光线通过各种玻璃砖的典型光路分析.docx
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光线通过各种玻璃砖的典型光路分析
光线通过玻璃砖
几何光学部分,在新课标高考中大部分省市已纳入选做部分。
这部分考查主要的知识内容是光的反射、折射和全反射。
围绕着这部分内容,高考的考题常以截面为各种不同形状的玻璃砖为载体来进行考查,为了全面了解光线通过玻璃砖的问题,现将近几年来的全国高考题按玻璃砖的截面形状进行归类例析,供大家参考。
一、矩形玻璃砖
光线射向矩形玻璃砖(或平行玻璃板),经两次折射后其出射光线方向不变,仍与原来的方向相同(平行),但产生了一定距离的侧移。
例1.(2008年高考全国卷Ⅰ)一束由红、蓝两单色光组成的光线从一平板玻璃砖的上表面以入射角θ射入,穿过玻璃砖自下表面射出。
已知该玻璃对红光的折射率为1.5。
设红光与蓝光穿过玻璃砖所用的时间分别为t1和t2,则在θ从0°逐渐增大至90°过程中
A.t1始终大于t2 B.t1始终小于t2
C.t1先大于后小于t2 D.t1先小于后大于t2
解析:
如图1所示,为红、蓝两单色光经过平板玻璃砖的光路图。
设玻璃砖的厚度为d,某单色光的折射率为n,折射角为γ,穿过玻璃砖所用的时间为t,则
,
,
。
联立以上三式可得
由于红光的折射率n1小于蓝光的折射率n2,则红光穿过玻璃砖所用的时间t1小于蓝光穿过玻璃砖所用的时间t2,故正确的选项为B。
二、三角形玻璃砖
单色光从三角形玻璃砖的一个侧面入射向另一个侧面射出时,光线将向棱镜的底面偏折,折射率越大,偏折作用越显著。
复色光通过三棱镜,发生色散现象,形式一条彩色光带,其红光通过三棱镜时偏折角最小,紫光通过三棱镜时偏折角最大。
例2.(2009高考全国新课标卷)如图2所示,一棱镜的截面为直角三角形ABC,∠A=30o,斜边AB=a。
棱镜材料的折射率为
。
在此截面所在的平面内,一条光线以45o的入射角从AC边的中点M射入棱镜,求射出的点的位置(不考虑光线沿原来路返回的情况)。
解析
:
设入射角为i,折射角为r,由折射定律得
:
①
由已知条件及①式得:
②
如果入射光线在法线的右侧,光路图如图3所示。
设出射点为F,由几何关系可得:
③
即出射点在AB边上离A点
的位置。
如果入射光线在法线的左侧,光路图如图4所示。
设折射光线与AB的交点为D。
由几何关系可知,在D点的入射角:
④
设全发射的临界角为θc,则:
⑤
由⑤和已知条件得;
⑥
因此,光在D点全反射。
设此光线的出射点为E,由几何关系得:
∠DEB=
,
⑦
⑧
联立③⑦⑧式得:
⑨
即出射点在BC边上离B点
的位置。
变式:
梯形玻璃砖
三角形玻璃砖截去顶端一部分,就是梯形玻璃砖。
例3.(2008高考山东卷)图5表示两面平行玻璃砖的截面图,一束平行于CD边的单色光入射到AC界面上,a、b是其中的两条平行光线。
光线a在玻璃砖中的光路已给出。
画出光线b从玻璃砖中首次出射的光路图。
并标出出射光线与界面法线夹角的度数。
解析:
由光线a在玻璃AC界面上的折射情况可知玻璃砖的折射率为:
,则发生全反射的临界角为:
光线b与a平行,在玻璃AC界面上的折射角为300,再射到CD界面上,其入射角为750,发生全反射,射向BD界面上,其入射角为300,则折射角为450,光路如图6所示。
三、圆形玻璃砖
单色光入射到圆形(或圆弧)玻璃砖,其入射点的法线沿半径方向。
若入射光线沿半径方向,单色光在圆形玻璃砖中传播方向不变。
其截面按实心有整圆形、半圆形、四分之一圆形和六分之一圆形;截面按空心的有圆环形、半圆环形和四分之一圆环形。
1.整圆形
例4.(2008年高考四川卷)如图7所示,一束单色光射入一玻璃球体,入射角为60°。
己知光线在玻璃球内经一次反射后,再次折射回到空气中时与入射光线平行。
此玻璃的折射率为
A.
B.1.5 C.
D.2
解析:
由题意可知,单色光在玻璃内发生了全反射,如图8所示,为光线在玻璃球内的光路图,A、C为折射点,B为反射点,由于出射光线与入射光线平行,由图可知AB=BC,而OB为∠ABC的角平分线,所以OB与入射光线和出射光线平行,则∠AOB=1200,∠OAB=300,因此玻璃的折射率为
,故正确的选项为C
2.半圆形
例5.(2009年高考海南卷)如图9所示,一透明半圆柱体折射率为
,半径为R、长为L。
一平行光束从半圆柱体的矩形表面垂直射入,从部分柱面有光线射出。
求该部分柱面的面积S。
解析:
半圆柱体的横截面如图10所示,OO’为半圆的半径。
设从A点入射的光线在B点处恰好满足全反射条件,由折射定律有:
①
式中,θ为全反射临界角。
由几何关系得:
∠O’OB=θ ②
③
由①②③式代入数据可得:
。
3.四分之一圆形
例6.(2008年高考宁夏卷)一半径为R的1/4玻璃球体放置在水平桌面上,球体由折射率为
的透明材料制成。
现有一束位于过球心O的竖直平面内的光线,平行于桌面射到球体表面上,折射入球体后再从竖直表面射出,如图11所示。
已知入射光线与桌面的距离为
。
求出射角θ。
解析:
设入射光线与1/4球体的交点为C,连接OC,OC即为入射点的法线。
因此,图12中的角α为入射角。
过C点作球体水平表面的垂线,垂足为B。
依题意,∠COB=α。
又由△OBC知:
①
设光线在C点的折射角为β,由折射定律得:
②
由①②式得:
由几何关系知,光线在球体的竖直表面上的入射角γ(见图12)也为300。
由折射定律得:
。
因此,
,即
。
4.六分之一圆形
例7.(2011年高考山东卷)如图13所示,扇形AOB为透明柱状介质的横截面,圆心角∠AOB=600。
一束平行于角平分线OM的单色光由OA射入介质,经OA折射的光线恰平行于OB。
①求介质的折射率。
②折射光线中恰好射到M点的光线__________(填“能”或“不能”)发生全反射。
解析:
依题意作出光路图,如图14所示。
①由几何知识可知,入射角
,折射角
,根据折射定律得:
。
②发生全反射的临界角满足:
,即临界角
。
如图15所示,某一条光线经OA折射光线中恰好射到AB界面M点上,由几何关系可得,入射角θ=300,小于临界角C,故不能发生全反射。
5.圆环形
例8.用折射率为n的透明介质做成内外半径分别为a和b的空心球,如图16甲所示。
若一束平行光射向此球壳,经球壳外、内表面两次折射后,能进人空心球壳的人射的横截面积是多大?
解析:
根据对称性可知所求光束的截面应是一个圆面,要求出这个圆的半径,其关键在于正确作出符合题意的光路图。
如图16乙所示,设人射光线AB为所求光束的临界光线,作出其折射光线BE、AB人射角为i,经球壳外表面折射后的折射角为r,折射光线BE恰好在内表面E点发生全反射,即∠BEO’=C,在△OEB中,由正弦定理得:
又因为:
所以
,由几何关系得:
所以所求平行光束的横截面积为
。
6.半圆环形
例9.一个折射率为n,横截面为矩形、粗细均匀的玻璃棒,被弯成如图17所示的半圆形状,其半径为R,玻璃棒横截面宽为d,如果一束平行光垂直于玻璃棒水平端面A射入,并使之全部从水平端面B射出,则R与d的最小值比值为多少?
解析:
由图17可以看出,A端最内侧的边界光线入射角最小,因而必须保证此光线能发生全反射,即此光线的入射角等于或大于临界角,由图中几何关系可看出,此光线入射角的正弦值为:
,临界角公式为:
由全反射条件得:
。
解得:
。
则R与d的最小值比值为
。
7.四分这一圆环形
例10.(2010年高考山东卷)如图18所示,一段横截面为正方形的玻璃棒,中间部分弯成四分之一圆弧形状,一细束单色光由MN端面的中点垂直射入,恰好能在弧面EF上发和全反射,然后垂直PQ端面射出。
(1)求该玻璃的折射率。
(2)若将入射光向N端平移,当第一次射到弧面EF上时 (填“能”“不能”或“无法确定能否”)发生反射。
解析:
(1)如图19所示,单色光照射到EF弧面上时刚好发生全反射,由全反射的条件得:
C=45° ①
由折射定律得:
②
联立①②式得:
(2)若将入射光向N端平移,当第一次射到弧面EF上时,入射角增大,能发生全反射。
四.三角形与圆形的组合形
例11.(2009年全国高考卷Ⅱ)一玻璃砖横截面如图进20所示,其中ABC为直角三角形(AC边末画出),AB为直角边
ABC=45°;ADC为一圆弧,其圆心在BC边的中点。
此玻璃的折射率为1.5。
P为一贴近玻璃砖放置的、与AB垂直的光屏。
若一束宽度与AB边长度相等的平行光从AB边垂直射入玻璃砖,则
A.从BC边折射出一束宽度与BC边长度相等的平行光
B.屏上有一亮区,其宽度小于AB边的长度
C.屏上有一亮区,其宽度等于AC边的长度
D.当屏向远离玻璃砖的方向平行移动时,屏上亮区先逐渐变小然后逐渐变大
解析:
宽为AB的平行光进入到玻璃中直接射到BC面,入射角为450>临界角
,所以在BC面上发生全反射仍然以宽度大小为AB长度的竖直向下的平行光射到AC圆弧面上,如图21所示。
在AC圆弧面上不同的地方入射角不同,正中央的入射角为00,A、C两端的入射角为450,而只有入射角小于临界角C的光线才能从AC圆弧面上射出,则在屏上的亮区宽度小于AB的长度。
出射的光线先会聚再发散,当屏向远离玻璃砖的方向平行移动时,屏上亮区先逐渐变小然后逐渐变大。
故正确的选项为BD。
五、三角形与矩形相结合
例12.(2001年高考津晋卷)如图22所示,两块同样的玻璃直角三棱镜ABC,两者的AC面是平行放置的,在它们之间是均匀的未知透明介质。
一单色细光束O垂直于AB面入射,在图示的出射光线中
A.1、2、3(彼此平行)中的任一条都有可能
B.4、5、6(彼此平行)中的任一条都有可能
C.7、8、9(彼此平行)中的任一条都有可能
D.只能是4、6中的某一条
解析:
光线由左边三棱镜AB面射入棱镜,不改变方向;接着将穿过两三棱镜间的未知透明介质进入右边的三棱镜,由于透明介质的两表面是平行的,因此它的光学特性相当于一块平行的玻璃砖,能使光线发生平行侧移,只是因为它两边的介质不是真空,而是折射率未知的玻璃,因此是否侧移以及侧移的方向无法确定(若未知介质的折射率n与玻璃的折射率n玻相等,不侧移;若n>n玻时,向上侧移;若n<n玻时,向下侧移),但至少可以确定方向没变,仍然与棱镜的AB面垂直。
这样光线由右边三棱镜AB面射出棱镜时,不改变方向,应为4、5、6中的任意一条,故正确的选项为B。
六、半圆形玻璃砖与平面镜组合形
例13.(2011年高考全国新课标卷)一半圆柱形透明物体横截面如图23所示,地面AOB镀银,O表示半圆截面的圆心,一束光线在横截面内从M点入射,经过AB面反射后从N点射出。
已知光线在M点的入射角为30
,∠MOA=60
,∠NOB=30
。
求
(i)光线在M点的折射角
(ii)透明物体的折射率
解析:
(i)如图24所示,透明物体内部的光路为折线MPN,Q、M点相对于底面EF对称,Q、P和N三点共线。
设在M点处,光的入射角为i,折射角为r,∠OMQ=α,∠PNF=β。
根据题意有
α=30
①
由几何关系得,∠PNO=∠PQO=r,于是:
②
且:
③
由①②③式得:
r=15
④
(ii)根据折射率公式有:
⑤
由式得④⑤得:
解答有关几何光学问题,关键是首先要正确地画出光路图,建立起几何图形,然后利用几何知识和三角函数知识求出相应的角,再应用折射定律、临界角公式将所需要的求解出来。