运筹学期末考试复习资料分析.docx
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运筹学期末考试复习资料分析
1.最小费用最大流
例1求下图所示网络中的最小费用最大流，弧旁的权是（bij,cij）.
解：
（1）取初始可行流为零流f（0）={0},构造赋权有向图M（f（0））,求出从vs到vt的最短路（vs,v2,v1,vt）,如下图中双箭头所示。
（2）在原网络D中，与这条最短路相对应的增广链为μ=（vs,v2,v1,vt）。
（3）在μ上对f（0）={0}进行调整，取θ=5，得到新可行流f
（1），如下图所示。
按照以上的算法，依次类推，可以得到f
（1），f
（2），f（3），f（4），流量分别为5，7，10，11，并且分别构造相对应的赋权有向图
M（f
（1））,（Mf
（2））,（Mf（3））,（Mf（4））
由于在Mf（4）中已经不存在从vs到vt的最短路，因此，可行流f（4），v（f
（1））=11是最小费用最大流。
2.灵敏度分析
（1）资源数量br变化的分析最优单纯形表如下
这里B=
求b2的增量Dbr变化范围：
所以b2的增量Dbr变化范围是[-8，16]，显然b2的变化范围是[8，32]。
（2）目标函数中价值系数cj的变化分析
1）非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
例Maxz=-2x1-3x2-4x3
S.t.-x1-2x2-x3+x4=-3
-2x1+x2-3x3+x5=-4
x1,x2,x3,x4,x5≥0
求C3的变化范围？
解：
最优单纯形表
从表中看到可得到Δc3≤9/5时，c3≤-4+9/5=-11/5原最优解不变。
2）基变量对应的价值系数的灵敏度分析
例Maxz=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5
s.t.x1+2x2+x3=8
4x1+x4=16
4x2+x5=12
x1,x2,x3,x4,x5≥0
解：
下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化
σj=cj-（c1×a1j+c5×a5j+（c2+Δc2）×a2j）j=3,4可得到-3≤Δc2≤1时，原最优解不变。
（3）增加一个约束
3.割平面法
例：
用割平面法求解数规划问题
Cj
1
1
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
6
2
1
1
0
0
x4
20
4
5
0
1
－Z
1
1
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
1
x1
5/3
1
0
5/6
－1/6
1
x2
8/3
0
1
－2/3
1/3
－Z
-13/3
0
0
－1/6
－1/6
在松弛问题最优解中，x1,x2均为非整数解，由上表有：
将系数和常数都分解成整数和非负真分数之和
以上式子只须考虑一个即可，解题经验表明，考虑式子右端最大真分数的式子，往往会较快地找到所需割平面约束条件。
以上两个式子右端真分数相等，可任选一个考虑。
现选第二个式子，并将真分数移到右边得：
引入松弛变量s1后得到下式，将此约束条件加到上表中，继续求解。
Cj
1
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
s1
1
x1
5/3
1
0
5/6
－1/6
0
1
x2
8/3
0
1
－2/3
1/3
0
0
s1
－2/3
0
0
－1/3
－1/3
1
－Z
－13/3
0
0
－1/6
－1/6
0
Cj
1
1
0
0
0
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
s1
1
x1
5/3
1
0
5/6
－1/6
0
1
x2
8/3
0
1
－2/3
1/3
0
0
s1
－2/3
0
0
－1/3
－1/3
1
－Z
－13/3
0
0
－1/6
－1/6
0
得到整数最优解，即为整数规划的最优解，而且此整数规划有两个最优解：
X＊=（0,4）,Z=4,或X＊=（2,2）,Z=4。
4.分支定界法
例：
用分枝定界法求解整数规划问题（用图解法计算）
记为（IP）
解：
首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
记为（LP）
用图解法求（LP）的最优解，如图所示。
x1＝18/11,x2=40/11
Z（0）=－218/11≈（－19.8）
即Z也是（IP）最小值的下限。
对于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2
对于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4
先将（LP）划分为（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2
有下式：
现在只要求出（LP1）和（LP2）的最优解即可。
先求（LP1）,如图所示。
此时B在点取得最优解。
x1＝1,x2=3,Z
（1）＝－16
找到整数解，问题已探明，此枝停止计算。
同理求（LP2）,如图所示。
在C点取得最优解。
即x1＝2,x2=10/3,
Z
（2）＝－56/3≈－18.7∵Z2∴原问题有比（－16）更小的最优解，但x2不是整数，故利用
3≥10/3≥4加入条件。
加入条件：
x2≤3,x2≥4有下式：
只要求出（LP3）和（LP4）的最优解即可。
先求（LP3）,如图所示。
此时D在点取得最优解。
即x1＝12/5≈2.4,x2=3,
Z（3）＝-87/5≈-17.4但x1＝12/5不是整数，可继续分枝。
即x1≤2,x1≥3。
求（LP4），如图所示。
无可行解，不再分枝。
在（LP3）的基础上继续分枝。
加入条件x1≤2,x1≥3有下式：
只要求出（LP5）和（LP6）的最优解即可。
5.贝叶斯
例：
某石油钻探队准备在一远景区勘探石油，根据预测估计钻井出油的概率为0.3，可以自己钻探或是出租。
自己钻探的费用为1000万元，出油可收入4000万元；
如果出租，租金为200万元，若有油租金再增加100万元。
为获更多情报，可以先做地震试验，再行决策。
地震试验将有油区勘测为封闭构造的概率为0.8；将无油区勘测为开放构造的概率为0.6。
地震试验费为100万元。
试用决策树法进行决策。
由题意知，有油事件q1的概率P
（1）=0.3，无油事件q2的概率P
（2）=0.7，这是先验概率；
后验概率则是封闭构造而有油的概率P（1|I1）=0.8，开放构造而无油的概率P（2|I2）=0.4。
6.大M法
例：
标准化
单纯形表
cj
3
-1
-1
0
0
-M
-M
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
-M
-M
x4
x6
x7
11
3
1
1
-4
-2
-2
1
0
1
2
[1]
1
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
σj
3-6M
-1+M
-1+3M
0
-M
0
0
0
-M
-1
x4
x6
x3
10
1
1
3
0
-2
-2
[1]
0
0
0
1
1
0
0
0
-1
0
0
1
0
-1
-2
1
σj
1
-1+M
0
0
-M
0
-3M+1
0
-1
-1
x4
x2
x3
12
1
1
[3]
0
-2
0
1
0
0
0
1
1
0
0
-2
-1
0
2
1
0
-5
-2
1
σj
1
0
0
0
-1
0
-3M+1
3
-1
-1
x1
x2
x3
4
1
9
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1/3
0
2/3
-2/3
-1
-4/3
2/3
1
4/3
-5/3
-2
-7/3
σj
0
0
0
-1/3
-1/3
-M+1/3
-M+2/3
最优值和最优解X*=（4，1，9，0，0）T，x6*=x7*=0；z*=2。
7.互补松弛性定理
例：
原问题
的最优解为X*=（0，0，4，4）T。
试利用互补松弛定理求对偶问题最优解。
解：
先写出对偶问题
求解
，
Y*=（6/5，1/5，0），z*=w*=28。
8.根据原问题最优表写出对偶问题的最优解和最优值
例：
原问题
已知它的最优表，求对偶最优解。
Cj
10
18
0
0
0
CB
xB
b
x1
x2
x3
x4
x5
0
x3
540/7
0
0
1
-23/7
11/7
10
x1
50/7
1
0
0
5/7
-3/7
18
x2
200/7
0
1
0
-1/7
2/7
-Z
-4100/7
0
0
0
-32/7
-6/7
解：
写出对偶问题
计算步骤原问题的初始单纯形表中的基变量的技术系数-最终单纯形表中的检验数
即y1*=0-0=0,y2*=0-（-32/7）=32/7,y3*=0-（-6/7）=6/7则
Y*=（0，32/7，6/7），W=4100/7
9.目标规划
某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。
该厂经营目标如下：
（1）利润指标为每月16000元，争取超额完成；
（2）充分利用现有生产能力；
（3）可以适当加班，但加班时间不得超过24小时；
（4）产量以预计销售量为准。
试建立目标规划模型。
解：
x1、x2、x3分别表示三种产品的产量，则该问题的目标规划模型为：
10.背包问题：
借的书245页第3题
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