相遇时弟弟走了多少时间？

相遇处距学校还有多远？

培优竞赛·更上层楼

【例4】客车两车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行42千米，货车每小时行54千米。

两车相遇后继续以原速度前进，分别到达乙、甲两地后立即返回。

第二次相遇时，货车比客车多行120千米。

求甲、乙两地相距多少千米。

分析货车比客车每小时多行：

54-42=12（千米）。

在第二次相遇时，货车比客车多行120千米，这样货车多行120千米要用：

120÷12=10（小时）。

也就是说客车、货车同时从甲、乙两地相对开出，分别到达乙、甲两地后立即返回，到第二次相遇共用了10小时。

可以用速度的和乘以相遇时间，求出两车行进的总路程。

因为总路程正好是甲、乙两地路程的3倍，从而可以求出甲、乙两地的路程。

解（54+42）×[120÷（54-42）]÷3+320（千米）

答：

甲、乙两地相距320千米。

做一做4A，B两地相距若干米，小明从A地、小华从B地同时出发，相向而行。

小明每分钟走40米，小华每分钟走50米。

两人第一次相遇后继续向前走，小明到达B地，小华到达A地后立即返回。

两人从开始出发到第二次相遇共走了39分钟。

问：

A，B两地的距离是多少米？

【例5】有三辆客车，甲、乙两车从东站，丙车从西站同时出发，相向而行。

甲车每分钟行1000米，乙车每分钟行800米，丙车每分钟行700米，丙车遇到甲车20分钟后又遇到乙车。

求东、西两站的距离是多少千米。

分析从图中可以看出，丙车与甲车相遇后20分钟遇到乙车，这样乙、丙两车20分钟共行了：

（800+700）×20=30000（米），它就是甲、丙相遇时甲车比乙车多行的路程。

因为甲车比乙车每分钟多行：

1000-800=200（米），所以甲车与丙车相遇时用了：

30000÷200=150（分钟）。

东、西两站相距：

（1000+700）×150=255000（米）。

解（1000+700）×[（800+700）×20÷（1000-800）]=255（千米）

答：

东、西两站相距255千米。

小结本题的解法还有很多，到了五、六年级你会见到更简捷的解法。

做一做5甲、乙、丙三人，甲、乙从东镇同时出发，相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走67米，丙每分钟走73米。

丙遇到乙后10分钟再遇到甲。

求两镇相距多少千米。

【例6】甲、乙两人侦察兵同时从营地出发，去营地120千米的小镇侦察。

甲以每小时15千米的速度等到达小镇，花去0.5小时完成侦察任务后返回,又在1.5小时后与乙相遇.求乙每小时行走多少千米?

分析与解只需先求出乙在多少小时内行走了多少千米.

乙行走时间=甲抵达小镇的时间+完成侦察任务的时间+返回的时间=120÷15+0.5+1.5=10（小时）

乙行走的路程=120-15×1.5=97.5（千米）

乙行走的速度=97.5÷10=9.75（千米/小时）

答:

乙每小时走9.75千米.

做一做6甲、乙同时从A，B两地出发，相向而行，甲每小时走5千米。

两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6小时到B地，问乙每小时走多少千米？

【例7】自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走1梯级，女孩每3秒走2梯级。

结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达梯上。

该扶梯共有多少级？

分析与解男孩50秒走50级，女孩60米走60×

=40（级）说明自动扶梯10秒钟走50-40=10级,即每秒走1级.扶梯共有（1+1）×50=100（级）.

答:

该扶梯共有100级.

做一做7哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶上走到底,共走了100级.在相同的时间内,妹妹沿着自动扶梯从底走到顶,共走了50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍,那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级?

巧练习——温故知新（二十）

A级冲刺名校·基础点晴

1、一辆客车和一辆货车同时从相距600千米的两地出发，客车每小时行35千米，货车每小时行50千米，5小时后两车相距多少千米？

2.一只货轮在静水中的速度是每小时18千米，它逆水航行了8小时，行了96千米，问如果这时按原路返回，每小时行多少千米？

3.甲、乙两人同时同地出发，背向而行，甲每分钟走75米，乙每分钟走80千米，当乙比甲多行35米时，问甲、乙两人相距多少米？

4.亮亮和小芳各自从自己家同时出发，相向而行，亮亮每分钟走56米，小芳每分钟走48米，两人在离中点16米处相遇，请问亮亮家和小芳家相距多少米？

5.甲、乙两个港口之间相距360千米，一只客轮从甲港到乙港需12小时，从乙港返回甲港需要9小时，问客轮速度和水流速度各是多少？

B级培优竞赛·更上层楼

6.A，B两个港口相距350千米，甲船每小时行25千米，乙船每小时行10千米，这两只船同时从A，B两个港口出发，相向而行，靠港后需要卸货、上货两小时才开始返回。

请问它们第一次相遇后经过多少小时第二次相遇？

7.小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。

若两人按原定速度前进，则4小时相遇；若两人各自都比原定速度提高1千米/小时，则3小时相遇。

问甲、乙两地相距多少千米？

8.甲、乙二人从相距36千米的两地出发，相向而行。

若甲先出发2小时，则在乙动身2.5小时后两人相遇：

若乙先出发2小时，则甲动身3小时后两人相遇。

求甲、乙二人的速度。

9.甲、乙两地站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，客车到达乙站停留半小时，又以原速度返回甲站，问两车相遇的地点离乙站多少千米？

10.小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发，相向而行。

两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速度继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，在距乙地15米处两人第二次相遇，问甲、乙两地相距多远？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.诚诚和童童两人在周长300米的圆形水池边玩，从同一地点同时出发，绕水池背向而行，诚诚每分钟走30米，童童每分钟走20米，问他们第4次相遇时，离出发点有多远？

12.甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校己有30分钟。

问甲、乙每分钟各走多少米？

13.客货两列火车从东西两站同时出发，客车每小时行120千米，货车每小时行80千米，两列车在离中点160千米处相遇，问东西两站相距多少千米？

14.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩5分钟到达楼上，女孩6分钟到达楼上。

问该扶梯共有多少级台阶？

15.某边防站甲、乙两哨所相距15千米。

一天，两个哨所的巡逻队同时从各自的哨所出发，相向而行，他们的速度分别为4.5千米/小时和5.5千米/小时。

乙队出发时，他们带的一只军犬同时向甲哨所方向跑去……这只军犬就这样不停地以20千米/小时的速度在甲、乙两队之间奔跑，直到两队会合为止。

问这只军犬来回共跑了多少千米？

巧总结

本节我的收获是：

。

不足之处有：

。

智慧泉

完美的数

这是古希腊的一个神话故事。

战神阿瑞斯骑在高头大马上，指挥着部队操练。

队形按照阿瑞的命令变换着，既整齐，又威武。

当各队都是6人的4个分队，排成4种不同的方阵（允许排成一行或一列）时，阿瑞斯发现，每个方阵最前排的人数的人数和1＋2＋3＋6=12，恰恰是每队人数6的2倍。

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阿瑞斯又命令：

各队都是28人的6个分队，排成6种不同的方阵。

奇迹再次出现：

每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋7＋14＋28=56，恰恰也是28的2倍。

可是，除了6和28以外，阿瑞斯再也没有找到一个类似的数。

例如，每队20人的分队可以排成6种不同的方阵，每个方阵最前排的人数之和1＋2＋4＋5＋10＋20=42，而不是20的2倍。

显然，在上面的排列中，每个方阵最前排的人数都一定是这个方阵总人数的约数。

并且，方阵的人数有几个约数，就可以排成几种不同的方阵。

这就是说，6和28的美妙之处在于：

它的所有约数的和，正好等于本身的2倍。

或者说，它的所有真因子（除了本身以外的约数之和恰好等于它本身。

数学家们给这种数起了一个好听的名字：

完全数。

6和28是完全数中最小的两个。

还有没有其他的完全数呢？

数学家们发现，在自然数里，完全数非常稀少，在1到40000000这么大的范围里，已被发现的完全数也不过廖廖5个；另外，直到1952年，已被发现的完全数总共才12个。

并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。

公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了计算完全数的公式：

如果2n－1是一个质数，那么由公式N=2n－1（2n－1）算出的数一定是一个完全数。

例如，当n=2时，22－1=3是一个质数，于是N2=22－1（22－1）=2×3=6是一个完全数；当n=3时，N3=28是一个完全数；当n=5时，N5=496也是一个完全数。

尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。

直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。

1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应欧几里得公式中n=521，607，1279，2203，2281时的答案。

以后，数学家们又陆续发现：

当n=3217，4253，4423，9689，9941，11213，19937时，由欧几里得公式算出的答案也是完全数。

在欧几里得公式里，只要2n－1是质数，2n－1（2n－1）就一定是完全数，所以，寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关。

1979年，当人们知道24497－1是一个新的质数时，随之也就知道了24496（24497－1）是一个新的完全数；1983年，人们知道286243－1是一个更大的质数时，也就知道了286242（286243－1）是一个更大的完全数。

这是一个非常大的数，大到很难在书中将它原原本本地写出来。

18世纪时，大数学家欧拉从理论上证明了每个偶完全数必定是由这种公式算出的。

那么，奇数中有没有完全数呢？

曾经，有人验证过位数少于36位的所有自然数，始终也没有发现奇完全数的踪迹。

不过，在比这还大的自然数中，奇完全数是否存在，可就谁也说不准了。

说起来，这还是一个尚未解决的著名数学难题呢。

想想练练

完全数有许多美妙的性质，例如：

它除了1以外的每个约数的倒数之和等于1；除了6以外，每一个偶完全数都可以用几个奇数的立方和表示。

请读者验证496和8218具有这两个性质。