课时分层作业 22 线性规划的实际应用.docx

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课时分层作业22线性规划的实际应用

课时分层作业（二十二）　线性规划的实际应用

（建议用时：

40分钟）

[学业达标练]

一、选择题

1．设变量x，y满足约束条件

则目标函数z＝x＋6y的最大值为（　　）

A．3　　　　　　　　B．4

C．18D．40

C　[由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A（0,3）时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.

]

2．某服装制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的丝绸料，做一条裤子需要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裙子需要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为（　　）

A.

z＝20x＋40y

B.

z＝20x＋40y

C.

z＝20x＋40y

D.

z＝40x＋20y

A　[由题意知A正确．]

3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（　　）

甲

乙

原料限额

A（吨）

3

2

12

B（吨）

1

2

8

A.12万元B．16万元

C．17万元D．18万元

D　[根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则

目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A（2,3）时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．]

4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为（　　）

A．2,4B．3,3

C．4,2D．不确定

B　[设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则

求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解（x，y），用图解法求得整数解为（3,3）．]

5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为（　　）

A．4650元B．4700元

C．4900元D．5000元

C　[设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式

作出相应的平面区域（略），u＝450x＋350y＝50（9x＋7y）在由

确定的交点（7,5）处取得最大值4900元．]

二、填空题

6．若点P（m，n）在由不等式组

所确定的区域内，则n－m的最大值为________.

3　[作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A（1,3），B（2,5），C（3,4），设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为（2,5）时，n－m的最大值为3.

]

7．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为________．

3,3　[设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则

求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解（x，y），用图解法（图略）求得整数解为（3,3）．所以，A，B两种用品应各买3件．]

8．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于项目乙投资的

倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．

31．2　[设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则

目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.]

三、解答题

9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：

应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？

[解]　设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，那么

目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：

把z＝3x＋2y变形为y＝－

x＋

，得到斜率为－

，它是在y轴上的截距为

且随z变化的一组平行直线．

由图可知，当直线y＝－

x＋

经过可行域上的点A时，截距

最小，即z最小．

由

得A

，

∴zmin＝3×

＋2×3＝14.4.

∴甲种原料

×10＝28（g），乙种原料3×10＝30（g），

即当使用甲、乙两种原料分别为28g、30g时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省．

10．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？

怎样搭配价格最低？

成分

种类　　　

阿司匹林

小苏打

可待因

每片价格（元）

A（毫克/片）

2

5

1

0.1

B（毫克/片）

1

7

6

0.2

[解]　设A，B两种药品分别为x片和y片（x，y∈N），

则有

两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.

如图所示，作直线l：

x＋y＝0，

将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．

解方程组

得交点A坐标

.

由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是（1,10），（2,9），（3,8），因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．

[冲A挑战练]

1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示（单位：

kg）

原料

药剂　　　

甲

乙

A

2

5

B

5

4

药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以获得的最大销售额为（　　）

A．600元B．700元

C．800元D．900元

D　[设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组

成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.]

2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（　　）

A．2000元B．2200元

C．2400元D．2800元

B　[设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件

目标函数z＝400x＋300y，画图（图略）可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点（4,2）时，z取得最小值2200.]

3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件

则z＝10x＋10y的最大值是________．

90　[原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

作出直线y＝－x＋

可知当直线过点

时z有最大值，由于x，y∈N*；可行域内与点

最接近的整点为（5,4），所以当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.]

4．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．

216000　[设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为

目标函数z＝2100x＋900y.

作出可行域为图中的四边形，包括边界的整数点，顶点为（60,100），（0,200），（0,0），（90,0），在（60,100）处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000（元）．]

5．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：

规格类型

袋装大米类型　　　　　　

A

B

甲

2

1

乙

1

3

已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋．

（1）问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？

（要求画出可行域）

（2）若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率.

[解]　

（1）设需分甲，乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，

所用的袋装大米的总袋数为z，则

z＝x＋y（x，y为整数），作出可行域D如图．

从图中可知，可行域D的所有整数点为：

（3,9），（3,10），（4,8），（4,9），（4,10），（5,8），（5,9），（5,10），共8个点

因为目标函数为z＝x＋y（x，y为整数），所以在一组平行直线x＋y＝t（t为参数）中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是（3,9）和（4,8），它们都是最优解．

所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少．

（2）由

（1）可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P＝

＝

.