考点11 方程的应用.docx
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考点11方程的应用
测试卷十一方程的应用
（时间45分钟分数100分）
一．选择题（每题分，共分）
1（2008，甘肃省庆阳市）某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（C ）
A．55（1+x）2=35B．35（1+x）2=55
C．55（1－x）2=35D．35（1－x）2=55
1．C解析：
平均降低率问题与平均增长率问题类似,其等量关系式为a（1-x）n=b,这里
a=55,b=35,n=2,所以有55（1-x）2=35,选C.
二填空题
2（2008，天门市）某公园门票价格如下表，有27名中学生游公园，则最少应付费_____元．（游客只能在公园售票处购票）
购票张数
1～29张
30～60张
60张以上
每张票的价格
10元
8元
6元
2．240解析：
由表格知,若直接购27张票,则每张票的价格为10元,共需270元;但我们也可
按30张购票,每张8元,则只需240元,同样能进公园,所以最少付费240元.
点评:
读懂表格信息,分类讨论后比较是解此类题的常用方法.
三解答题
3（2008，山东威海）汶川大地震发生后，各地人民纷纷捐款捐物支援灾区．我市某企业向灾区捐助价值94万元的A，B两种帐篷共600顶．已知A种帐篷每顶1700元，B种帐篷每顶1300元，问A，B两种帐篷各多少顶？
3．解析：
题中含有两个等量关系:
A种帐篷顶数+B种帐篷顶数=600,
A种帐蓬价钱+B种帐篷价钱=94万.
根据以上两个等量关系列方程组可求两种帐篷的顶数.
解:
设A种帐篷x顶,B种帐篷y顶,根据题意,列方程组
解,得
∴A种帐篷400顶,B种帐篷200顶.
点评：
找出等量关系,构建方程组模型,是解决实际问题的一种常用方法.
4（2008，广州）2008年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30千米远的郊区进行抢修。
维修工骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点。
已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。
4．解析：
路程已知,可设摩托车的速度为x千米/时,由题意知抢修车的速度为1.5千米/时,根据
“抢修车行30千米花的时间=摩托车行30千米的时间-
”即可列方程求出两种车的
速度.
解:
设摩托车的速度为x千米/时,则抢修车的速度为1.5x千米/时,依题意列方程
=
-
解得x=40,检验x=40是原方程的解,所以1.5x=60.
答:
摩托车的速度是40千米/时,抢修车的速度为60千米/时.
5（2008，贵阳市）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
5．解析：
每胀盈利的年增长率相同,可根据增长率问题问的数量关系,列方程求出增长率的数
然后分别求2006年、2008年的盈利.
解:
设每年盈利的年增长率为x,依题意,得
1500（1+x）2+=2160,解得x1=
x2=-
.
检验x2=-
不合题意,舍去.∴x=
=20%.
所以
（1）该公司2006年盈利为1500（1+20%）=1800（万元）
（2）该公司2008年盈利为2160（1+20%）=2592（万元）
答:
该公司2006年盈利1800万元;2008年盈利2592万元.
点评：
每年盈利的年增长率虽相同,但求2006年、2008年的盈利时要注意增长的基数是
不同的.
6（2008，益阳市）20．5·12汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖.据中央电视台报道：
唐家山堰塞湖危险性最大.为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽,经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前.
根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？
增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？
6．解析：
题知含有两个等量关系:
后来每天挖的土石方=原来每天挖怕土石方的2倍+1万米3;
原来挖2天的土石方数+后来挖3天的土石方数=13.4万米3,根据以上等量关系,直接
设未知数列方程组即可求解.
解:
设原计划每天挖土石方x万立方米,增调人员和设备后每天挖y万立方米
可列出方程组
解之得:
答:
原计划每天挖土石方1.3万立方米,增调人员和设备后每天挖3.6万立方米.
点评:
数学源于实际生活,同时服务于生活,体会列方程组解决实际问题的优越性.
7（2008,山西省太原市）帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．
7．解析：
根据两次人均捐款额相等列方程求解,设第二次捐款人数为x人,则第一次捐款人数
为（x-50）人,两次人均捐款分别为
元、
元.
解:
设第二次捐款的人数为x人,则第一次捐款人数为（x-50）人,依题意,得
=
解得x=200,
经检验,x=200是原方程的解,且符合题意.
答:
该校第二次捐款的人数是200人.
8（2008，徐州巿）从称许到南京可乘列车A与列车B，已知徐州至南京里程约为350km，A与B车的平均速度之比为10∶7，A车的行驶时间比B车的少1h，那么两车的平均速度分别为多少？
8．解析：
因为A、B两车的平均速度比为10:
7,所以设A、B车的平均速度为10xkm/h,7xkm/h;
则行35米,A车花的时间为
h,B年花的
h,根据时间关系列方程可求解.
解:
设A、B两车的平均速度为10xkm/h,7xkm/h;
依题意,得
=
-1,解得x=15
检验x=15题,原方程的解
∴10x=150,7x=105
答:
A、B两车的平均速度为150km/h,105km/h.
点评:
行程问题的关系式大家都非常熟悉,关键是根据已知条件,找准等量关系列方程.
9（2008，山西省）某文化用品商店用200元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元。
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
9．解析：
（1）可直接设第一批购进书包的单价为x元,则第二批购进的书包单价为（x+4）元,再根
据两次花费的总价,求得两次购进的数量分别为
件,
件,然后根据前后两次购
进的数量关系式列方程即可求解.
（2）可分别求两次盈利,再求其和,也可根据利润=销售总价-成本价来求盈利.
解:
（1）设第一批购进书包的单价是x元,则
·3=
解,得x=80.
经检验,x=80是原方程的根.
答:
第一批购进书包的单价是80元.
（2）解法一:
×（120-80）+
×（120-84）=1000+2700=3700（元）
答:
商店共盈利3700元.
解法二:
×（1+3）×120-（2000+6300）=12000-8300=3700（元）.
答:
商店共盈利3700元.
点评:
盈利=销售的总价-成本价,也可用“总利润=（售价-进价）×件数”来求盈利.
10（2008，内江市）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？
10．解析：
设今年1月份的一级猪肉每斤x元,则5月份一级猪肉的价格为1.25x元/斤,那么20
元分别购进5月份,1月份的猪肉斤数为
斤、
斤,然后根据20元钱在5月份购
一级猪肉比1月份购进的一级猪肉少0.4斤,列方程即可求解.
解:
设今年1月份的一级猪肉每斤x元,则5月份的一级猪肉每斤1.25x元,依题意,得
=
+0.4,解得x=10元.
答:
今年1月份一级猪肉每斤10元,经检验x=10是原方程的解.
11（2008，湖州市）为了支援四川人民抗震救灾，某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷顶；
（2）生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了
，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
11．解析：
（1）平均每天生产帐篷的顶数=
;
（2）工作效率=
解:
（1）2000÷10=2000
（2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷,依题意,得
（1+25%）=
即
=
解得x=750
经检验,x=750是原方程的解,且符合题意.
答:
按计划,该公司每天应生产2000顶帐篷,该公司原计划安排750名工人生产帐篷.
12（2008，北京市）列方程或方程组解应用题：
京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
12．解析：
题中隐含来回的路程相等,根据“路程=速度×时间”来列方程即可求解.
解:
设这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时x千米,则由天津返回北京的平均速
度是每小时（x+40）千米.
依题意,得
x=
（x+40）.
解得x=200.
答:
这次试车时,由北京到天津的平均速度是每小时200千米.
点评:
列方程解应用题时,要注意单一的统一.
13（2008,南通市）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．
（1）求A市投资“改水工程”的年平均增长率；
（2）从2008年到2010年，A市三年共投资“改水工程”多少万元？
13．解析：
（1）设年平均增长率为x,由于2008年投入600万元,则2009年投入600（1+x）万元,2010年投入600（1+x）2万元,依题意可列方程600（1+x）2=1176;
（2）由
（1）计算的年增长率求出2009年的投入资金,再相加得三年的投入资金.
解:
（1）设A市投资“改水工程”年平均增长率是x,
则600（1+x）2=1176.
解之,得x=0.4或x=-2.4（不合题意,舍去）.
所以,A市投资“改水工程”年平均增长率为40%.
（2）600+600×1.4+1176=2616（万元）.
A市三年共投资“改水工程”2616万元.
点评:
本题可直接套用增长率公式a（1+x）A=6来求平均增长率.（其中a是基数,b是后来的量,n
是增长期数,x为平均增长率.）
14（2008，南京市）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为
．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是
？
14．解析：
蔬菜种植区域为长方形,其长为温室的长-4米,其宽为温室的宽-2米,然后根据“长方
形的面积=长×宽”来列方程求解.
解:
解法一:
设矩形温室的宽为xm,则长为2xm.根据题意,得
（x-2）·（2x-4）=288.
解这个方程,得
x1=-10（不舍题意,舍去）,x2=14.
所以x=14,2x=2×14=28.
答:
当矩形温室的长为28m,宽为14m时,植区域的面积是288m2.
解法二:
设矩形温室的长为xm,则宽为
xm.根据题意,得
（
x-2）·（x-4）=288.
解这个方程,得
x1=-10（不合题意,舍去）,x2=28.
所以x=28,
x=
×28=14.
答:
当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288m2.
点评:
利用一元二次方程求图形面积问题,只要选择适当的未知数,就能列方程求出未知数,但要注意,所求方程的根,一定要根据实际情况考虑取舍.
15（2008，桂林市）某校在教学楼前铺设小广场地面，其图案设计如图。
所示，矩形地面的长50米，宽32米，中心建一直径为10米的圆形喷泉，四周各角留一个长20米，宽5米的小矩形花坛，图中阴影处铺设广场地砖。
（１）求阴影部分的面积Ｓ（π取３）
（２）某人承包铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作３天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，问原计划每天铺多少平方米？
15．解析：
（1）阴影部分面积等于大矩形面积-圆形喷泉面积-4个小矩形面积.
（2）根据“工作时间=
”及两种情况下的时间关系列方程求解.
解:
（1）S=50×32-2×（
）2-4×20×5=1125（m2）
（2）设原计划每天铺x平方米,则提高效率后每天铺1.5x平方米,依题意,得
3+
=
-7
解得x=75.
经检验,x=75是原方程的解,且符合题意.
答:
阴影部分面积为1125平方米,原计划每天铺75平方米.
16（2008，成都）金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：
甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的
；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？
若不够用，需追加预算多少万元？
请给出你的判断并说明理由.
16．解析：
（1）工程问题主要根据工作总量等于单位“1”来列方程求解;
（2）根据
（1）求得的工作
时间,得出甲\,乙的工作效率,求出合作完成工程的时间,算出施工费用,与50元比较后作出判断.
解:
（1）设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需
+30（
+
）=1
解得x=90.经检验x=90是原方程的根.
∴
x=90×
=60
答:
甲、乙两队单独完成这项工程各需60天和90天.
（2）设甲、乙两队合儿完成这项工程需y天,则有（
+
）y=1,解得y=36.
需要施工费用:
36×（0.84+0.65）=50.4（万元）
∵50.4>50
∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.
点评:
工程问题的最基本关系式是:
工作效率×工作时间=工作总量.
（2008，哈尔滨）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装该种货物18吨．已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．
（1）求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？
（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元．通过计算求出该公司有几种租车方案？
请你设计出来,并求出最低的租车费用．
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