初中数学竞赛定理.docx

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初中数学竞赛定理

正弦定理

定理概述

　　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

　　即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）

　　这一定理对于任意三角形ABC，都有

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　R为三角形外接圆半径

证明

　　步骤1.

　　在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

　　CH=b·sinA

　　∴a·sinB=b·sinA

　　得到

　　a/sinA=b/sinB

　　同理，在△ABC中，

　　b/sinB=c/sinC

　　步骤2.

　　证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

　　如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

　　作直径BD交⊙O于D.

　　连接DA.

　　因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

　　因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

　　所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

　　类似可证其余两个等式。

意义

　　正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

扩展

三角形面积公式

　　1.海伦公式:

　　设P=（a+b+c）/2

　　S△=根号下P（P-a）（P-b）（P-c）

　　解释:

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

　　S=√[p（p-a）（p-b）（p-c）]

　　而公式里的p为半周长：

　　p=（a+b+c）/2

　　2.S△ABC=（ab/2）·sinC=（bc/2）·sinA=（ac/2）·sinB=abc/（4R）[R为外接圆半径]

　　3.S△ABC=ah/2

正弦定理的变形公式

（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;

（2）sinA:

sinB:

sinC=a:

　　（条件同上）

　　在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题

　　（3）相关结论:

　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=（a+b）/（sinA+sinB）=（a+b+c）/（sinA+sinB+sinC）

　　c/sinC＝c/sinD=BD=2R

　　⑷设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形

　　sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R

　　asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA

余弦定理

　　余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

余弦定理性质

　　对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c三角为A,B,C，则满足性质——

　　（注：

a*b、a*c就是a乘b、a乘c。

a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。

）

　　a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

　　b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

　　c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

　　CosC=（a^2+b^2-c^2）/2ab

　　CosB=（a^2+c^2-b^2）/2ac

　　CosA=（c^2+b^2-a^2）/2bc

余弦定理证明

　　平面几何证法：

　　在任意△ABC中

　　做AD⊥BC.

　　∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a

　　则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

　　根据勾股定理可得：

　　AC^2=AD^2+DC^2

　　b^2=（sinB*c）^2+（a-cosB*c）^2

　　b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

　　b^2=（sin^2B+cos^2B）*c^2-2ac*cosB+a^2

　　b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

　　cosB=（c^2+a^2-b^2）/2ac

余弦定理的作用

（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

　　例如：

已知△ABC的三边之比为：

2：

1，求最大的内角.

　　解设三角形的三边为a,b,c且a:

c=:

　　由三角形中大边对大角可知：

∠A为最大的角.由余弦定理

　　cosA==-

　　所以∠A=120°.

　　再如△ABC中，AB=2,AC=3,∠A=π3,求BC之长.

　　解由余弦定理可知

　　BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA

　　=4+9-2×2×3×=7，

　　所以BC=7.

　　以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用.

其他

　　从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。

即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。

同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

斯特瓦尔特（stewart）定理

　　设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有

　　AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC＝BC·DC·BD。

　　证明：

在图2－6中，作AH⊥BC于H。

为了明确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股定理有

　　AC²=AD²＋DC²-2DC·DH，

（1）　　AB²=AD²+BD²+2BD·DH。

（2）

　　用BD乘

（1）式两边得

　　AC²·BD=AD²·BD+DC²·BD-2DC·DH·BD，

（1）′

　　用DC乘

（2）式两边得

　　AB²·DC=AD²·DC＋BD²·DC＋2BD·DH·DC。

（2）′

　　由

（1）′+

（2）′得到

　　AC²·BD+AB²·DC=AD²（BD＋DC）+DC²·BD＋BD²·DC

　　=AD²·BC+BD·DC·BC。

　　∴AB²·DC＋AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD。

　　或者根据余弦定理得

　　AB²=PB²+PA²-2PB·PA·cos∠APB

　　AC²=PA²+PC²-2PA·PC·cos∠APC

　　两边同时除以PB·PA·PC得

　　AC²·PB+AB²·PC=（PB²+PA²）PC+（PA²+PA²）PB

　　化简即可（注：

图中2-7A点为P点，BDC点依次为ABC）

梅涅劳斯（Menelaus）定理

简介

　　梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。

它指出：

如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1。

　　或：

设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是（AZ/ZB）*（BX/XC）*（CY/YA）=1

证明一：

　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

　　则AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

　　三式相乘得：

（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=（AG/BD）×（BD/DC）×（DC/AG）=1

证明二：

　　过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

　　所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

　　它的逆定理也成立：

若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1，则F、D、E三点共线。

利用这个逆定理，可以判断三点共线。

梅涅劳斯（Menelaus）定理

证明三：

　　过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，

　　所以AD：

DB=AA'：

BB'，BE：

EC=BB'：

CC'，CF：

FA=CC'：

AA'

　　所以（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1

证明四：

　　连接BF。

　　（AD：

DB）·（BE：

EC）·（CF:

FA）

　　=（S△ADF：

S△BDF）·（S△BEF：

S△CEF）·（S△BCF：

S△BAF）

　　=（S△ADF：

S△BDF）·（S△BDF：

S△CDF）·（S△CDF：

S△ADF）

　　此外，用定比分点定义该定理可使其容易理解和记忆：

　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是L、M、N三点共线的充要条件是λμν=1。

　　第一角元形式的梅涅劳斯定理

　　如图：

若E，F，D三点共线，则

　　（sin∠ACF/sin∠FCB）（sin∠BAD/sin∠DAC）（sin∠CBA/sin∠ABE）=1

　　即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积

　　该形式的梅涅劳斯定理也很实用

　　第二角元形式的梅涅劳斯定理

　　在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB）（sin∠BOD/sin∠DOC）（sin∠COA/sin∠AOE）=1。

（O不与点A、B、C重合）

记忆

　　ABC为三个顶点，DEF为三个分点

　　（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA）=1

　　（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1

　　空间感好的人可以这么记：

（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1

实际应用

　　为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。

我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。

我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。

　　我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。

只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。

　　例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。

　　另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。

　　从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：

　　方案①——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。

　　按照这个方案，可以写出关系式：

　　（AF：

FB）*（BD：

DC）*（CE：

EA）=1。

　　现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。

　　从A点出发的旅游方案还有：

　　方案②——可以简记为：

A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：

　　（AB：

BF）*（FD：

DE）*（EC：

CA）=1。

从A出发还可以向“C”方向走，于是有：

　　方案③——A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：

　　（AC：

CE）*（ED：

DF）*（FB：

BA）=1。

从A出发还有最后一个方案：

　　方案④——A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：

　　（AE：

EC）*（CD：

DB）*（BF：

FA）=1。

　　我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。

　　值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。

当直升机降落在B点时，就会有四项因式。

而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。

公式为四项时，有的景点会游览了两次。

　　不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。

　　还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.

　　现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。

那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。

塞瓦定理

简介

塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。

塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。

具体内容

　　塞瓦定理

　　在△ABC内任取一点O，

　　直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1

　　证法简介

　　（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

　　∵△ADC被直线BOE所截，

　　∴（CB/BD）*（DO/OA）*（AE/EC）=1①

　　而由△ABD被直线COF所截，∴（BC/CD）*（DO/OA）*（AF/FB）=1②

　　②÷①:

即得：

（BD/DC）*（CE/EA）*（AF/FB）=1

　　（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

　　∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=（S△ABD-S△BOD）/（S△ACD-S△COD）=S△AOB/S△AOC③

　　同理CE/EA=S△BOC/S△AOB④AF/FB=S△AOC/S△BOC⑤

　　③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

　　利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

　　设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，

　　根据塞瓦定理逆定理，因为（AD:

DB）*（BE:

EC）*（CF:

FA）=[（CD*ctgA）/[（CD*ctgB）]*[（AE*ctgB）/（AE*ctgC）]*[（BF*ctgC）/[（BF*ctgA）]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

　　可用塞瓦定理证明的其他定理;

　　三角形三条中线交于一点（重心）:

如图5D,E分别为BC,AC中点所以BD=DCAE=EC所以BD/DC=1CE/EA=1

　　且因为AF=BF所以AF/FB必等于1所以AF=FB所以三角形三条中线交于一点

　　此外，可用定比分点来定义塞瓦定理：

　　在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=1。

（注意与梅涅劳斯定理相区分，那里是λμν=-1）

塞瓦定理推论

　　1.设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1

　　因为（BC/CD）*（DG/GA）*（AF/FB）=1，（塞瓦定理）所以（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=K（K为未知参数）且（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=K（K为未知参数）又由梅涅劳斯定理得：

（BD/CD）*（CE/AE）*（AF/FB）=1

　　所以（BD/BC）*（CE/AE）*（GA/DG）=1

　　2.塞瓦定理角元形式

　　AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

　　（sin∠BAD/sin∠DAC）*（sin∠ACF/sin∠FCB）*（sin∠CBE/sin∠EBA）=1

　　由正弦定理及三角形面积公式易证

　　3.如图，对于圆周上顺次6点A,B,C,D,E,F，直线AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是：

　　（AB/BC）*（CD/DE）*（EF/FA）=1

　　由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。

托勒密定理

定理的提出

　　一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密只是从他的书中摘出。

定理的内容

　　托勒密（Ptolemy）定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

　　原文：

圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

证明

　　一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）

　　在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD∠ABE=∠ACD

　　因为△ABE∽△ACD

　　所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD

（1）

　　又有比例式AB/AC=AE/AD

　　而∠BAC=∠DAE

　　所以△ABC∽△AED相似.

　　BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD

（2）

（1）+

（2）,得

　　AC（BE+ED）=AB·CD+AD·BC

　　又因为BE+ED≥BD

　　（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）

　　所以命题得证

　　复数证明

　　用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：

（a-b）、（c-d）、（a-d）、（b-c）、（a-c）、（b-d）。

首先注意到复数恒等式：

（a−b）（c−d）+（a−d）（b−c）=（a−c）（b−d），两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

　　二、

　　设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC=∠BDC，而在AB上，∠ADB=∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK=∠CBD；因为∠ABK+∠CBK=∠ABC=∠CBD+∠ABD，所以∠CBK=∠ABD。

因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD~△KBC。

因此AK/AB=CD/BD，且CK/BC=DA/BD；因此AK·BD=AB·CD，且CK·BD=BC·DA；两式相加，得（AK+CK）·BD=AB·CD+BC·DA；但AK+CK=AC，因此AC·BD=AB·CD+BC·DA。

证毕。

　　三、

　　托勒密定理：

圆内接四边形中，两条对角线的乘积（两对角线所包矩形的面积）等于两组对边乘积之和（一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和）．已知：

圆内接四边形ABCD，求证：

AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．

　　证明：

如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：

BC=AD：

BP，AC·BP=AD·BC①。

又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：

CD=AB：

DP，AC·DP=AB·CD②。

①＋②得AC（BP＋DP）=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

推论

　　1.任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

　　2.托勒密定理的逆定理同样成立：

一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形外接于一圆、

推广

　　托勒密不等式：

四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

　　简单的证明：

复数恒等式：

（a-b）（c-d）+（a-d）（b-c）=（a-c）（b-d），两边取模，

　　得不等式AC·BD≤|（a-b）（c-d）|+|（b-c）（a-d）|=AB·CD+BC·AD

　　注意：

　　1.等号成立的条件是（a-b）（c-d）与（a-d）（b-c）的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

　　2.四点不限于同一平面。

　　欧拉定理：

在一条线段上AD上，顺次标有B、C两点，则AD·BC+AB·CD=AC·BD

西姆松定理是一个几何定理。

表述为：

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。

（此线常称为西姆松线）。

西姆松定理的逆定理为：

若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

西姆松定理说明

　　相关的结果有：

（1）称三角形的垂心为H。

西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

　　（3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

　　（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

证明

　　证明一：

△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.

　　易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP①，（∵都是∠ABP的补角）且∠PDE=∠PCE

　　②而∠ACP+∠PCE=180°

　　③∴∠FDP+∠PDE=180°

　　④即F、D、E共线.反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆.

　　证明二：

如图，若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

M、P、L、C分别四点共圆，有

　　∠PBN=∠PLN=∠PLM=∠PCM.

　　故A、B、P、C四点共圆。

　　若A、B、P、C四点共圆，则∠PBN=∠PCM。

因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有

　　∠PBN=∠PLN=∠PCM=∠PLM.

　　故L、M、N三点共线。