平行关系.docx
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平行关系
平行关系
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.
1.直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
a∩α＝∅
aα，b⊈α，a∥b
a∥α
a∥α，aβ，α∩β＝b
结论
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a∥b
2.面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∩β＝∅
aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
α∥β，aβ
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
概念方法微思考
1.一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的所有直线都平行吗？
提示 不都平行.该平面内的直线有两类，一类与该直线平行，一类与该直线异面.
2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
提示 平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”，这就是面面平行的判定定理.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（ × ）
（2）平行于同一条直线的两个平面平行.（ × ）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（ × ）
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（ √ ）
（5）若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.（ × ）
（6）若α∥β，直线a∥α，则a∥β.（ × ）
题组二 教材改编
2.平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，aα，a∥β
C.存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
D.存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α
答案 D
解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊈α，a⊈β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，aα，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________.
答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，
在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，
所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，
而BD1⊈平面ACE，EO平面ACE，
所以BD1∥平面ACE.
题组三 易错自纠
4.（2019·郑州模拟）对于空间中的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是（ ）
A.若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m∥α，nα，则m∥n
C.若m∥α，n⊥α，则m∥n
D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案 D
解析 对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.
5.若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（ ）
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
6.设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①aα，bβ，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；
③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______.（填上所有正确的序号）
答案 ②④
解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；
由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.
求证：
GF∥平面ADE.
证明 方法一
如图，取AE的中点H，连接HG，HD，
又G是BE的中点，
所以GH∥AB，且GH＝
AB.
又F是CD的中点，
所以DF＝
CD.
由四边形ABCD是矩形得
AB∥CD，AB＝CD，
所以GH∥DF，且GH＝DF，
从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.
又DH平面ADE，GF⊈平面ADE，
所以GF∥平面ADE.
方法二 如图，取AB的中点M，连接MG，MF.
又G是BE的中点，可知GM∥AE.
又AE平面ADE，GM⊈平面ADE，
所以GM∥平面ADE.
在矩形ABCD中，
由M，F分别是AB，CD的中点得MF∥AD.
又AD平面ADE，MF⊈平面ADE.
所以MF∥平面ADE.
又因为GM∩MF＝M，GM平面GMF，MF平面GMF，
所以平面GMF∥平面ADE.
因为GF平面GMF，
所以GF∥平面ADE.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.
（1）证明：
EF∥平面PDC；
（2）求点F到平面PDC的距离.
（1）证明 取PC的中点M，连接DM，MF，
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴MF∥CB，MF＝
CB，
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴DE∥CB，DE＝
CB，
∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，
∴EF∥DM，
∵EF⊈平面PDC，DM平面PDC，
∴EF∥平面PDC.
（2）解 ∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，
在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝
，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，
∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB平面PAB，
∴CB⊥平面PAB，
∴CB⊥PB，则PC＝
，
∴PD2＋DC2＝PC2，
∴△PDC为直角三角形，其中PD⊥CD，
∴S△PDC＝
×1×
＝
，
连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，
设E到平面PDC的距离为h，
∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，AD，PA平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
则
×h×
＝
×1×
×
×1，
∴h＝
，∴F到平面PDC的距离为
.
思维升华 判断或证明线面平行的常用方法
（1）利用线面平行的定义（无公共点）.
（2）利用线面平行的判定定理（a⊈α，bα，a∥b⇒a∥α）.
（3）利用面面平行的性质（α∥β，aα⇒a∥β）.
（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊈β，a∥α⇒a∥β）.
跟踪训练1 （2019·合肥模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2，四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且
＝
＝λ（λ≠0）.
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）当λ＝
时，求点D到平面AFB的距离.
（1）证明 ∵
＝
＝λ（λ≠0），
∴EF∥BC.
∵BC∥AD，∴EF∥AD.
又EF⊈平面PAD，AD平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
（2）解 ∵λ＝
，
∴F是PC的中点，
在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝
，
∴PC＝
＝
，
∴PF＝
PC＝
.
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，PA⊥AC，PA平面PAC，
∴PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又AB⊥AD，BC∥AD，∴BC⊥AB，
又PA∩AB＝A，PA，AB平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PB，∴在Rt△PBC中，BF＝
PC＝
.
连接BD，DF，设点D到平面AFB的距离为d，
在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝
，AB＝1，
∴S△ABF＝
，
又S△ABD＝1，点F到平面ABD的距离为1，
∴由VF－ABD＝VD－AFB，
得
×1×1＝
×d×
，
解得d＝
，
即点D到平面AFB的距离为
.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）平面EFA1∥平面BCHG.
证明
（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊈平面BCHG，BC平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB且A1B1＝AB，
∴A1G∥EB，A1G＝EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
又∵A1E⊈平面BCHG，GB平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示，连接A1C，AC1，交于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B平面A1BD1，DM⊈平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性质知，D1C1∥BD且D1C1＝BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊈平面A1BD1，BD1平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
2.在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求
的值.
解 连接A1B，AB1，交于点O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，
则
＝
＝1.
同理，AD1∥C1D，
又AD∥C1D1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形，
所以AD＝D1C1，
又AC＝A1C1，
所以
＝
，
所以
＝1，即
＝1.
思维升华 证明面面平行的方法
（1）面面平行的定义.
（2）面面平行的判定定理.
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.
跟踪训练2 （2018·合肥质检）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点.
（1）求证：
平面BDM∥平面EFC；
（2）若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A－CEF的体积.
（1）证明 如图，设AC与BD交于点N，
则N为AC的中点，连接MN，
又M为棱AE的中点，
∴MN∥EC.
∵MN⊈平面EFC，EC平面EFC，
∴MN∥平面EFC.
∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE，
∴BF∥DE且BF＝DE，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴BD∥EF.
∵BD⊈平面EFC，EF平面EFC，
∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，MN，BD平面BDM，
∴平面BDM∥平面EFC.
（2）解 连接EN，FN.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC.
又BF∩BD＝B，BF，BD平面BDEF，
∴AC⊥平面BDEF，
又N是AC的中点，
∴V三棱锥A－NEF＝V三棱锥C－NEF，
∴V三棱锥A－CEF＝2V三棱锥A－NEF＝2×
×AN×S△NEF＝2×
×
×
×
×2＝
，
∴三棱锥A－CEF的体积为
.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
（1）求证：
AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围.
（1）证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG平面ABD，EF⊈平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB⊈平面EFGH，EF平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理可证，CD∥平面EFGH.
（2）解 设EF＝x（0∵EF∥AB，FG∥CD，
∴
＝
，则
＝
＝
＝1－
.
∴FG＝6－
x.
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l＝2
＝12－x.
又∵0即四边形EFGH周长的取值范围是（8,12）.
思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.
跟踪训练3 如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，过A，C，E三点作平面α与正方体的面相交.
（1）画出平面α与正方体ABCD－A1B1C1D1各面的交线；
（2）求证：
BD1∥平面α.
（1）解 如图，交线即为EC，AC，AE，平面α即为平面AEC.
（2）证明 连接AC，BD，设BD与AC交于点O，连接EO，
∵四边形ABCD为正方形，
∴O是BD的中点，
又E为DD1的中点.
∴OE∥BD1，又OE平面α，BD1⊈平面α.
∴BD1∥平面α.
1.下列命题中正确的是（ ）
A.若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α
答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确.
2.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
答案 D
解析 A项，α，β可能相交，故错误；
B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；
C项，若mα，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；
D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确.
3.（2019·安阳模拟）如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是（ ）
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
答案 B
解析 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1.
∵AB平面ABC，A1B1⊈平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
4.（2018·西安模拟）若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ）
A.0条B.1条
C.2条D.0条或2条
答案 C
解析 如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，
则EF∥GH，EF⊈平面BCD，GH平面BCD，
所以EF∥平面BCD，
又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，
则EF∥CD，EF平面EFGH，CD⊈平面EFGH，
则CD∥平面EFGH，
同理AB∥平面EFGH，
所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.
5.（2017·全国Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
答案 A
解析 A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.
∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，
∴直线AB与平面MNQ相交；
B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊈平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，
∴AB∥MQ，
又AB⊈平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；
D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，
∴AB∥NQ，
又AB⊈平面MNQ，NQ平面MNQ，
∴AB∥平面MNQ.
故选A.
6.α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；
③如果α∥β，mα，那么m∥β；
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________.（填写所有正确命题的序号）
答案 ②③④
解析 当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
7.（2018·信阳模拟）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若mα，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________.（填序号）
答案 ②
解析 ①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或mβ，故③错误；④α∥β或α与β相交，故④错误.
8.棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________.
答案
解析 由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为
.
9.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度为________.
答案
解析 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
∴AC＝2
.
又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝
AC＝
.
10.如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件___时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：
请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）
答案 点M在线段FH上（或点M与点H重合）
解析 连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，
则MN平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.
11.（2019·南昌模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点.
（1）求证：
平面CMN∥平面PAB；
（2）求三棱锥P－ABM的体积.
（1）证明 ∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，
又MN⊈平面PAB，PA平面PAB，
∴MN∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，
∴∠ACN＝60°.
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.
∵CN⊈平面PAB，AB平面PAB，
∴CN∥平面PAB.
又CN∩MN＝N，CN，MN平面CMN，
∴平面CMN∥平面PAB.
（2）解 由
（1）知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离.
∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝
，
∴三棱锥P－ABM的体积V＝VM－PAB＝VC－PAB＝VP－ABC＝
×
×1×
×2＝
.
12.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
（1）证明：
平面A1BD∥平面CD1B1；
（2）若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：
B1D1∥l.
证明
（1）由题设知BB1∥DD1且BB1＝DD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以BD∥B1D1.
又BD⊈平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B⊈平面CD1B1，D1C平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
（2）由
（1）知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF＝
，则下列结论中错误的是（ ）
A.AC⊥BF
B.三棱锥A－BEF的体积为定值
C.EF∥平面ABCD
D.异面直线AE，BF所成的角为定值
答案 D
解析 ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
易证AC⊥平面BDD1B1，
∵BF平面BDD1B1，
∴AC⊥BF，故A正确；
对于选项B，∵E，F，B在平面BDD1B1上，
∴A到平面BEF的距离为定值，
∵EF＝
，B到直线EF的距离为1，
∴△B
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