核心素养提升练直线平面平行的判定及其性质.docx

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核心素养提升练直线平面平行的判定及其性质

核心素养提升练四十二

直线、平面平行的判定及其性质

（30分钟　60分）

一、选择题（每小题5分,共25分）

1.设α,β是两个不同的平面,l是直线且l⊂α,则“α∥β”是“l∥β”的

（　　）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由两平面平行的性质定理可知充分性满足,但必要性不满足.

2.（2017·全国卷Ⅰ）如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是

（　　）

【解析】选A.对于B,AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;对于C,AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;对于D,AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.A不满足.

3.设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是

（　　）

A.a∥b,b⊂α,则a∥α

B.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b

C.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥β

D.α∥β,a⊂α,则a∥β

【解析】选D.由于可能出现a⊂α,所以A错;两平面平行,要与第三平面相交,才能推出两交线平行,B选项不符,所以B错;可能出现α与β相交,所以C错;D中,两平面平行,则一平面中的任一直线与另一平面平行,因为α∥β,a⊂α,所以直线a与平面β无公共点,所以a∥β.

4.已知m,n是两条不同的直线,α是平面,则下列命题中是真命题的是

（　　）

A.若m∥α,m∥n,则n∥α

B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

C.若m∥α,m⊥n,则n∥α

D.若m⊥α,n⊥m,则n∥α

【解析】选B.对于选项A,有n⊂α的可能,故不是真命题;对于选项C,直线n也可以与平面α相交,不是真命题;对于选项D中的直线n,有n⊂α的可能,故不是真命题.

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F在CC1上,且CF=2FC1,点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点,且PB1∥平面DEF,则tan∠ABP的取值范围是

（　　）

A.

B.[0,1]

C.

D.

【解析】选D.在AA1上取点M,使得AM=

MA1,连接B1M,则B1M∥DF,取C1D1的中点为N,连接B1N,则B1N∥DE.因此平面B1MN∥平面DEF,过点N作NG∥DF交DD1于点G,连接MG,则B1,M,G,N四点共面.且DG=

DD1.因为PB1∥平面DEF.所以点P在线段MG上运动.当点P分别与点M,G重合时,tan∠ABP取最小值

和最大值

.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个命题:

①三棱锥A1-D1DP的体积不变;

②A1P∥平面ACD1;

③DP⊥BC1;

④平面A1PB⊥平面PDB1.

其中正确的命题的序号是____________. 

【解析】如图,

对于①,因为BC1∥平面A1DD1,所以点P到平面A1DD1的距离不变,所以三棱锥A1-D1DP的体积不变,①正确;

对于②,因为平面A1BC1∥平面ACD1,

所以A1P∥平面ACD1,②正确;

对于③,因为在同一平面内,过直线外一点与已知直线垂直的直线只有一条,所以DP⊥BC1不正确,③不正确;

对于④,因为B1D⊥平面A1BC1,B1D⊂平面PDB1,所以平面A1PB⊥平面PDB1,④正确.

故正确的命题为①②④.

答案:

①②④

7.（2018·青岛模拟）将一个真命题中的“平面”换成“直线”“直线”换成“平面”后仍是真命题,则该命题称为“可换命题”.给出下列四个命题:

①垂直于同一平面的两直线平行;②垂直于同一平面的两平面平行;③平行于同一直线的两直线平行;④平行于同一平面的两直线平行.其中是“可换命题”的是______.（填命题的序号） 

【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题,且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题,故①是“可换命题”;因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交,所以②是假命题,不是“可换命题”;由公理4可知③是真命题,且平行于同一平面的两平面平行也是真命题,故③是“可换命题”;因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,故④是假命题,故④不是“可换命题”.

答案:

①③

8.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,则AC的长为______cm. 

【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,

所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,

所以

=

=

因为AB=2cm,DE=4cm,EF=3cm,

所以

=

解得BC=

cm,

所以AC=AB+BC=2+

=

（cm）.

答案:

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.

求证:

MN∥平面BB1C1C.

【证明】如图,连接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为平行四边形.

又因为N为线段AC1的中点,

所以A1C与AC1相交于点N,

即A1C经过点N,且N为线段A1C的中点.

因为M为线段A1B的中点,所以MN∥BC.

又因为MN⊄平面BB1C1C,BC⊂平面BB1C1C,

所以MN∥平面BB1C1C.

10.如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′B′C′D′.

（1）要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?

（2）所画的线与平面ABCD是什么位置关系?

并证明你的结论.

【解析】

（1）过点P作B′C′的平行线,

交A′B′,C′D′于点E,F,

连接BE,CF;

作图如下:

（2）EF∥平面ABCD.理由如下:

易知BE,CF与平面ABCD相交,

因为BC∥平面A′B′C′D′,

又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′=B′C′,

所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC,

又因为EF⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,

所以EF∥平面ABCD.

（20分钟　40分）

1.（5分）设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面.则下列四个命题中,正确的是（　　）

A.若a,b与α所成的角相等,则a∥b

B.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥b

C.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β

D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b

【解析】选D.对于选项A,a,b不一定平行,也可能相交或异面;对于选项B,只需找个平面γ,使γ∥α∥β,且a⊂γ,b⊂γ即可满足题设,但a,b不一定平行;对于选项C,可参考直三棱柱模型排除.

2.（5分）如图,在正四棱锥S-ABCD中,点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:

①EP∥BD;②EP⊥AC;③EP⊥平面SAC;④EP∥平面SBD,其中恒成立的是（　　）

A.②④B.③④C.①②D.①③

【解析】选A.如图所示,

连接AC,BD相交于点O,连接EM,EN,SO,在①中:

当点P与M不重合时,EP与BD是异面直线,由异面直线的定义可知:

不可能EP∥BD,因此不正确.

在②中:

由正四棱锥S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC,

因为SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,

因为点E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,

所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,

BD∩SD=D,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP,故正确.

在③中:

由②同理可得:

EM⊥平面SAC,

若EP⊥平面SAC,则EP∥EM,与EP∩EM=E相矛盾,因此当P与M不重合时,EP与平面SAC不垂直,即不正确.

在④中:

由②可知平面EMN∥平面SBD,

所以EP∥平面SBD,因此正确.

3.（5分）

如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,E为边AB的中点,将

△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点,则在

△ADE翻转过程中,正确的命题是（　　）

①BM是定值;

②点M在圆上运动;

③一定存在某个位置,使DE⊥A1C;

④一定存在某个位置,使MB∥平面A1DE.

A.①②③B.①②④

C.②③④D.①③④

【解析】选B.取DC的中点N,连接MN,NB,则MN∥A1D,NB∥DE,所以平面MNB∥平面A1DE,因为MB⊂平面MNB,所以MB∥平面A1DE,④正确;∠A1DE=∠MNB,MN=

A1D为定值,NB=DE为定值,根据余弦定理得,MB2=MN2+NB2-2MN·NB·cos∠MNB,所以MB是定值.①正确;B是定点,所以M在以B为圆心,MB为半径的圆上,②正确;若DE⊥A1C,CE⊥ED,A1C∩CE=C,则DE⊥平面A1CE,所以DE⊥A1E,与DA1⊥A1E矛盾,所以③不正确;所以①②④正确.

4.（12分）如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设点D,E分别为PA,AC的中点.

（1）求证:

DE∥平面PBC.

（2）试问在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?

若存在,指出点F的位置并证明;若不存在,请说明理由.

【解析】

（1）因为点E是AC中点,点D是PA的中点,所以DE∥PC.

又因为DE⊄平面PBC,PC⊂平面PBC,

所以DE∥平面PBC.

（2）当点F是线段AB中点时,过点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行.

取AB中点F,连接EF,DF.

由

（1）可知DE∥平面PBC.

因为点E是AC的中点,点F是AB的中点,

所以EF∥BC.

又因为EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,

所以EF∥平面PBC.

又因为DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面PBC,

所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行.故当点F是线段AB中点时,过点D,E,F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行.

5.（13分）如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,点M,N分别是AB,PC的中点.

（1）求证:

MN∥平面PAD.

（2）在PB上确定一个点Q,使平面MNQ∥平面PAD.

【解析】

（1）如图,取PD的中点H,连接AH,NH,由点N是PC的中点,知NH∥DC,NH=

DC.

由点M是AB的中点,知AM∥DC,AM=

DC,

所以NH∥AM,NH=AM,即四边形AMNH是平行四边形.

所以MN∥AH.

又因为MN⊄平面PAD,AH⊂平面PAD,所以MN∥平面PAD.

（2）若平面MNQ∥平面PAD,则应有MQ∥PA,

因为点M是AB中点,所以点Q是PB的中点.