第六章 代数系统.docx
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第六章代数系统
第六章代数系统
1、填空题:
f就是X上的n元运算的定义就是（）。
2、判断正误,并说明原因:
自然数集合N上的减法运算“－”就是个封闭的运算。
3、判断正误,并说明原因:
实数集合R上的除法运算“÷”就是个封闭的运算。
4、填空题:
代数系统的定义就是:
（）。
5、填空题:
*就是X上的二元运算,*具有交换性,则它的运算表的特征就是（）。
6、填空题:
*就是X上的二元运算,*具有幂等性,则它的运算表的特征就是（）。
7、简答题:
*就是X上的二元运算,*具有幺元,如何在它的运算表上判定哪个元素就是幺元？
8、简答题:
*就是X上的二元运算,*具有零元,如何在它的运算表上判定哪个元素就是零元？
9、简答题:
*就是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素就是元素x的逆元？
10令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4:
任何x,y∈N4,x+4y=（x+y）（mod4）。
例如2+43=（2+3）（mod4）=5（mod4）＝1
请列出的运算表。
然后判断+4运算就是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素就是否有逆元？
如果有上述这些元素,请指出这些元素都就是什么。
11、判断正误,并说明原因:
对于整集合I上的减法运算“－”来说,0就是幺元。
12、填空题:
E就是全集,E={a,b},E的幂集P（E）上的交运算⋂的幺元就是（）。
零元就是（）。
有逆元的元素就是（）,它们的逆元分别就是（）。
13、填空题:
E就是全集,E={a,b},E的幂集P（E）上的并运算⋃的幺元就是（）。
零元就是（）。
有逆元的元素就是（）,它们的逆元分别就是（）。
14、填空题:
E就是全集,E={a,b},E的幂集P（E）上的对称差运算⊕的幺元就是（）。
零元就是（）。
有逆元的元素就是（）。
它们的逆元分别就是（）。
15、填空题:
对于自然数集合N上的加法运算“＋”,13＝（）。
16、填空题:
您所知道的满足吸收律的运算有（）。
17、填空题:
您所知道的具有零元的运算有（）,其零元就是（）。
18、设★就是X上的二元运算,如果有左幺元eL∈X,也有右幺元eR∈X,则eL=eR=e,且幺元e就是唯一的。
19、设★就是X上的二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR=θ,且零元θ就是唯一的。
20、设★就是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果x∈X,x的左、右逆元都存在,则x的左、右逆元必相等。
且x的逆元就是唯一的。
21、设★就是X上且可结合的二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a就是可消去的,即
任取x,y∈X,设有a★x=a★y则x=y。
22、对于实数集合R,给出运算如下:
＋就是加法、—就是减法、∙就是乘法、max就是两个数中取最大的、min就是两个数中取最小的、|x-y|就是x与y差的绝对值。
判断这些运算就是否满足表中所列的性质。
如果满足就写“Y”,否则写“N”。
＋
－
∙
max
min
|x-y|
可结合性
可交换性
存在幺元
存在零元
23、设R就是实数集合,在R上定义二元运算*如下:
任取x,y∈R,
x*y=xy－2x－2y＋6
1.验证运算*就是否满足交换律与结合律。
2.求运算*就是否有幺元与零元,如果有请求出幺元与零元。
3.对任何实数x,就是否有逆元？
如果有,求它的逆元,如果没有,说明原因。
24、设★就是X上有幺元e且可结合的二元运算,求证如果∀x∈X,都存在左逆元,则x的左逆元也就是它的右逆元。
25、、给定下面4个运算表如下所示。
分别判断这些运算的性质,并用“Y”表示“有”,用“N”表示“无”填下面表。
如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素,要指出这些元素就是什么。
交换性
幂等元
幂等性
有幺元
有零元
有可逆元素
a）
b）
c）
d）
26、分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？
27、什么叫做同态核？
28、请举同构的两个代数系统的例子,并说明它们同构的理由。
29、给出集合A＝{0,1,2,3}与A上的二元运算“*”。
集合B＝{S,R,A,L}与B上的二元运算“”。
它们的运算表如下面所示。
验证与同构。
30令S={|X就是集合,*就是X上的二元运算},即S就是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。
≅就是S中的代数系统间的同构关系。
求证,≅就是S中的等价关系。
31、令A={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…},+表示加法,*表示乘法,问与就是否同构？
为什么？
32已知代数系统与,其中S={a,b,c}P={1,2,3}二元运算表如下所示:
abc
a
b
c
abc
bbc
cbc
·
123
1
2
3
121
122
123
*
试证明它们同构。
33给定两个代数系统,:
R+就是正实数,×就是R+上的乘法运算;:
R就是实数集合,＋就是R上的加法运算。
它们就是否同构？
对您的回答给予证明或者举反例说明之。
34、已知代数系统与同构,即X≅Y。
并设f:
X→Y就是同构映射,请证明如果运算★可结合,则运算ο也可结合。
35、已知代数系统与同构,即X≅Y。
并设f:
X→Y就是同构映射,请证明如果运算★可交换,则运算ο也可交换。
36、已知代数系统与同构,即X≅Y。
并设f:
X→Y就是同构映射,请证明如果运算★有幺元e★,则运算ο也有幺元eο,且f（e★）=eο。
37、已知代数系统与同构,即X≅Y。
并设f:
X→Y就是同构映射,请证明如果运算★有零元θ★,则运算ο也有零元θο,且f（θ★）=θο。
38已知代数系统与同构,即X≅Y。
并设f:
X→Y就是同构映射,请证明如果中每个x∈X可逆,即x-1∈X,则中每个y∈Y也可逆,即y-1∈Y。
且如果y=f（x）,则y-1=（f（x））-1=f（x-1）。
（x映像的逆元=x逆元的映像）
39集合A上两个同余关系R、S,证明R∩S也就是同余关系、
40、考察代数系统,定义I上如下关系R就是同余关系？
a）、∈R当且仅当（x<0∧y<0）∨（x≥0∧y≥0）
b）、∈R当且仅当|x-y|<10
c）、∈R当且仅当（x=y=0）∨（x≠0∧y≠0）
d）、∈R当且仅当x≥y
41、填空:
★就是A上二元运算,代数就是半群,当且仅当（）。
42、填空:
★就是A上二元运算,代数就是独异点,当且仅当（）。
43列举出5个您所熟悉的就是半群的例子。
44、列举出5个您所熟悉的就是独异点的例子。
45列举出1个您所熟悉的就是半群但不就是独异点的例子。
46、给定代数系统,★就是实数R上二元运算,定义为:
∀a,b∈R,
a★b=a+b+a·b
求证就是独异点。
47、就是个半群,∀a,b∈A,若a≠b则a★b≠b★a,试证:
a）∀a∈A,有a★a=a
b）∀a,b∈A,a★b★a=a
c）∀a,b,c∈A,a★b★c=a★c
48、设就是个半群,且左右消去律都成立,证明S就是交换半群的充要条件就是对任何
a,b∈S,有（a*b）2=a2*b2
49、设就是半群,如果S就是有限集合,则必存在a∈S,使得a★a=a。
50、设A就是有理数集合,在笛卡尔积A×A上,定义二元运算△如下:
任取,∈A×A△=其中:
⨯就是乘法。
+就是加法。
求证就是独异点。
51、、设就是交换独异点,A就是M中所有幂等元构成的集合,证明就是的子独异点。
52、令I:
就是整数集合;N:
自然数集合,R:
实数集合。
＋就是加法运算,×就是乘法运算。
给定代数系统,,,,,,,。
请问哪些代数系统不就是群？
只要说明一条理由即可。
又问哪些代数系统就是群？
并说明理由。
53、X=R－{0,1},X上定义六个函数,如下所示:
∀x∈X,
f1（x）=xf2（x）=x-1f3（x）=1-x
f4（x）=（1-x）-1f5（x）=（x-1）x-1f6（x）=x（x-1）-1
令F={f1,f2,f3,f4,f5,f6},ο就是F上的复合运算,试证明就是群。
54、令R就是实数,F={f|f（x）=ax+b,a,b,x∈R,a≠o},ο就是F上的函数左复合运算,试证明就是群。
55、设就是半群,e就是左幺元,且对每个x∈A,∃x’∈A,使得x’★x=e,
a）证明,∀a,b,c∈A,若a★b=a★c,则b=c。
b）证明就是群。
56、、设就是群,且|A|=2n,n就是正整数,证明A中至少存在一个元素a,使得a*a=e。
57、填空:
令就是群,其中G={a,b,c},设a就是幺元,则b2=（）,b*c=（）,b与c的阶分别就是（）与（）。
58、A就是非空的有限集合,且|A|＝n。
令
F＝｛f|f就是A→A的双射函数｝
1.求|F|等于多少？
2.令*就是函数的左复合运算。
问就是群不？
如果就是,给予证明。
如果不就是,要说明理由。
59、设就是4阶群,其中G＝{a,b,c,d},已知a就是幺元,b与c互为逆元。
首先计算c*d（要有计算过程）,再分别求元素b与d的阶。
60、设就是4阶群,其中G＝{a,b,c,d},已知a就是幺元,且所有元素的逆元都就是它自身。
求满足方程式b*x=c*d中的x。
61、判断下列各命题的真值,并说明理由。
1.就是个n阶群,则对于任何a,b∈G,有（a*b）-n=（b*a）n。
2.设f就是群到群的满同态映射,则对任何a,b∈G,有f（b*a-1）=（f（a*b-1））-1。
62、设就是个群,证明G中除幺元外,无其它幂等元。
63、设就是个群,则对任何a,b∈G,证明存在唯一元素x∈G,使得a★x=b。
64、就是个群,对任何a,b∈G,证明（a★b）-1=b-1★a-1。
65、就是个有限群,证明G中每个元素在★运算表中的每一行必出现且仅出现一次。
66、填空:
就是个n阶群,则★运算表有（）特征。
67、什么叫做群的阶？
68、什么叫做群中运算的阶？
69指出整数集合加法群中,各个元素的阶就是什么？
为什么？
70、就是群,a∈G,如果a的阶为n,证明ak=e,当且仅当k=mn（m∈I）（即k就是n的整数倍）
71、证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。
72、设就是有限群,任何a∈G,证明a的阶都就是有限的。
73、设就是群,而a∈G,f:
G→G就是映射,
对∀x∈G,f（x）=a★x★a-1求证f就是G到G的自同构。
74、设就是个群,而a∈G,如果f就是从G到G的映射,使得对任何x∈G,都有
f（x）=a-1*x*a
试证明f就是从G到G的自同构、
75、设与都就是群,在A与B的笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下:
任取,∈A×B△=
求证也就是群。
76、设与都就是群,在A与B的笛卡尔积A×B上,定义二元运算△如下:
任取,∈A×B△=
已知也就是群。
定义映射f:
A×B→A,对任意∈A×B,
f（）=a
求证f就是到的同态映射,并求出f的同态核。
77、令G＝{2m3n|m,n∈Q,Q就是有理数},“•”就是G中乘法运算。
1.证明就是个群。
2.给定映射f:
G→G,f定义为f:
2m3n→2m,证明f就是G到G的同态映射;并求出f的同态核。
78、给出两个群与的运算表如下:
证明它们同构。
p1p2p3p4
p1p1p2p3p4
p2p2p1p4p3
p3p3p4p1p2
p4p4p3p2p1
★
q1q2q3q4
q1q3q4q1q2
q2q4q3q2q1
q3q1q2q3q4
q4q2q1q4q3
79、判断下面命题的真值。
并简单说明原因。
1.R为实数集合,×为乘法运算,则就是个交换群。
2.设就是n阶群,则对任何a,b∈G,有a-n=bn。
3.设就是群,且对G中任何元素的逆元都就是它自身,则它就是交换群。
80、就是交换群,当且仅当对任何a,b∈G有
（a★b）★（a★b）=（a★a）★（b★b）（即（a★b）2=a2★b2）
81、令G={km|k∈Z},m就是某个确定的自然数,Z就是整数集合,＋就是加法运算。
证明就是交换群。
82、设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:
对于任何a,b∈Ia*b=a＋b－2
求证就是个交换群、
83、已知就是交换群,a∈G,在G上又定义一个二元运算“∙”如下:
对于任何x,y∈G,x∙y=x*a-1*y（其中a-1就是a对于*运算的逆元）
求证也就是交换群。
84、令G就是所有非0实数构成的集合,在G上定义二元运算*如下:
任何a,b∈G,a*b
。
求证就是个交换群。
85、设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:
对于任何a,b∈Ia*b=a＋b－4
求证就是个交换群。
86设就是群,∀x∈G,有x★x=e,证明就是交换群。
87、证明任何阶数为1,2,3,4的群都就是交换群,并举一个6阶群,它不就是交换群。
88、给定集合Ｇ＝{x|x就是有理数且x≠－1},在Ｇ上定义二元运算*如下:
对任何a,b∈Ｇ,a*b=a+b+ab。
求证<Ｇ,*>就是交换群。
89、设就是群,∀a,b∈G,有a3★b3=（a★b）3,a4★b4=（a★b）4,a5★b5=（a★b）5,证明就是交换群。
90、什么叫做循环群？
什么叫做循环群的生成元？
什么叫做循环群的循环周期？
91、证明循环群都就是交换群。
92、给定群其中N4={0,1,2,3},+4就是以4为模的加法运算。
就是循环群不？
为什么？
如果就是循环群请指出它的循环周期。
93、给定群,它就是循环群不？
为什么？
如果就是循环群请指出它的循环周期。
94、填空:
设就是个以g为生成元的有限循环群,|G|=n,则G=（）。
95、令I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:
对于I中任何a元素,
a*b=a＋b－2
求证就是个循环群
96、设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:
对于任何a,b∈Ia*b=a－1＋b
求证就是个循环群、
97、设G={1,2,3,4,5,6},×7就是7为模的乘法运算,即
x,y∈G,x×7y=（xy）（mod7）,例如4×75＝20（mod7）=6
就是循环群不？
如就是,指出生成元。
98、循环群的任何子群都就是循环群。
99、填空题:
设就是以g为生成元的n阶循环群,则元素g的阶为（）。
100判断题下面命题的真值:
循环群的生成元也就是其任何子群的生成元。
101、什么叫做子群？
102名词解释:
平凡子群与真子群
103、设就是群,B就是G的有限子集,如果★在B上满足封闭性,则就是的子群。
104、填空:
设就是群的子群,a∈G,定义集合:
aH=（）
则称aH为a确定的H在G中的左（右）陪集。
105设H3={0,2,4},就是以6为模的加法运算。
验证就是的子群。
并分别求左陪集1H3与2H3。
106、设N6={0,1,2,3,4,5},＋6就是N6上以6为模的加法运算。
即
任何x,y∈N6,x＋6y=（x+y）（mod6）,例如4＋65＝9（mod6）=3
1.画出的运算表。
2.就是否为群？
为什么？
3.如果就是群,它有几个子群？
分别列出子群的运算表。
107、设就是群、∀a∈G,令H={y|y★a=a★y,y∈G}
求证,就是的子群。
108、设就是个群,R就是G中等价关系,定义为:
对于任何a,b,c∈G,
如果有∈R,则∈R、又定义集合H为
H＝{x|x∈G,且∈R,e就是G中幺元}
求证就是的子群。
109、设就是的子群,定义集合A如下:
A={x|x∈G,x★H★x-1=H}
求证就是的子群、
110p就是个质数,证明pm阶群中必包含着一个p阶子群、
111、证明25阶群必含有5阶子群。
112、p就是个素数,就是个p阶循环群,则G中有多少个生成元？
为什么？
113就是群的子群,任取a,b∈G,则aH=bH的充分且必要条件就是（）
114、设就是个群,且|G|=11,任取a,b∈G,且a,b不就是幺元,设a,b的阶分别就是m与n,令A={a1,a2,…am},B={b1,b2,…bn}。
试问A、B以及G三者有什么关系？
为什么？
115就是群,定义G上关系R如下;
R={|∃z∈G,使得y=z★x★z-1}
116设就是个群,与就是其子群,在G上定义关系R为:
任意a,b∈G,aRb⇔存在h∈H,k∈K使得b=h*a*k
证明R就是G上等价关系、
117、设就是群的子群,R就是G上关系,定义如下:
aRb当且仅当a-1*b∈H,a,b∈G
1.求证R就是G上等价关系、
2.e就是G中幺元,由e确定的相对R的等价类[e],求证[e]=H。
118、设f与g都就是群到的同态,证明就是的一个子群,其中
C={x|x∈G1且f（x）=g（x）}
119、设f就是从群到的同态映射,则f为入射,当且仅当Ker（f）={e1},其中e1就是G1中的幺元。
120、、G就是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群。
121设就是群,S就是G的非空子集,如果任何a,b∈S有a★b-1∈S,则就是的子群。
122已知与就是群的子群,求证就是、与的子群。
123设就是个群,与就是其子群,且已知|H|＝6,|K|＝35,试求H⋂K。
并对您的回答说明原因。
124、设就是群的子群,且H⊂G,|G|=15,则就是交换群。
此说法正确否？
为什么？
125、填空:
设就是个群,且已知|G|＝n,如果元素a∈G,a的阶为m,则m与n的关系就是（）
126、填空:
设f就是从群到的同态映射,x1,x2∈X,且y1＝f（x1）,y2＝f（x2）,
则f（（x1-1★x2）-1）=（）。
127、设f就是从群到的同态映射,K为f的同态核,即ker（f）=K。
求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f（x）=f（y）。
128、填空:
代数系统就是个环,当且仅当就是个（）,就是个（）,并且还满足条件（）。
129、填空:
代数系统就是个交换环,当且仅当就是个（）,就是个（）,并且还满足条件（）。
130、填空:
代数系统就是个含幺环,当且仅当就是个（）,就是个（）,并且还满足条件（）。
131填空:
代数系统就是个整环,当且仅当就是个（）,就是个（）,并且还满足条件（）与（）。
132填空:
代数系统就是个域,当且仅当（）就是个交换群,（）就是个交换群,并且还满足条件（）。
133填空:
代数系统就是个域,当且仅当就是（）,就是（）,并且还满足条件（）。
134、令N就是自然数集合,I就是整数集合,R就是实数集合,+与·分别就是加法与乘法,,,中哪些不就是环不？
为什么？
如果就是环,那些不就是整环？
为什么？
哪些不就是域？
为什么？
135、判断,,就是否为环？
为什么？
136、试证就是有幺元的交换环,其中⊕与ο的
定义为:
对任何a,b∈I,
a⊕b=a+b-1aοb=a+b-ab
137、、设就是一个环,并且对于任何a∈A,有a∙a=a,证明
a）、对于任何a∈A,都有a+a=θ,其中θ就是+的幺元、
b）、就是一个交换环、
138、下面的说法就是否正确？
说明理由
、设就是个域,对任何a,b∈F,如果a*
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