等差数列.docx

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等差数列

四、等差数列的概念

2．（文）（08·广东）记等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝（　　）

A．7B．6

C．3D．2

（理）等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是（　　）

A．an＝2n－2　（n∈Z*）

B．an＝2n＋4　（n∈Z*）

C．an＝－2n＋12　（n∈Z*）

D．an＝－2n＋10　（n∈Z*）

3．（文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（　　）

A．63　　　B．45　　　C．36　　　D．27

[例2]　在等差数列{an}中，已知a15＝10，a45＝90，求a60.

（理）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若

，则

等于（　　）

7．（文）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（　　）

A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5

[答案]　B

[例6]　等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？

若数列{an}（n∈N*）的首项为14，前n项的和为Sn，点（an，an＋1）在直线x－y－2＝0上，那么下列说法正确的是（　　）

A．当且仅当n＝1时，Sn最小

B．当且仅当n＝8时，Sn最大

C．当且仅当n＝7或8时，Sn最大

D．Sn有最小值，无最大值

[例]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．

解析：

在利用S10＝S15求出公差d＝后，由an≥0得n≤13（或由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，进而得出a13＝0）

从而知a12>0，a13＝0，a14<0，故S12、S13均为最大值．不要漏掉n＝13的情形．

定义的应用：

[例]　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．

[例2]　在等差数列{an}中，已知a15＝10，a45＝90，求a60.

解析：

解法1：

设数列首项为a1，公差为d，构造方程组，求a1，d，则a60可求．

解法2：

∵{an}为等差数列，∴（15，a15），（45，a45），（60，a60）三点共线

∴a60＝130

解法3：

a15，a30，a45，a60成等差数列，

∴a30＝＝50，∴a60＝2a45－a30＝130.

四、等差数列的设项技巧

（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为：

…，x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d，…，此时公差为d；

（2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为2d.

（09·四川）等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是（　　）

A．90　　　　　　　　B．100

C．145D．190

[例5]　等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（　　）

A．130　　B．170　　C．210　　D．260

（文）设{an}是等差数列，且a1－a4－a8－a12＋a15＝2，则a3＋a13＝________，S15＝________.

（理）

（1）如果数列{an}是等差数列，则（　　）

A．a1＋a8

B．a1＋a8＝a4＋a5

C．a1＋a8>a4＋a5

D．a1a8＝a4a5

（2）（09·湖南）设Sn是等差数列{an}的前n项和．已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（　　）

A．13B．35

C．49D．63

[例7]　一个等差数列首项是8，公差是3，另一个等差数列首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？

如果有，求出最小的公共项，并指出它分别是原等差数列的第几项？

求出由公共项组成的数列的通项公式．

（文）（09·陕西）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.

（理）（09·全国Ⅰ）设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.

10．（文）（09·辽宁）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．

（1）求{an}的公比q；

（2）求a1·a3＝3，求Sn.

11．（文）已知数列{an}的前n项和为n2＋pn，数列{bn}的前n项和为3n2－2n.

（1）若a10＝b10，求p的值；

（2）取数列{bn}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．

1．（2009·辽宁）{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝（　　）

　A．－2B．－

C.

D．2

2．（2009·湖南）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于（　　）

A．13B．35C．49D．63

】（2009·全国Ⅱ）已知等差数列{an}中a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.