工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案.docx

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工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案

第一章行列式

1利用对角线法则计算下列三阶行列式20141183

解

201418132（4）30

（1）

（1）118

0132

（1）81（4）

（1）

2481644

acababc解cab

acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

11abc22abc1解1abc22abc

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

（ab）（bc）（ca）

xyxyxyxxyxy

解xyxyxyxxyxy

x（xy）yyx（xy）（xy）yxy3（xy）3x3

3xy（xy）y33x2yx3y3x3

2（x3y3）

2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数

（1）1234

解逆序数为0

（2）4132

解逆序数为4

41434232

32314241,21

214143

（2n）（3）3421解逆序数为5（4）2413解逆序数为3

（5）13（2n1）24

解逆序数为2

32（1个）

5254（2个）

727476（3个）

（2n1）2（2n1）4（2n1）6

（6）13（2n1）（2n）（2n2）

（2n1）（2n2）（n1个）2解逆序数为n（n1）

32（1个）

5254（2个）

（2n1）2（2n1）4（2n1）6

42（1个）

（2n1）（2n2）（n1个）

6264（2个）

（2n）2（2n）4（2n）6（2n）（2n2）（n1个）

3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项

解含因子a11a23的项的一般形式为

（1）ta11a23a3ra4s

其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是

（1）a11a23a32a44

（1）a11a23a32a44a11a23a32a44

（1）ta11a23a34a42

（1）2a11a23a34a42a11a23a34a42

4计算下列各行列式

t1

41242021052001174124cc42312021解520c7c4301170

1220320141012122

（1）433140

23154110c2c39910000122c314c1231714141121232062

40r4r21402141c4c22131231223121解123122323021450506262r4r12310

140120230000

abacbdcdbfcfef解abacaebcebdcddebceefbfcfbce1111114abcdef111

a1001b1001c1001d

解

a10001ab10r1ar21b0b11011c01d00a010c11d

adabac3dc2aba1c

（1）

（1）1c1cd01d010

adabcdabcdad1

（1）

（1）32ab11cd5证明:

a2abb2

aab2b（ab）3;111

证明

a2abb2c2ca2aba2b2a22aba2b2a2aab2b0111c3c102abb2a23aba

（1）（ba）（ba12（ab）ba2b2a3

axbyayxyzaybzazbxax（a3b3y;azbxaxbyaybzzxy证明

axbyayaybzazbxaxazbxaxbyaybz

xaybzazybxaxzaxbyayxaxbyaybzxaybzzyzazbxayazbzxaxzaxbyyxyaybzabxyz

abzxy（a3b3zxy1）2

1）2

1）2

1）2（a（b（c（d

2a2（a2b2（bc（cd2（d证明2）22）22）22）2（a（b（c（d3）23）20;3）23）23）3）（cccccc1得）3）43322

3）222

2

ab2c2d22（a（b（c（d21）1）21）21）2（a（b（c（d2）22）22）22）2（a（b（c（d

a2ab22bc22cd22da2

b2

c2

d22a2b2c2d

12a12b12c12d32a32b32c32d5（cccc得）4332512212012122

1111abcda2222bcda4b4c4d4（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）;证明

11ab22aba4b411110bacadab（ba）c（ca）d（da）

b2（b2a2）c2（c2a2）d2（d2a2111dc（ba）（ca）（da2b22（ba）c（ca）d（da）111（ba）（ca）（da0cbdb0c（cb）（cba）d（db）（dba1（ba）（ca）（da）（cb）（dbc（c1ba）d（dba=（ab）（ac）（ad）（bc）（bd）（cd）（abcd）

x100x111cdc2dc4d0000

000anan1an2x1a2xa1xna1xn1an1xan

证明用数学归纳法证明

当n2时D2x1x2a1xa2命题成立a2xa1

假设对于（n1）阶行列式命题成立即

Dn1xn1a1xn2

则Dn按第一列展开有an2xan1

DnxDn1an

（1）n

10x11

1

00x

001

xDn1anxna1xn1

an1xan

因此对于n阶行列式命题成立

6设n阶行列式Ddet（aij）,把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得

D1

an1a11

ann

a1n

n（n1）2

D2

a1na11

ann

an1D3

annan1

a1n

a11证明D1D（2

DD3D

证明因为Ddet（aij）所以

D1

an1a11

ann

a1n

a11

（1）nan1

a1nann

a11a21

n1

（1）nan1

（1）

a21

a2na1n

a2nann

a31

a3n

（1）同理可证

D2

12

（n2）（n1）

D

n（n1）2

D

T

111n

n（n1）2

an1

ann

（1）

2

D

（1）

2

D

D3（

D2n（n1）2

（n（n1）

2

n（n1）

DDD

（1）

7计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）

a1

（1）Dn

是0

解

1,其中对角线上元素都是a未写出的元素都aDn

a000a000a000100010000（按第n行展开）a00a000a00

（1）n0a0

000

a

（1）n1

（1）n01000（n1）（n1）a

（1）2naaa（n1）（n1）

a（n2）（n2）

aa;

xananan2an2（a21）

（2）Dn

xaaxaa解将第一行乘

（1）分别加到其余各行得

Dnxaaaxxa0ax0xaa00

ax0

00xa再将各列都加到第一列上得x（n1）aaa0xa000xaDna00

0xa[x（n1）a]（xa）n1000

（3）Dn1an（a1）nan1（a1）n1（an）n（an）n1an1a1a11;解根据第6题结果有

Dn11a1a11an

n1（a1）n1an（a1）n（an）n1（an）n此行列式为范德蒙德行列式

Dn1n（n1）2[（ai1）（aj1）]n1ij1n（n1）2

[（ij）]n1ij1

（1）2n1ij1n（n1）21（ij）n1ij1（ij）an（4）D2n

cn

解a1b1c1d1bn;dnan

D2n

cnbn（按第1行展开）a1b1c1d1dn

an1an

a1b1c1d1

bn10

cn10

dn100dn

0an1

（1）

2n1

bn1a1b1c1d1

bncn1cn

dn0

再按最后一行展开得递推公式

D2nandnD2n2bncnD2n2即D2n（andnbncn）D2n2

于是

D2n

ni2

（aidibici）D2

而

D2D2n

a1b1adbc

c1d11111

所以

n

（aidibici）

i1

（5）Ddet（aij）其中aij|ij|;

解aij|ij|

0123

1012

210111113210

111n1nnn40

Dndet（aij）

n1n2n3n4

r1r2

r2r3

n1n2n3n4

11111111

1111

c2c1

c3c1

n12n32n42n5

11110222002200020000n

（1）n1（n1）2n2

（6）Dn

a1111a211

1an

1

1,其中a1a2

an0

解

1a1111a2

Dn

1

11

1

1an

c1c2c2c3

a100a2a200a3a3

000

000000

an1an110an1an00a1100a21

100a3

1

11an1

1011an

000

111

aa12

100

110011

n

000000100010001

a1a2an

000000

1a11a21a3

000

01

a

000

a）（1（aa12n

n

001

1n1n

aii1

ai1i

8用克莱姆法则解下列方程组

x1x2x3x45

4xx12x2x34

（1）

2x13x2x35x43x1x22x311x4

220

解因为

11D3

1231

111415211142

D1

5

22012311114121111142D23

5220

所以

1D323Dx1

D

1231

1

x15x26x30

（2）x25x36x40

x35x46x50x45x51

5x16x2

51

24426D

42011

DD2x31x2

DD

1

1231231

1112

11141211

284

3x4

5

21420D1D

解因为

5600015600D1560665

001500015

60000560D115601507D2

00150015

51000106000560001501015

1145

D3

56100150001060703D4000500115

60015601560212015001156010156001500001000015395D5所以xx12665665x3665x4665x4665

lx1x2x309问lm取何值时齐次线性方程组x1mx2x30有非零x12mx2x30

解？

解系数行列式为

l11D1mmml12m令D0得

m0或l1

于是当m0或l1时该齐次线性方程组有非零解

（1l）x12x24x3010问l取何值时齐次线性方程组2x1（3l）x2x30有x1x2（1l）x30非零解？

解系数行列式为

l24l3l4D23l121l1111l101l

（1l）3（l3）4（1l）2（1l）（3l）

（1l）32（1l）2l3

令D0得

l0l2或l3

于是当l0l2或l3时该齐次线性方程组有非零解

第二章矩阵及其运算

1已知线性变换

xx12y12y2y3

23y1y2x2y5y3

33y123y3

求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换

解由已知

x1221y

x1

x23135yy2

332

21

故yy12321x

2x1749y1

y231253x2633274y2

3y3

yy17x14x29x3

26x13x2y7x3

33x12x24x3

2已知两个线性变换

x

12y1y3

xyy13z1z2

x242yy13y22y3

31y25y3y22z1z3

3z23z3

求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换

解由已知

xy

x12012

x2

52y1

232

34142031310

y2125200131

z1zz23

613z11249z210116z3

x16z1z23z3所以有x212z14z29z3x310z1z216z31113设A111

111B123124051求3AB2A及ATB

111123111解3AB2A31111242111111051111

0581113056211129011121322217204292

058056290111123ATB111124

111051

4计算下列乘积

4317

（1）12325701

解

43171232570147321117

（2）231577201356493

（2）（123）21

3解（123）2（132231）（10）1

2（3）1（12）3

解

21（12）32

（1）221

（1）123

（1）3231301212

12122412361（4）21400113414

解

12140011341431306782056a11a12a13x1（5）（x1x2x3）a12a22a23x2a13a23a33x3解

a11a12a13x1

（x1x2x3）a12a22a23x2

a13a23a33x3

（a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3

222axaxax1x22a13x1x32a23x2x31112223332a12xx1a13x1a23x2a33x3）x2x3

5设A1213

（1）ABBA吗?

解ABBAB1012问

因为AB3446BA1238所以ABBA

（2）（AB）2A22ABB2吗?

解（AB）2A22ABB2

因为AB2225

（AB）222222525814142968812103410161527但A2ABB22

2238411所以（AB）A

（3）（AB）（AB）A2B2吗?

解（AB）（AB）A2B2

22ABB

因为AB2225AB0201

而

（AB）（AB）22020625010913802822AB4113417

故（AB）（AB）A2B2

6举反列说明下列命题是错误的

（1）若A20则A0

解取A0100则A20但A0

（2）若A2A则A0或AE

解取A1100则A2A但A0且AE

（3）若AXAY且A0则XY解取

A1000

X11Y111101则AXAY且A0但XY

7设A

2解A10求A2A3l1101010

l1l12l1Ak

101010A3A2A

2l1l1

3l1

A

k

kl10

1

8设Al010

求Ak

00l1

l解首先观察

A2

l010ll200l110l000l1l020ll202ll12

A3

l303l2A2A3l

0l303l3l2

4A4

l04l3l46l2

A3

A4l3

00

l4l55l410l3

A5

A4A0l505l4

0l5

lkklk1Ak

lk20lk2

klk100lk

用数学归纳法证明当k2时显然成立假设k时成立，则k1时，

k

lklk1

A

k1

Ak

A

0lk2

lk200

klk1

lk

l01000l1l

lk1（k1）lk1

0lk1

0（k1）kk12（k1）lk1lk1

由数学归纳法原理知

lk220lkklk1

00lklkklk1Ak

9设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵

证明因为ATA所以

（BTAB）TBT（BTA）TBTATBBTAB

从而BTAB是对称矩阵

10设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA

证明充分性因为ATABTB且ABBA所以

（AB）T（BA）TATBTAB

即AB是对称矩阵

必要性因为ATABTB且（AB）TAB所以

AB（AB）TBTATBA

11求下列矩阵的逆矩阵

（1）1225

1解A22|A|1故A1存在因为5