小学奥数染色与操作问题教师版.docx

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小学奥数染色与操作问题教师版

一、染色问题

这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.

二、操作问题

实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。

模块一、染色问题

【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?

为什么？

1【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．

【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

（1）如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？

（2）某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？

为什么？

2【解析】

（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.

（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.

【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座（前后左右）上去，问这能否办到?

3【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．

【例2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：

你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?

1【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．

【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?

2【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．

【例3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图

（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋，行吗？

如果有80棵果树，如图

（2），连小屋排成九行九列呢？

1【解析】下图

（1）中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图

（2）不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色,而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.

【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：

这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？

1【解析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？

为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●.因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。

现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点.

如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？

按照上面的分析，显然也是不可能的.但是如果放弃“回到出发点”的要求，那么情况就不一样了.从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44点，要跳44步，44是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指○或●）.因为44步跳过的点○与点●各22个，所以起点必是●，终点也是●.也就说是，当不要求回到出发点时，只要从●出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点.

【例5】右图是由14个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？

1【解析】将这14个小方格黑白相间染色（见右下图），有8个黑格，6个白格.相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形.

【巩固】右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？

2【解析】将40个小正方形想剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个1×2的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个.

【巩固】下面的三个图形都是从4×4的正方形纸片上剪去两个1×1的小方格后得到的.问：

能否把它们分别剪成1×2的七个小矩形.

3【解析】如右上图，

（1）能，黑白格数相等；

（2）（3）不能，黑白格数不等，而1×2的小矩形一次覆盖黑白格各一个.

【例6】用11个

和5个

能否盖住8×8的大正方形?

1【解析】如右图，对8×8正方形黑白相问染色后，发现

必然盖住2白2黑，5个则盖住10白10黑．

则盖住了3白1黑或3黑1白，从奇偶性考虑，都是奇数．而这种形状共11个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加另一种形状的10白10黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格．但实际染色后共32个白格32个黑格，故不可能按题目要求盖住．注：

本题中每个

盖3白1黑或3黑1白，11个这种形状盖住的不一定是33白11黑或33黑11白，因为可能一部分盖3白1黑，另一部分盖3黑1白.这是一个容易犯错的地方.

【巩固】能否用9个

所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？

2【解析】不能.将6×6的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格.每张卡片盖住的黑格数不是1就是3，9张卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18个黑格.

【巩固】9个1×4的长方形不能拼成一个6×6的正方形，请你说明理由！

3【解析】本题若用传统的自然染色法，不能说明问题.我们对6×6正方形用四种颜色染色，因为要用1×4来覆盖．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．也为了使每个1×4长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图．这样，可以发现无论将1×4长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼出6×6，需9个1×4长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个．但实际上图中一共是9个l、10个2、9个3、8个4，因而不可能用9个1×4长方形拼出6×6正方形．

【巩固】用若干个2×2和3×3的小正方形不能拼成一个11×11的大正方形，请你说明理由！

4【解析】如右图所示，将2×2或3×3的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77个，是奇数，所以只用2×2和3×3的小正方形，不可能拼成11×11的大正方形.

【例7】对于表

（1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为表

（2）？

为什么？

1【解析】因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。

原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。

所以不可能变成右上表.

模块二、操作问题

【例8】右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上.开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0.然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上.问：

经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是999？

1【解析】不可能.因为每次加上的数之和是1＋2＋3＋4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10的整数倍.999×4=3996，不是10的倍数，所以黑板上的四个数不可都是999.

【例9】有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？

1【解析】显然每人应该分

＝

+

＝

+

．

于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分．

【例10】有一位老人，他有三个儿子和十七匹马.他在临终前对他的儿子们说：

“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱.遗嘱上写着：

“我把十七匹马全都留给我的三个儿子.长子得

，次子得

，给幼子

.不许流血，不许杀马.你们必须遵从父亲的遗愿！

”请你帮助他们分分马吧！

1【解析】这三个兄弟迷惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不让马流血.于是他们就去请教当地一位公认的智者.这位智者看了遗嘱以后说：

“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！

”老人原有17匹马，加上智者借给的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹马的

、

和

，分别得到了九匹、六匹和两匹.9+6+2=17（匹）.还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者.

【巩固】甲、乙、丙、丁分29头羊.甲、乙、丙、丁分别得

，应如何分？

2【解析】借一头羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3头羊，再将借得1头羊还回去.

【例11】8个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?

1【解析】讲解此题前，教师可先问学生：

“3个金币，有1个假的比较轻，你称1次能把它找出来么？

”将8个金币分成：

3+3+2，3组，把3和3进行称量，如果重量相同，称剩下的2个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3个金币拿出，用天平称量2个，剩下1个，天平不平衡易得答案，若此时天平平衡则剩下的那个是假的.

【巩固】9个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?

2【解析】第一次在左右两托盘各放置3个：

（一）如果不平衡，那么较轻的一侧的3个中有一个是假的．从中任取两个分别放在两托盘内：

①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩下的一个是假的；

（二）如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的．从中任取两个分别放在两托盘内：

①如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；②如果平衡，剩下的那个是假的．这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态（轻，重，平），所以分成3堆是很常见的分法．

【例12】据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油.要把这10斤油平分，每人5斤.但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去.应该怎样分呢？

1【解析】韩信给两人说了一句话：

“葫芦归篓，篓归罐”，两人按此分油，果然把油分成了两半.具体做法如下表：

韩信的话指明了倒油的方向，始终按从篓向罐中倒，从罐向葫芦中倒，从葫芦向篓中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫芦归罐，罐归篓”怎样?

我们试试.

看来也行，只是多倒了一次.要注意的是：

保持一定的方向很重要.如果在倒油的过程中，出现从甲倒向乙，又从乙倒回甲（这两步不一定挨着），那么这两步相互抵消，肯定可以简化掉，所以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒.

【巩固】大桶能装5千克油，小桶能装4千克油，你能用这两只桶量出6千克油吗?

怎么量？

2【解析】先将5千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1（千克）油；然后将小桶倒空，将大桶中1千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6（千克）．这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量（1千克）．

【巩固】有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意.一天，他遇到了两位农妇.两位农妇有两个各装满了10升奶的罐子，还有一个5升和一个4升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2升奶.小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！

你说说具体的做法！

3【解析】答案如表所示

【例13】有大，中，小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克.现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水

1【解析】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：

1．大瓶往中瓶中倒满水．

2．中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水．

3．小瓶中水倒回大瓶．

4．中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记．

5．小瓶中水倒回大瓶．

6．中瓶中100水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水．

本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的．

【例14】老师在黑板上画了9个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9个点的折线（只许拐三个弯儿）．你能办到吗?

1【解析】大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定在这9个点的范围之内．我们把折线的范围冲破本题9个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如上右图。

【例15】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？

1【解析】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.

【例16】如右图所示，将1～12顺次排成一圈.如果报出一个数a（在1～12之间），那么就从数a的位置顺时针走a个数的位置.例如a=3，就从3的位置顺时针走3个数的位置到达6的位置；a=11，就从11的位置顺时针走11个数的位置到达10的位置.问：

a是多少时，可以走到7的位置？

1【解析】不存在.当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a-12的位置.由上面的分析知，不论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7的位置.

【例17】对于任意一个自然数n，当n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2，这算一次操作现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？

为什么？

1【解析】同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到

这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100.当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法.因为231和121都是11的倍数，2不是11的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数.100不是11的倍数，所以不可能出现.操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的窍门.

课后练习

练习1.一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。

当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。

如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？

2【解析】甲.如右下图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少格点就转了多少次弯。

如左下图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确.

练习2.如图

（1），对相邻的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作.经过若干次操作后由1变成图2，则图2中A处的数是多少？

3【解析】按图中要求操作，图3中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变.所以A=（1+1+1+1+1）-（0+0+0+0）=5.

练习3.一个大桶装了12升水，另外有恰好能装8升和5升水的桶各一个.利用这三个桶最少倒几次才能把这12升水平均分成两份?

4【解析】答案如表所示

练习4.甲、乙分43头牛，甲得

，乙得

，应如何分？

5【解析】借2头牛，甲得18头，乙得25头，再将借来的2头牛还回去.

练习5.有6张电影票（如右图），想撕成相连的3张，共有________种不同的撕法.

6【解析】形如

的有2种，形如

的有8种.

月测备选

测试1、一个正方形果园里种有48棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成七行七列（见右图）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋.可以做到吗？

7【解析】不可以.如右下图所示.守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第48棵树应是黑的，而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.

测试2、如右图，缺两格的8×8方格有62个格，能否用31个

图不重复地盖住它且不留空隙?

8【解析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一．用

来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共能盖住的黑格数、白格数应该相等．但从染色后整个图看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住．

测试3、19匹马，甲、乙、丙分别得

，应如何分？

9【解析】借1匹马，甲、乙、丙分别得10，5，4.

测试4、只有5升和8升的容器，要怎样量出2升的水呢?

10【解析】将5升的容器装满水，倒在8升的容器中去，8升的容器中装入了5升的水，再一次将5升的容器装满水，倒在8升的容器里，这次8升的容器装不下5升的水了，只能装入3升的水。

而5升的容器中就剩下2升的水了.