初中几何主要图形的性质和识别.docx

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初中几何主要图形的性质和识别

初中几何主要图形的性质和识别

  主要图形的性质和识别

一、平行线  

（一）、性质：

（1）如果二直线平行，那么同位角相等；

（2）如果二直线平行，那么内错角相等；

（3）如果二直线平行，那么同旁内角互补；

（4）平行线间的距离处处相等。

（二）、识别：

（1）定义：

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

（2）判定定理（或公理）

①如果同位角相等，那么二直线平行；

②如果内错角相等，那么二直线平行；

③如果同旁内角互补，那么二直线平行；

④同垂直于一条直线的两条直线互相平行；

⑤同平行于一条直线的两条直线互相平行。

★练习

（一）反复比较，精心挑选：

（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的）。

1.在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（  ）

A. 平行   B. 相交   C. 相交或平行   D. 垂直

2.下列说法正确的是（  ）

A. 若两个角是对顶角，则这两个角相等．  B. 若两个角相等，则这两个角是对顶角．   

C. 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．  D. 以上判断都不对．

3.下列语句正确的是（  ）

A. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补． B. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直． C. 相等的角是平行线的内错角． D.从直线外一点作这条直线的垂直线段叫点到直线的距离。

4.点到直线的距离是（  ）

A. 点到直线上一点的连线 B. 点到直线的垂线.C. 点到直线的垂线段 D. 点到直线的垂线段的长度

5.判定两角相等，不对的是（  ）

A. 对顶角相等  B. 两直线平行，同位角相等.  C. ∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3

D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等

6.两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（  ）

A.60°   B.120°  C.60°或120°   D. 无法确定

7.如图，AB⊥CD，垂足为B，EF是经过B点的一条直线，已知∠EBD=145°，则∠CBE，∠ABF的度数分别为（  ）

   A.55°，35°      B.35°，55°     C.45°，45°      D.25°，55°

8.已知：

如图，下面判定正确的是（  ）

A. ∵∠1=∠2，∴AB∥CD     B. ∵∠1+∠2=180°，∴AB∥CD

 C. ∵∠3=∠4，∴AB∥CD   D. ∵∠1+∠4=180°，∴AB∥CD

（二）活用知识，对号入座：

1. 如果a∥b，b∥c，则______∥______，因为___  ___                         _。

2.下列语句①直角都相等，②延长AB到C，使BC=2AB，③若∠α>∠β，则∠α+∠γ>∠β+∠γ，④对顶角相等，相等的角也都是对顶角，⑤等角的余角相等．其中正确的有_____    ___          （只填序号）。

3.将“平行于同一直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式_______________________________________________________  。

4.自钝角的顶点引角的一边的垂线，把这个钝角分成两个角的度数之比是3∶1，则这个钝角的度数是___________。

5.如图BE，CF相交于O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是_______________。

6.如图，直线AB，CD相交于O，OE平分∠AOC，∠EOC=35°，则∠BOD=___________。

（三）填注理由：

如图，已知：

直线AB，CD被直线EF，GH所截，且∠1=∠2。

求证：

∠3+∠4=180°。

证明：

∵∠1=∠2 （                              ）

又∵∠2=∠5 （                                 ）

　∴∠1=∠5 （                                   ）

　∴AB∥CD （                                 ）

　∴∠3+∠4=180° （                             ）

（四）计算题：

1.已知：

如图，AB，CD，EF三直线相交于一点，OE⊥AB，∠COE=20°，OG平分∠BOD，求∠BOG的度数．

2.已知：

如图，∠1+∠2=180°，∠3=100°，OK平分∠DOH，求∠KOH的度数。

3 如图已知，△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线。

求：

∠DAE的度数。

（五）解决问题，展现能力：

1.如图：

已知∠BCD=∠B+∠D，AB与ED的位置关系是什么？

请说明理由。

2.已知：

如图AD∥BE，∠1=∠2，∠A与∠E有何数量关系，请说明理由。

3.已知：

如图，CD平分∠ACB，AC∥DE，CD∥EF， EF能平分∠DEB吗？

请说明理由．

4. 在铁路的同旁有A、B两个工厂，要在铁路L旁边修建一个仓库，使与A、B两厂的距离相等，画出仓库的位置，并写出画法。

二、三角形

（一）一般三角形的性质

1、三边的关系：

任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

2、三内角的关系：

①三角形三内角之和等于180o；②三角形任何一个外角等于和他不相邻的两个内角的和。

3、三角形的面积公式：

S三角形＝ 。

（二）特殊三角形

1、等腰三角形

（1）性质：

①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称三线合一）；

③等腰三角形是轴对称图形。

（2）识别：

①定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

②判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

2、等边三角形

（1）性质：

①等边三角形的三个角相等，且每一个角都等于60o；

②等边三角形每一条边上的高、中线和所对角的平分线互相重合（简称三线合一）；

③等边三角形是轴对称图形。

（2）识别：

①定义：

三条边相等的三角形叫做等边三角形。

②判定定理：

Ⅰ、有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形；Ⅱ、三个角相等的三角形是等边三角形。

3、直角三角形

（1）性质：

①直角三角形的两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；

④在直角三角形中，30o所对的直角边等于斜边的一半；

⑤等腰直角三角形的每一个锐角都等于45o。

（2）识别：

①定义：

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

②判定定理：

Ⅰ、如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

Ⅱ、若果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

★练习

（一）反复比较，精心挑选：

（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的）。

1、如果三角形的一个角的度数等于另两个角的度数之和，那么这个三角形一定是（  ）

（A）锐角三角形    （B）直角三角形    （C）钝角三角形    （D）等腰三角形

2、下列给出的各组线段中，能构成三角形的是（  ）

（A）5，12，13        （B）5，12，7         （C）8，18，7         （D）3，4，8

3、下列图形中，不是轴对称图形的是（   ）

（A）线段 MN     （B）等边三角形    （C）有一个角为30o的直角三角形     （D） 钝角∠AOB

4、直角三角形两锐角的平分线相交所夹的钝角为（　　）

125°  （B）135°  （C）145°  （D）150°

5、设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是（   ）

（A）0<α<90°   （B） α<90°   （C） 0<α≤90°   （D）0≤α<90°

6、在△ABC中,下列推理过程正确的是（   ）

（A）如果∠A=∠B,那么AB=AC  （B）如果∠A=∠B,那么AB=BC   （C） 如果CA=CB,那么 ∠A=∠B   （D） 如果AB=BC,那么∠B=∠A.。

（二）活用知识，对号入座：

1、如果三角形的两边长分别为5和9，那么第三边x的取值范围是               。

2、如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是      三角形。

3、等腰△ABC中，AB=2BC，其周长为45，则AB长为               。

4、如图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∠BOC=136°，则∠A=       度。

5、如果等腰三角形的一个外角为80°，那么它的底角为          度。

6、已知：

△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于E，垂足为D，如果∠A=40?

，那么∠BEC=       ；如果△BEC的周长为20cm，那么底边BC=             。

（三）计算题

1、如图已知，△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线。

求：

∠DAE的度数。

2、如图已知：

△ABC≌△DBE，∠A=50°，∠E=30°。

求∠ADB和∠DBC的度数。

3、如图已知：

Rt△ABC中，∠ACB=90 o，DE是BC的垂直平分线，交AB于E，垂足为D，如果AC= ，BC=3，求∠A的度数和△CDE的周长。

三、四边形

（一）一般四边形的性质

1、四边形的内角和等于360o；2、四边形的外角和等于360o。

（二）特殊四边形

1、平行四边形性质和识别

（1）性质：

①平行四边形的对边分别相等；

②平行四边形的对边分别平行；

③平行四边形的对角分别相等；

④平行四边形的对角线互相平分；

⑤平行四边形是中心对称图形，对称中心是它的对角线的交点。

⑥平行四边形的面积公式：

S平行四边形＝。

（2）识别：

①定义：

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

②判定定理：

Ⅰ、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

Ⅱ、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

Ⅲ、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2、矩形的性质和识别

（1）性质（除平行四边形的性质外还有如下性质）：

①矩形的对角线相等；

②矩形的每一个角是直角；

③矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；

④矩形的面积公式：

S矩形＝ 。

（2）识别

①定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

②判定定理：

Ⅰ、对角线相等的平行四边形是矩形；Ⅱ；有三个角是直角的四边形是矩形。

3、菱形的性质和识别

（1）性质（除平行四边形的性质外还有如下性质）：

①菱形的四条边相等；

②菱形的对角线互相垂直；

③菱形的每一条对角线平分一组对角；

④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；

⑥菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半；

⑦菱形的面积公式：

 。

（2）识别：

①定义：

又以租赁边相等的平行四边形叫做菱形。

②判定定理：

Ⅰ、四条边相等的四边形是菱形；

Ⅱ、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

Ⅲ、每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

4、梯形的性质和识别

（1）性质：

①梯形中位线的性质：

梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一边。

②梯形的面积公式：

S梯形＝

（2）识别：

①定义：

.

5、等腰梯形的性质和识别

（1）性质：

①等腰梯形同一底上的两个角相等；

②等腰梯形的对角线相等；

③等腰梯形是轴对称图形，对称轴是它两底的垂直平分线。

（2）识别：

①定义：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

②判定定理：

Ⅰ、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；

Ⅱ、对角线相等的梯形是等腰梯形。

★练习题

（一）活用知识，对号入座：

1、如下图，EF过矩形ABCD的对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的              。

　A 　　　B 　　　　C 　　　　D

2、如上图，已知点E、F是矩形ABCD的边BC、CD的中点，且BF与DE交于点G，则 的值为             。

3、如上图，已知点E是 ABCD的CD边的中点，且BE交对角线AC于点G；如果S△CEG＝1，则 ABCD的面积为            。

4、如上图，已知点E、F是 ABCD的BC、CD边的中点，AE、AF与对角线BD相交。

如果图中阴影部分面积为S1，非阴影部分面积为S2，则 ＝            。

（二）解答题

1、如下图，已知P是矩形ABCD的内的一点.求证：

PA2＋PC2＝PB2＋PD2 。

2、如下图，已知点P是边长为1的正方形ABCD内一点，如果∠DPC＝90°，PA2－PB2＝ 。

求∠PCB的度数。

3、如下图，点E、F是 ABCD边AB、BC上的点。

⑴如果AB＝10，AB与CD的距离为8，且点E、F分别是AB、BC的中点，求S△DEF ；

（2）已知⊿ADE、⊿BEF、⊿CDF的面积分别为5、3、4，求⊿DEF的面积。

4、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度移动，点Q从点C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒。

（1）当t为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形PDCQ是等腰梯形？

四、多边形

（一）一般多边形的性质和识别

（1）性质：

①n边形的内角和等于（n－2）·180o；

②n边形的内角和等于360 o。

（2）识别：

①定义：

在同一平面内，由n条线段首尾顺次连接而成的图形叫做n边形。

（二）正多边形

1、性质：

①正多边形是轴对称图形；

②当正多边形的边数为偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形。

2、识别：

①定义：

每一条边和每一个角都分别相等的多边形是正多边形。

五、全等三角形的性质和识别

1、性质：

①全等三角形的对应边相等、对应角相等；

②全等三角形对应的高、中线、角平分线分别相等。

2、识别：

①定义：

②判定定理（或公理）

Ⅰ、两边和其夹角对应相等的两个三角形全等；

Ⅱ、两角和其夹边对应相等的两个三角形全等；

Ⅲ、两角和其中一角的对边对影响等的两个三角形全等；

Ⅳ、三条边对应相等的两个三角形全等；

Ⅴ、斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。

★练习题

（一）反复比较，精心挑选：

（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的）。

1、在线段、射线、直线、角、直角三角形、等腰三角形中是轴对称图形的有（    ）。

  （A）3个  （B）4个  （C）5个  （D）6个

2、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2㎝，则斜边的长为（     ）

（A）2 ㎝  （B）4 ㎝ （C）6 ㎝ （D）8㎝

3、点M（1，2）关于原点对称的点的坐标为（  ）

（A）（—1，2） （B）（－1，－2）  （C）（1，－2）    （D）（2，－1）

4、下列说法正确的是（     ）

A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合  B．顶角相等的两个等腰三角形全等

C．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍      D．等腰三角形的两个底角相等

5、已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P，P1，P2三点构成的三角形是（       ）

A．直角三角形   B．钝角三角形    C．等腰三角形   D．等边三角形

6、DE是⊿ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则⊿EBC的周长为（    ）厘米

A．16    B．28     C．26    D．18。

7、下列命题中，错误的是（　　）

A．全等三角形对应边上的中线相等     B．面积相等的两个三角形是全等三角形

C．全等三角形对应边上的高线相等     D．全等三角形对应角的平分线相等

8、如图7，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且 ，判定△APD与△APE全等的理由应该是（　　）A．SAS　　　B．AAS　　　C．SSS　　　D．HL

9、如图8，已知AB，CD相交于O点， ，E，F分别在OA，OB上，要使 ，添加的一个条件不可以是（　　）

A．∠OCE＝∠ODF　　B．∠CEA＝∠DFB　　C．CE＝DF　　D．OE＝OF

10、如图9，在△ABC中，AB＝AC，AD是 的角平分线， ，垂足分别为E，F．则下列四个结论：

①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD ，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF．其中，正确的个数为（　　）

A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个

11、△ABC中，AB＝AC，三条高AD，BE，CF相交于O，那么图10中全等的三角形有（　　）

A．5对　　　B．6对　　　C．7对　　　D．8对

12、将一张长方形纸片按下图所示的方式折叠， 为折痕，则 的度数为（　　）

A．60°　　　B．75°　　　C．90°　　　D．95°

（二）填空题

1、等腰三角形的两边长是6和3，周长为______________________。

2、等腰三角形一个角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________。

3、在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A=        度。

4、等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为          ㎝。

5、腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为          。

6、到三角形各顶点距离相等的点是三角形              的交点。

7、在直角坐标系内有两点A（-1，1）、B（2，3），若M为x轴上一点，且MA+MB最小，则M的坐标是________，MA+MB=________。

8、如图5，AB，CD相交于点O，AD＝CB，请你补充一个条件，使得△AOD≌△COB．你补充的条件是____     __．

（三）解答题

1、已知，如图，ΔABC中，AB＝AC，D点在BC上，且BD＝AD，DC＝AC，将图中的等腰三角形全都写出来，并求∠B的度数。

2、如图，在⊿ABC中，∠ACB=90，DE是AB的垂直平分线，∠CAE∶∠EAB=4∶1．求∠B的度数．

3、如图16，D是BC中点，AD⊥BC，E是BC上除B，D，C外任意一点，根据“SAS”，可证明 ，所以AB＝AC，∠B＝∠C．在△ABE和△ACE中， ，不能证明 ，因为这是“SSA”的情形， 是钝角三角形， 是锐角三角形，它们不可能全等．如果两个三角形都是直角三角形，“SSA”就变成“HL”，就可以用来证明两个三角形全等．同样，如果我们知道两个三角形都是钝角三角形或锐角三角形，并且它们满足“SSA”的情形，也是一定能全等的，但必须通过构造直角三角形来间接证明．

问题：

已知，如图17，AD＝AC， ，根据现有条件直接证明⊿ABC≌⊿ABD，可以吗?

为什么?

A

D

C

图17

B

A

D

E

C

图16

B

六、相似三角形的性质和识别

1、性质：

（1）相似三角形对应中线的比等于相似比；

（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比；

（3）相似三角形对应高的比等于相似比；

（4）相似三角形周长的比等于相似比；

（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

2、识别：

①定义：

形状相同大小不一定相同的三角形叫做相似三角形。

②判定定理（或公理）

Ⅰ、有两个角对应相等的两个三角形相似；

Ⅱ、有两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

Ⅲ、三条边对应成比例的两个三角形相似；

Ⅳ、有一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

★练习题

（一）填空题

1、已知一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段的比是        。

2、在比例尺为20∶1的图纸上，某矩形零件面积为12cm2；则零件实际面积为_________cm2。

3、已知           。

4、已知  ，则                 。

5、如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4米，则AB=_______________米。

6、一根竹竿的高为150㎝ ，影长为100㎝ ，同一时刻，某塔楼影长是200㎝ ，则塔楼的高度为                 ㎝。

7、如图所示，在△ABC中，DE∥AC，BD=10，DA=15，BE=8，则EC=          ，  ， .=             。

8、已知：

在△ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件∠ACP=          或∠APC=          或 AC2=             时，△ACP∽△ABC．

9、如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D．请写出图中的两对相似三角形：

                                （用相似符号连接）．

（二）选择题（每小题5分，共 30 分）

1、下列命题：

（1）       有一个锐角相等的两个直角三角形相似

（2）       斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似

（3）       两个等边三角形一定相似

（4）       任意两个矩形一定相似

其中正确的个数是（    ）

A．  1个      B．   2个     C．  3个          D． 4个

2、如下图，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC， 交AC于E，已知 ，那么 的值为（      ）

（A）     （B）     （C）       （D）  ．

3、如图所示，在 △ABC中，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是（   ）

①    ②     ③   

 ④  

（A）①②            （B）②③④         （C）①②③           （D）①③

4、如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米。

小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。

请你计算，电线杆AB的高为（    ）

（A） 5米   （B）6米     （C）7米     （D）8米

5、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（　）．

A．0.36π平方米　　B． 0.81π平方米

C．2π平方米       D． 3.24π平方米

（三）解答题

1．已知如图，∠BAC=90o，AD⊥BC，AE=EC，ED延长线交AB的延长线于点F。

 求证：

（1）⊿DBF∽⊿ADF：

（