第六章 代数系统.docx

1、第六章 代数系统第六章 代数系统1、 填空题:f就是X上的n元运算的定义就是( )。2、 判断正误,并说明原因:自然数集合N上的减法运算“” 就是个封闭的运算。3、 判断正误,并说明原因:实数集合R上的除法运算“” 就是个封闭的运算。4、填空题:代数系统的定义就是:( )。5、 填空题:*就是X上的二元运算,*具有交换性,则它的运算表的特征就是( )。6、填空题:*就是X上的二元运算,*具有幂等性,则它的运算表的特征就是( )。7、 简答题:*就是X上的二元运算,*具有幺元,如何在它的运算表上判定哪个元素就是幺元？8、 简答题:*就是X上的二元运算,*具有零元,如何在它的运算表上判定哪个元素就

2、是零元？9、 简答题:*就是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素就是元素x的逆元？10 令N4=0,1,2,3,N4上定义运算+4:任何x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。 例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)1请列出的运算表。然后判断+4 运算就是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素就是否有逆元？如果有上述这些元素,请指出这些元素都就是什么。11、 判断正误,并说明原因:对于整集合I上的减法运算“”来说, 0就是幺元。12、 填空题:E就是全集,E=a,b,E的幂集P(E)上的交运算的幺元就是( )。零元就是( )。有逆元的元素就是( ),它

3、们的逆元分别就是( )。13、 填空题:E就是全集,E=a,b,E的幂集P(E)上的并运算的幺元就是( )。零元就是( )。有逆元的元素就是( ),它们的逆元分别就是( )。14、 填空题:E就是全集,E=a,b,E的幂集P(E)上的对称差运算的幺元就是( )。零元就是( )。有逆元的元素就是( )。它们的逆元分别就是( )。15、 填空题:对于自然数集合N上的加法运算“”,13( )。16、 填空题:您所知道的满足吸收律的运算有( )。17、 填空题:您所知道的具有零元的运算有( ),其零元就是( )。18、 设就是X上的二元运算,如果有左幺元 eLX,也有右幺元 eRX,则 eL= eR

4、=e ,且幺元 e 就是唯一的。19、 设就是X上的二元运算,如果有左零元LX,也有右零元RX,则L=R =,且零元就是唯一的。20、 设就是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果 xX,x的左、右逆元都存在,则x的左、右逆元必相等。且x的逆元就是唯一的。21、 设就是X上且可结合的二元运算,如aX,且a-1X,则a就是可消去的,即任取x,yX,设有ax=ay 则x=y。22、 对于实数集合R,给出运算如下:就是加法、就是减法、就是乘法、max就是两个数中取最大的、min就是两个数中取最小的、|x-y|就是x与y差的绝对值。判断这些运算就是否满足表中所列的性质。如果满足就写“Y”,否则写“N”。

5、maxmin|x-y|可结合性可交换性存在幺元存在零元23、 设R就是实数集合,在R上定义二元运算* 如下:任取x,yR,x*y=xy2x2y61.验证运算* 就是否满足交换律与结合律。2.求运算*就是否有幺元与零元,如果有请求出幺元与零元。3.对任何实数x,就是否有逆元？如果有,求它的逆元,如果没有,说明原因。24、设就是X上有幺元e且可结合的二元运算,求证如果xX,都存在左逆元,则x的左逆元也就是它的右逆元。25、 、给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质,并用“Y”表示“有”,用“N”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素,要指出这些元素就是什么。交

6、换性幂等元幂等性有幺元有零元有可逆元素a)b)c)d)26、 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？27、 什么叫做同态核？28、请举同构的两个代数系统的例子,并说明它们同构的理由。29、 给出集合A0,1,2,3与A上的二元运算“*”。集合BS,R,A,L与B上的二元运算“ ”。 它们的运算表如下面所示。验证与同构。30令S=|X就是集合,*就是X上的二元运算,即S就是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。就是S中的代数系统间的同构关系。求证,就是S中的等价关系。31、 令A=0,1,2,3,4,B=1,2,4,8,16,+表示加法,*表示乘法, 问与就是否同

7、构？为什么？32 已知代数系统与,其中S=a,b,c P=1,2,3 二元运算表如下所示:a b cabca b cb b c c b c 1 2 31231 2 11 2 21 2 3*试证明它们同构。33给定两个代数系统,:R+就是正实数,就是R+上的乘法运算;: R就是实数集合,就是R上的加法运算。它们就是否同构？对您的回答给予证明或者举反例说明之。34、 已知代数系统与同构,即 X Y。并设f:XY就是同构映射, 请证明如果运算可结合,则运算也可结合。35、 已知代数系统与同构,即 X Y。并设f:XY就是同构映射, 请证明如果运算可交换,则运算也可交换。36、 已知代数系统与同构,即

8、 X Y。并设f:XY就是同构映射, 请证明如果运算有幺元e ,则运算也有幺元e ,且f(e )= e 。37、 已知代数系统与同构,即 X Y。并设f:XY就是同构映射, 请证明如果运算有零元 ,则运算也有零元 ,且f()= 。38 已知代数系统与同构,即 X Y。并设f:XY就是同构映射, 请证明如果中每个xX可逆,即x-1X, 则中每个yY也可逆,即y-1Y。 且如果y=f(x) ,则 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。(x映像的逆元=x逆元的映像)39集合A上两个同余关系R、S, 证明RS也就是同余关系、40、 考察代数系统,定义I上如下关系R就是同余关系？a)、R当且仅当(x

9、0y0)(x0y0)b)、 R当且仅当|x-y|10c)、 R当且仅当(x=y=0)(x0y0)d)、 R当且仅当xy41、 填空:就是A上二元运算,代数就是半群,当且仅当( )。42、 填空:就是A上二元运算,代数就是独异点,当且仅当( )。43 列举出5个您所熟悉的就是半群的例子。44、 列举出5个您所熟悉的就是独异点的例子。45 列举出1个您所熟悉的就是半群但不就是独异点的例子。46、 给定代数系统 ,就是实数R上二元运算,定义为:a,bR,a b=a+b+ab求证 就是独异点。47、 就是个半群,a,bA,若ab则 abba,试证:a) aA,有aa=ab) a,bA, aba=ac)

10、 a,b,cA, abc=ac48、 设就是个半群,且左右消去律都成立,证明S就是交换半群的充要条件就是对任何a,bS,有 (a*b)2=a2*b249、 设就是半群,如果S就是有限集合,则必存在aS,使得aa=a。50、 设A就是有理数集合,在笛卡尔积AA上,定义二元运算如下:任取,AA = 其中:就是乘法。+就是加法。求证就是独异点。51、设就是交换独异点,A就是M中所有幂等元构成的集合,证明就是的子独异点。52、令I:就是整数集合;N:自然数集合,R:实数集合。就是加法运算,就是乘法运算。给定代数系统, ,。请问哪些代数系统不就是群？只要说明一条理由即可。又问哪些代数系统就是群？并说明理

11、由。53、 X=R0,1, X上定义六个函数,如下所示:xX,f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1令F=f1,f2, f3, f4, f5, f6, 就是F上的复合运算,试证明就是群。54、 令R就是实数,F=f| f(x)=ax+b,a,b,xR,ao , 就是F上的函数左复合运算,试证明就是群。55、 设就是半群,e 就是左幺元,且对每个xA, xA,使得xx=e, a) 证明, a,b,cA,若 ab=ac, 则 b=c。b) 证明就是群。56、 、设就是群,且|A|=2n, n

12、就是正整数,证明A中至少存在一个元素a,使得a*a=e。57、 填空:令就是群,其中G=a,b,c,设a就是幺元,则b2=( ),b*c=( ),b与c的阶分别就是( )与( ) 。58、 A就是非空的有限集合,且|A|n 。 令Ff| f就是AA的双射函数1.求 |F| 等于多少？2.令 * 就是函数的左复合运算。问就是群不？如果就是,给予证明。如果不就是,要说明理由。59、 设就是4阶群,其中Ga,b,c,d,已知a就是幺元,b与c互为逆元。首先计算c*d (要有计算过程),再分别求元素b与d的阶。60、 设就是4阶群,其中Ga,b,c,d,已知a就是幺元,且所有元素的逆元都就是它自身。求

13、满足方程式b*x=c*d 中的x 。61、 判断下列各命题的真值,并说明理由。1.就是个n阶群,则对于任何a,bG,有 (a*b)-n=(b*a)n。2.设f就是群到群的满同态映射,则对任何a,bG,有f(b*a-1)=(f(a*b-1)-1。 62、 设就是个群 ,证明G中除幺元外,无其它幂等元。63、 设就是个群,则对任何a,bG, 证明存在唯一元素 xG, 使得 ax=b 。64、 就是个群,对任何a,bG,证明 (ab)-1=b-1a-1 。65、 就是个有限群,证明G中每个元素在运算表中的每一行必出现且仅出现一次。66、 填空:就是个n阶群,则运算表有( )特征。67、 什么叫做群的

14、阶？68、 什么叫做群中运算的阶？69 指出整数集合加法群中,各个元素的阶就是什么？为什么？70、 就是群, aG, 如果a的阶为n ,证明ak=e, 当且仅当 k=mn (mI)(即k就是n的整数倍)71、 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。72、设就是有限群,任何aG,证明a的阶都就是有限的。73、 设就是群,而aG, f:GG就是映射, 对xG, f(x)=axa-1 求证 f就是G到G的自同构。74、 设就是个群,而aG,如果f就是从G到G的映射,使得对任何xG, 都有f(x)=a-1*x*a试证明f就是从G到G的自同构、75、 设与都就是群,在A与B的笛卡尔积AB上,定义二元运算如

15、下:任取,AB =求证也就是群。76、 设与都就是群,在A与B的笛卡尔积AB上,定义二元运算如下:任取,AB =已知也就是群。定义映射f: ABA ,对任意AB,f()=a求证f就是到 的同态映射,并求出f的同态核。77、 令G2m3n|m,nQ,Q就是有理数,“”就是G中乘法运算。1.证明就是个群。2.给定映射f:G G,f定义为f:2m3n2m,证明f就是G到G的同态映射;并求出f的同态核。78、 给出两个群与的运算表如下:证明它们同构。p1 p2 p3 p4p1 p1 p2 p3 p4p2 p2 p1 p4 p3p3 p3 p4 p1 p2p4 p4 p3 p2 p1q1 q2 q3 q

16、4q1 q3 q4 q1 q2q2 q4 q3 q2 q1q3 q1 q2 q3 q4q4 q2 q1 q4 q3 79、 判断下面命题的真值。并简单说明原因。1.R为实数集合,为乘法运算,则就是个交换群。2.设就是n阶群,则对任何a,bG,有a-n=bn。3.设就是群,且对G中任何元素的逆元都就是它自身,则它就是交换群。80、 就是交换群,当且仅当 对任何a,bG 有 (ab)(ab)=(aa)(bb) ( 即(ab)2=a2b2 )81、令G=km|kZ,m就是某个确定的自然数,Z就是整数集合,就是加法运算。证明 就是交换群。82、 设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:对于任何a,

17、bI a*b=ab2 求证就是个交换群、83、 已知就是交换群,aG,在G上又定义一个二元运算“”如下:对于任何x,yG,xy=x*a-1*y (其中a-1就是a对于*运算的逆元)求证也就是交换群。84、 令G就是所有非0实数构成的集合,在G上定义二元运算*如下:任何a,bG, a*b。求证就是个交换群。85、 设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:对于任何a,bI a*b=ab4 求证就是个交换群。86 设就是群,xG,有xx=e,证明就是交换群 。 87、 证明任何阶数为1,2,3,4的群都就是交换群,并举一个6阶群,它不就是交换群。88、 给定集合x|x就是有理数且x1,在上定义二

18、元运算*如下:对任何a,b,a*b=a + b + ab。求证就是交换群。89、 设就是群,a,bG,有a3b3=(ab) 3, a4b4=(ab) 4, a5b5=(ab) 5,证明就是交换群 。90、 什么叫做循环群？什么叫做循环群的生成元？什么叫做循环群的循环周期？91、证明循环群都就是交换群。92、给定群 其中N4 =0,1,2,3,+4就是以4为模的加法运算。就是循环群不？为什么？如果就是循环群请指出它的循环周期。93、 给定群,它就是循环群不？为什么？如果就是循环群请指出它的循环周期。94、填空:设就是个以g为生成元的有限循环群,|G|=n,则G=( )。95、 令I就是整数集合,

19、在I上定义二元运算*如下:对于I中任何a元素,a*b=ab2求证就是个循环群96、 设I就是整数集合,在I上定义二元运算*如下:对于任何a,bI a*b=a1b 求证就是个循环群、97、 设G=1,2,3,4,5,6, 7就是7为模的乘法运算,即x,yG,x7y=(xy)(mod 7), 例如47520(mod 7)=6就是循环群不？如就是,指出生成元。98、 循环群的任何子群都就是循环群。99、 填空题:设就是以g为生成元的n阶循环群,则元素g的阶为( )。100 判断题下面命题的真值:循环群的生成元也就是其任何子群的生成元。101、 什么叫做子群？102 名词解释:平凡子群与真子群103、

20、设就是群, B就是G的有限子集,如果在B上满足封闭性,则就是的子群。104、填空:设就是群的子群,aG,定义集合:aH=( )则称aH为a确定的H在G中的左(右)陪集。105设 H3=0,2,4,就是以6为模的加法运算。验证就是的子群。并分别求左陪集1H3与2H3。106、设N6=0,1,2,3,4,5,6就是N6上以6为模的加法运算。即任何x,y N6,x6 y=(x+y)(mod 6), 例如46 59(mod 6)=31.画出的运算表。2.就是否为群？为什么？3.如果就是群,它有几个子群？分别列出子群的运算表。107、 设就是群、 aG, 令 H=y| ya=ay, yG 求证, 就是的

21、子群。108、 设就是个群, R就是G中等价关系,定义为:对于任何a,b,cG,如果有R, 则R、 又定义集合H为Hx| xG, 且R, e就是G中幺元求证就是的子群。109、 设就是的子群, 定义集合A如下:A=x| xG, xHx-1=H 求证就是的子群 、 110 p就是个质数, 证明pm阶群中必包含着一个p阶子群、111、证明25阶群必含有5阶子群。112、 p就是个素数,就是个p阶循环群,则G中有多少个生成元？为什么？113 就是群的子群,任取a,bG,则aH=bH的充分且必要条件就是( )114、 设就是个群,且|G|=11,任取a,bG,且a,b不就是幺元,设a,b的阶分别就是m

22、与n, 令A=a1,a2,am,B=b1,b2,bn。试问A、B以及G三者有什么关系？为什么？115 就是群,定义G上关系R如下;R= | zG,使得 y=zxz-1 116设就是个群,与就是其子群, 在G上定义关系R为:任意a,bG, aRb存在hH, kK 使得b=h*a*k证明R就是G上等价关系、117、 设 就是群的子群, R就是G上关系, 定义如下:aRb 当且仅当 a-1*bH, a,bG1.求证R就是G上等价关系、2.e就是G中幺元,由e确定的相对R的等价类e,求证e=H。118、 设f与g都就是群到的同态,证明就是的一个子群,其中C=x| xG1且f(x)=g(x)119、 设

23、f就是从群到的同态映射, 则f为入射,当且仅当Ker (f)=e1, 其中e1就是G1中的幺元。120、 、G就是个6阶群,证明G中一定有且只有一个3阶子群。121 设就是群, S就是G的非空子集,如果任何a,bS 有ab-1S, 则就是的子群。122已知与 就是群 的子群,求证 就是、与的子群。123 设就是个群,与就是其子群,且已知|H|6,|K|35,试求HK。并对您的回答说明原因。124、 设就是群的子群,且HG,|G|=15,则就是交换群。此说法正确否？为什么？125、 填空: 设就是个群,且已知|G|n,如果元素aG,a的阶为m,则m与n的关系就是( )126、 填空:设f就是从群

24、到的同态映射, x1 ,x2X,且y1f(x1) ,y2f(x2),则f(x1-1 x2) -1) =( )。127、 设f就是从群到的同态映射,K为f的同态核,即ker(f)=K。求证,对任何X中元素x,y,如果x与y在K的同一个陪集中,则有f(x)=f(y)。128、 填空:代数系统就是个环,当且仅当 就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )。129、 填空:代数系统就是个交换环,当且仅当 就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )。130、 填空:代数系统就是个含幺环,当且仅当 就是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )。131 填空:代数系统就是个整环,当且仅当 就

25、是个( ),就是个( ),并且还满足条件( )与( )。132 填空:代数系统就是个域,当且仅当 ( )就是个交换群,( )就是个交换群,并且还满足条件( )。133 填空:代数系统就是个域,当且仅当 就是( ),就是( ),并且还满足条件( )。134、令N就是自然数集合,I就是整数集合,R就是实数集合,+与分别就是加法与乘法, , 中哪些不就是环不？为什么？如果就是环,那些不就是整环？为什么？哪些不就是域？为什么？135、 判断, , 就是否为环？为什么？136、 试证就是有幺元的交换环,其中与 的定义为:对任何a,bI, ab=a+b-1 a b=a+b-ab137、 、设就是一个环, 并且对于任何aA ,有aa=a , 证明a)、对于任何aA, 都有a+a=,其中就是+的幺元、b)、 就是一个交换环、138、 下面的说法就是否正确？说明理由、设就是个域,对任何a,bF,如果a*