1、运筹学期末考试复习资料分析1.最小费用最大流例1 求下图所示网络中的最小费用最大流,弧旁的权是(bij,cij).解:(1)取初始可行流为零流f(0)=0,构造赋权有向图M(f(0),求出从vs到vt的最短路(vs,v2,v1,vt),如下图中双箭头所示。(2)在原网络D中,与这条最短路相对应的增广链为=(vs,v2,v1,vt)。(3)在上对f(0)=0进行调整,取=5,得到新可行流f(1),如下图所示。按照以上的算法,依次类推,可以得到f(1),f(2),f(3),f(4),流量分别为5,7,10,11,并且分别构造相对应的赋权有向图 M(f(1),(Mf(2),(Mf(3),(Mf(4)
2、 由于在Mf(4)中已经不存在从vs到vt的最短路,因此,可行流f(4),v(f(1)=11是最小费用最大流。 2.灵敏度分析(1)资源数量br变化的分析 最优单纯形表如下 这里B=求b2的增量Dbr变化范围:所以b2的增量Dbr变化范围是-8,16,显然b2的变化范围是8,32。(2)目标函数中价值系数cj的变化分析1)非基变量对应的价值系数的灵敏度分析例 Max z = -2x1 - 3x2 - 4x3 S.t. -x1-2x2-x3+x4 = - 3 -2x1+x2-3x3+x5 = - 4 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 0 求C3的变化范围?解:最优单纯形表从表中看到可得到c3
3、 9/5 时,c3 -4+9/5=-11/5原最优解不变。2)基变量对应的价值系数的灵敏度分析例 Max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5s.t. x1 + 2x2 + x3 = 8 4x1 + x4 = 16 4x2 + x5 = 12 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0解:下表为最优单纯形表,考虑基变量系数c2发生变化j=cj-(c1a1j+c5 a5j+(c2+c2)a2j)j=3,4可得到 -3c21时,原最优解不变。(3)增加一个约束3.割平面法例:用割平面法求解数规划问题Cj1100CBXBbx1x2x3x40x3621100x420450
4、1Z1100CBXBbx1x2x3x41x15/3105/61/61x28/3012/31/3Z-13/3001/61/6在松弛问题最优解中,x1, x2 均为非整数解,由上表有:将系数和常数都分解成整数和非负真分数之和 以上式子只须考虑一个即可,解题经验表明,考虑式子右端最大真分数的式子,往往会较快地找到所需割平面约束条件。以上两个式子右端真分数相等,可任选一个考虑。现选第二个式子,并将真分数移到右边得: 引入松弛变量s1 后得到下式,将此约束条件加到上表中,继续求解。 Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11x15/3105/61/601x28/3012/31/300s12/3001
5、/31/31Z13/3001/61/60Cj11000CBXBbx1x2x3x4s11x15/3105/61/601x28/3012/31/300s12/3001/31/31Z13/3001/61/60 得到整数最优解,即为整数规划的最优解,而且此整数规划有两个最优解: X= (0, 4), Z = 4, 或 X= (2, 2), Z = 4。4.分支定界法例:用分枝定界法求解整数规划问题(用图解法计算)记为(IP) 解:首先去掉整数约束,变成一般线性规划问题记为(LP)用图解法求(LP)的最优解,如图所示。 x118/11, x2 =40/11 Z(0) =218/11(19.8)即Z 也是
6、(IP)最小值的下限。对于x118/111.64,取值x1 1, x1 2对于x2 =40/11 3.64,取值x2 3 ,x2 4先将(LP)划分为(LP1)和(LP2),取x1 1, x1 2有下式: 现在只要求出(LP1)和(LP2)的最优解即可。先求(LP1),如图所示。此时B 在点取得最优解。 x11, x2 =3, Z(1)16找到整数解,问题已探明,此枝停止计算。同理求(LP2) ,如图所示。在C 点取得最优解。即x12, x2 =10/3, Z(2) 56/318.7 Z2 Z116 原问题有比(16)更小的最优解,但 x2 不是整数,故利用3 10/34 加入条件。 加入条件
7、: x23, x24 有下式: 只要求出(LP3)和(LP4)的最优解即可。先求(LP3),如图所示。此时D 在点取得最优解。即 x112/52.4, x2 =3, Z(3)-87/5-17.4Z-19.8但x112/5不是整数,可继续分枝。即 x12, x13 。求(LP4),如图所示。无可行解,不再分枝。 在(LP3)的基础上继续分枝。加入条件x12, x13有下式: 只要求出(LP5)和(LP6)的最优解即可。 5.贝叶斯例:某石油钻探队准备在一远景区勘探石油,根据预测估计钻井出油的概率为0.3,可以自己钻探或是出租。 自己钻探的费用为1000万元,出油可收入4000万元; 如果出租,租
8、金为200万元,若有油租金再增加100万元。为获更多情报,可以先做地震试验,再行决策。地震试验将有油区勘测为封闭构造的概率为0.8;将无油区勘测为开放构造的概率为0.6。地震试验费为100万元。试用决策树法进行决策。由题意知,有油事件q1的概率P(1)=0.3,无油事件q2的概率P(2)=0.7,这是先验概率;后验概率则是封闭构造而有油的概率P(1|I1)=0.8,开放构造而无油的概率 P(2|I2)=0.4。6.大M法例: 标准化 单纯形表cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70-M-Mx4x6x711311-4-2-2101211000-10010001j3-6M
9、-1+M-1+3M0-M000-M-1x4x6x3101130-2-2100011000-10010-1-21j1-1+M00-M0-3M+10-1-1x4x2x3121130-2010001100-2-10210-5-21j1000-10-3M+13-1-1x1x2x34191000100011/302/3-2/3-1-4/32/314/3-5/3-2-7/3j000-1/3-1/3-M+1/3-M+2/3最优值和最优解 X*=(4,1,9,0,0)T,x6*=x7*=0; z*=2。7.互补松弛性定理例:原问题 的最优解为X*=(0,0,4,4)T。试利用互补松弛定理求对偶问题最优解。解:
10、先写出对偶问题 求解 ,Y*=(6/5,1/5,0),z*=w*=28。8.根据原问题最优表写出对偶问题的最优解和最优值例:原问题 已知它的最优表,求对偶最优解。Cj1018000CBxBbx1x2x3x4x50x3540/7001-23/711/710x150/71005/7-3/718x2200/7010-1/72/7-Z-4100/7000-32/7-6/7解:写出对偶问题 计算步骤 原问题的初始单纯形表中的基变量的技术系数-最终单纯形表中的检验数即 y1*=0-0=0, y2*=0-(-32/7)=32/7, y3*=0-(-6/7)=6/7 则Y*=(0 ,32/7,6/7),W=4100/79.目标规划某厂生产A、B、C三种产品,装配工作在同一生产线上完成,三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时,生产线每月正常工作时间为200小时;三种产品销售后,每台可获利分别为500、650和800元;每月销售量预计为12、10和6台。该厂经营目标如下:(1)利润指标为每月16000元,争取超额完成;(2)充分利用现有生产能力;(3)可以适当加班,但加班时间不得超过24小时;(4)产量以预计销售量为准。试建立目标规划模型。解:x1、x2、x3分别表示三种产品的产量,则该问题的目标规划模型为:10.背包问题:借的书 245页第3题
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