B中南大学 赖峥嵘 狄佐星 王乃光.docx
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B中南大学赖峥嵘狄佐星王乃光
DVD在线租赁的分析和数学建模
摘要
本文根据DVD在线租赁中存在的情况对各种因素可能的影响进行了综合的分析和合理的取舍，并在此基础上分别对四个问题进行了分析与解答。
对问题一我们运用概率知识建立了初等模型，以提供的资料为依据进行分析、合理假设、参数的设定来求解模型。
最后求得10万个会员满足一个月内50％的会员看到想看的DVD所需要的五张新DVD的数量依次为6200，3200，1600，800，400。
满足3个月内有95％的会员看到想看的DVD所需要求的五张新DVD的数量依次为3959，1980，990，495，248。
对问题二我们首先对题中给出的数据进行简单预处理及统计，然后建立满意度矩阵、决策矩阵和评价矩阵，由评价矩阵我们可对当前的决策作出具体评价和总体评价，即可求出当前决策下每个会员的总和满意度和1000个会员的总体满意度，通过比较直观的数学描述分析了使总体满意度最大的决策矩阵的求解过程，计算机编程求解后满意度S＝23860，与最理想情况下的满意度
比较接近。
但是前30名会员中有3名会员没有拿到3张DVD，这是不合要求的，我们发现不可能1000个会员都能拿到3张DVD，于是我们认为有部分会员拿到0张DVD，没有拿1张或2张DVD的会员。
然后我们通过算法的改进，我们求出了前30名会员的租赁DVD的情况（见表三）。
针对问题三我们从两个不同的角度求得100张DVD的购买量（见表五表六）。
通过问题四，我们分析了DVD租赁过程中需要考虑的其它综合因素的影响。
其中我们主要分析了一下租期的影响，新DVD的时效性影响，并由此建立了相应的数学模型和相应的比较合理的假设。
关键字：
偏爱度；满意度
问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？
请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果是网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型。
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）
DVD编号
D001
D002
D003
D004
…
DVD现有数量
10
40
15
20
…
会员在线订单
C0001
6
0
0
0
…
C0002
0
0
0
0
…
C0003
0
0
0
3
…
C0004
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
…
注：
D001~D100表示100种DVD,C0001~C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。
模型假设
1、会员每次租赁DVD时一定租到3张DVD，且3张DVD各不相同；
2、不愿意看某张新DVD的会员不会租借该新碟；
3、每天来租DVD的会员数是基本相同的；
4、每天来还DVD的会员数也是基本相同的；
符号说明
t：
时间单位（天）；
k：
第k张DVD碟；
：
第i个人对第k张DVD的偏爱度；
：
第i个会员租到第k张DVD所获得的满意度；
：
满意度矩阵；
：
决策矩阵；
：
评价矩阵；
：
总体满意度。
问题一的分析与解答
为了保证50％的愿意看碟的人一个月内得到碟，认为会员以对管理者来说最坏的情形还碟（即一个月中租碟两次的人在月初得到碟的话会在月中还碟再借碟，再到月底还碟；一个月中租碟一次的人在月初得到碟的话会在月底还碟），并且先考虑管理者清楚哪些为一个月租两次碟的会员，哪些为一个月租一次碟的会员。
因为有下表：
表一
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
我们以DVD1为例进行研究：
在接受调查的1000个会员中有200人愿意看DVD1，将其推广至10万个会员的情况为2万人愿意，依次有下表：
表二
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
20000
10000
5000
2500
1000
由历史数据可得将其类似认为：
愿意观看DVD1的会员中也有60％（第Ⅰ类）即12000人会在一个月中租碟两次，而有40％的会员（第Ⅱ类）即8000人是每个月租一次。
则可认为在每次租赁时遇到第Ⅰ类会员的概率为0.6，而遇到第二类会员的概率为0.4。
设DVD1有X张，当X＝20000时，显然可以满足100%的会员看到。
当X＝19900时，在第一轮中被第Ⅰ类会员租走的DVD1数量为X1＝（0.6*19900）张，被第Ⅱ类会员租走的DVD1数量为（X－X1）张。
此时只有一个会员没有看到DVD1，但是下半个月还回来的DVD1的数量，下半个月还回来租碟的人数X0
[1,0.6*20000-0.6*19900]。
因为X1+（X－X1）+X0＝20000,而X＝19900，所以X0＝1，因此完全可以满足剩下的一名会员租到此碟。
上面两种情况我们是满足了100％的会员都能在一个月内看到DVD1，以此类推，若只满足50％的会员即10000人在一个月内能够看到此碟，并使碟的数量最少，抽象出数学模型如下：
设DVD1有
张，在第一轮中被第Ⅰ类会员租走的碟数为0.6*
张，被第Ⅱ类会员租走的碟数则为0.4*
张，第二轮来租DVD1的会员数为
，则有：
＋
≥50%*20000；
≤0.6*
；
≤（60％*20000-0.6*
）
求
解得：
≥6200，即DVD1最少需要6200张才能满足要求。
同理可得：
DVD2最少需要3200张，DVD3最少需要1600张，DVD4最少需要800张，DVD5最少需要400张。
汇总为下表：
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
最少需要的碟数
6200
3200
1600
800
400
第二小问在第一小问的基础上推广至三个月内至少要满足95％的会员能够看到自己喜欢的新碟。
仍以DVD1为例进行研究：
DVD1有
张，在第i（i=1,2,3）个月的第一轮中租给第Ⅰ类会员的新碟数为0.6*
，租给第Ⅱ类会员的碟数为0.4*
而第二轮来租碟的会员数为
（i=1,2,3），则有:
（（
+
）+（
+
）+（
+
））≥95%*20000；
（i=1,2,3）；
≤0.6*
（i=1,2,3）；
≤（60%*20000-0.6*
）（i=1,2,3）
解得：
≥3959张，即DVD1最少需要3959张才能满足要求（解法参见[1]）。
同理可得：
DVD2最少需要1980张，DVD3最少需要990张，DVD4最少需要495张，DVD5最少需要248张。
汇总为下表：
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
最少需要的碟数
3959
1980
990
495
248
问题二的分析与解答
1.数据预处理
租碟的会员对不同的DVD的喜好程度是有差别的，即有的会员比较喜欢观看某张DVD，这可以从数据表中最后的各偏爱度（数字愈小表示偏爱程度愈高）之总和推测出来。
，显然不同会员的总和满意度是不一样的。
为了满意度矩阵的构造，我们对题表数据进行如下处理：
假设第i个会员对第k张DVD偏爱度为
（
>0）。
定义
表示第i个会员租到第k张DVD所获得的满意度（题表中为0的数据不用该公式处理）。
针对题表中的数据我们有如附表一的统计数据。
2.满意度矩阵的建立
经数据预处理后，我们定义
为满意度矩阵，定义
其中
为决策矩阵，其中第i行第j列表示第i个会员租到第j张DVD的结果，租到则为1，没租到则为0。
且每行的和为3（表示每个会员获得3张DVD），每列的和不大于某一定值（即借出DVD的数量不大于相应的现存数）。
令
，称P为评价矩阵，其主对角线上的第
个元素代表第i个人的满意度，令S为其和，称为总体满意度，则只需求S的最大值以及相应的f值。
3.求解
预处理数据后，表中的数据在1-10之间，表示相应的满意度。
为了求得S的最大值（即最大总体满意度），我们可以这样去探索DVD的发放过程（亦即探讨决策矩阵f的取值）：
首先我们应将DVD发放给拿到该DVD后满意度最高的会员，记录下满意度矩阵L中数值为10的位置，如某
的位置。
当决策矩阵f的第i行各数之和小于3且第j列各数之和小于第j张现存DVD数量时，将f中的该位置值置为1（初始时为
阶零矩阵），接着我们在满意度为9的位置作同样的处理，当满足给定的约束条件时，将其值置为1。
然后依次考虑满意度为8，7，6……2，1的位置情况，如此便可求得使满意度最大的决策矩阵f，我们用这种方法通过matlab软件编程可求得前30名会员租赁DVD的情况如下表（解法参考[2]）：
表三
C0001
8
82
98
C0002
6
42
44
C0003
4
50
80
C0004
7
18
41
C0005
11
66
68
C0006
16
19
53
C0007
8
26
81
C0008
15
71
99
C0009
53
78
100
C0010
55
60
85
C0011
19
59
63
C0012
2
7
31
C0013
21
78
96
C0014
23
52
89
C0015
13
66
85
C0016
55
84
97
C0017
47
51
67
C0018
41
60
78
C0019
66
84
86
C0020
45
61
89
C0021
2
45
53
C0022
38
55
57
C0023
29
81
95
C0024
37
41
76
C0025
9
69
81
C0026
22
68
95
C0027
22
50
58
C0028
8
34
82
C0029
30
44
55
C0030
37
62
98
（源程序见附录）
其中数字表示租赁的相应的DVD，如C0001租借了DVD8，DVD82，DVD98。
此时,我们求得最大满意度S＝23860。
而在最好的情况下，即我们假设每个会员都能看到自己满意度最大的3张DVD时，有
，所得的满意度已经很大了，这是我们充分兼顾了满意的结果。
但是，以上的算法结果还有2个不合理的地方：
1）.我们发现某些会员只能租到1张或2张DVD。
如会员C0002和会员C0028都只租到2张DVD，而会员C0008只租到1张DVD，这是不合题意的，因为每个会员每次一定租到3张DVD。
2）如果采用上述的DVD分配方式，我们可以求得最后租赁出去的DVD总数为2753张，而现存DVD总数为3007张，从出租率方面考虑，上述结果是不理想的。
基于以上2个缺陷，我们需要改进DVD的分配方式，即对上述求解方法进行改进。
首先，经过上面的求解后，我们对题表中进行进一步分析发现对于某些DVD来说，其现存数量要多于其想看该DVD的会员总数（在这我们认为只要某会员对该DVD的满意度不为0即为想看该DVD的会员）。
如DVD37，其现存数量为106张，而只有91个会员想看该DVD，因此这106张DVD最多只有91张能租赁出去，这样最后至少有15张DVD没有租赁出去，于是最后租出去的DVD总数最多为3007-15＝2992张，即1000个会员不可能都租到3张DVD。
针对题中的要求，我们认为这1000个会员中的任意某个会员要么拿3张DVD，要么拿0张DVD，即没有只拿2张或1张的会员。
基于这点，我们考虑以下DVD分配方式：
我们从获得最大满意度的DVD分配方式下进行逐步调整，使其满足每张DVD的现存数量的约束要求，同时又获得最大满意度。
这样我们首先假设100张DVD是没有限制的，每位会员都能得到自己最想看的3张DVD，相应的决策矩阵中
第i个会员获得第j张DVD就为1，没有获得则为0。
然后我们设一循环变量a，它为一向量，其第i个元素为第i张DVD的需求数与现存数的差，我们求a的最大值对应的位置j，j就表示100张DVD中第j张DVD的需求数和现存数相差。
我们可以求得第一轮循环中，DVD71是需求数和现存数相差最大的，我们以DVD71为例说明每轮的循环操作：
第一轮中，在租赁了DVD71的会员中我们找到拿到DVD71获得的满意度最小的会员，设其中一个会员为k，获得的相应最小满意度为p。
对于会员k，我们找他满意度为p－1的DVD，假设是第n张DVD，当第n1张DVD需求数小于现存数量时我们可以将该会员的第71张DVD除去，让其拿走第n1张DVD，如果第n1张DVD的需求大于等于现存数量时，我们再来找第k个会员满意度为p－2的DVD，假设其为第n2张DVD，我们再作与n1类似的比较工作，如果不能拿第n2张DVD，我们继续找满意度为p－3，p－4……1的对应DVD，如果这些DVD都没法拿到则认为第k个会员是拿不到DVD的，将DVD都‘收回’，决策矩阵的第k行全部置0，这样就做完了第一轮的循环，接着便继续下一轮的循环直到满足循环终止条件——a中所有的元素小于等于0。
最后我们得到结果如下：
表四
C0001
8
82
98
C0002
6
42
44
C0003
4
50
80
C0004
7
18
41
C0005
11
66
68
C0006
16
19
53
C0007
8
26
81
C0008
15
71
99
C0009
53
78
100
C0010
55
60
85
C0011
19
59
63
C0012
2
7
31
C0013
21
78
96
C0014
23
52
89
C0015
13
66
85
C0016
55
84
97
C0017
47
51
67
C0018
41
60
78
C0019
66
84
86
C0020
45
61
89
C0021
2
45
53
C0022
38
55
57
C0023
29
81
95
C0024
37
41
76
C0025
9
69
81
C0026
22
68
95
C0027
22
50
58
C0028
8
34
82
C0029
30
44
55
C0030
37
62
98
问题三的分析与解答
我们采用问题二的分配方案来预测需要购买各种DVD的数量。
我们认为只有满意度大于5的DVD才为会员想看的DVD，否则会有很多人有5张以上想看的DVD，但每次只能租借3张DVD，这样若是要求一个月内有95％的会员看到想看的DVD是做不到的，即无论买多少DVD碟片都无法满足上述要求。
我们简单说明一下，如有100人，每人有5张想看的DVD，在最好的情况下我们可以保证让其中的60个一月租两次的会员能看到想看的5张DVD，但另外40个人至少有2张想看的DVD没法看到。
由要求可知最多只能有5人看不到自己想看的DVD，这样每张DVD至少被40人中的35人租赁，5张DVD总共租赁出去
张，但这40个人最多只能租
张DVD，因此这是做不到题中要求的。
虽然这样，对于满意度小于5的会员我们依然可以给他相应的DVD，这是为了提高会员的满意度而做的。
现在我们来求解需要的每种DVD数量，不失一般性，我们不妨设题表中前600个会员每个月租赁DVD两次，即为第Ⅰ类会员；而后400名会员是第Ⅱ类会员，每个月只租赁DVD1次。
经统计我们可以求得每种DVD的满意度大于5的会员总数（亦即想看该DVD的会员总数）如下表：
表五
DVD
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
DVD6
DVD7
DVD8
DVD9
DVD10
想看的会员数
42
51
53
52
47
52
48
52
51
43
……
这儿只列出前10张DVD的想看人数，具体可参见附表二。
我们以DVD1为例，为了使想看DVD1的42位会员中有95％在一个月内能看到，我们只需有40位会员看到DVD1即可，可以认为这42位会员中有25名是第Ⅰ类会员，即一个月租赁DVD两次，有17名是第Ⅱ类会员，即一个月内只租赁DVD1次。
于是我们为使满意度最大，且使DVD1的购买量尽量少，我们可以优先租给满意度最大的会员，且尽量先满足第Ⅱ类会员，然后优先满意度次之的，总是先优先第Ⅱ类会员，可以解得DVD1的需求量为20张。
以此求得其它DVD的需求量如下表：
表六
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
DVD6
DVD7
DVD8
DVD9
DVD10
20
35
26
36
20
27
29
32
34
12
DVD
11
DVD
12
DVD
13
DVD
14
DVD
15
DVD
16
DVD
17
DVD
18
DVD
19
DVD20
28
30
27
30
26
36
27
25
30
36
DVD
21
DVD
22
DVD
23
DVD
24
DVD
25
DVD
26
DVD
27
DVD
28
DVD
29
DVD30
32
28
34
21
28
30
25
18
24
40
DVD
31
DVD
32
DVD
33
DVD34
DVD35
DVD36
DVD37
DVD38
DVD39
DVD40
28
34
30
30
37
34
20
29
28
27
DVD41
DVD42
DVD43
DVD44
DVD45
DVD46
DVD47
DVD48
DVD49
DVD50
51
34
25
34
33
24
31
24
31
33
DVD51
DVD52
DVD53
DVD54
DVD55
DVD56
DVD57
DVD58
DVD59
DVD60
38
25
32
30
30
31
30
27
33
35
DVD61
DVD62
DVD63
DVD64
DVD65
DVD66
DVD67
DVD68
DVD69
DVD70
26
30
31
33
31
30
30
34
32
29
DVD71
DVD72
DVD73
DVD74
DVD75
DVD76
DVD77
DVD78
DVD79
DVD80
35
33
24
30
27
23
19
29
30
27
DVD81
DVD82
DVD83
DVD84
DVD85
DVD86
DVD87
DVD88
DVD89
DVD90
28
17
21
18
32
20
33
23
23
26
DVD91
DVD92
DVD93
DVD94
DVD95
DVD96
DVD97
DVD98
DVD99
DVD100
37
27
23
22
38
23
35
34
18
34
上面的考虑方向是从DVD碟的角度保证有95％的想看某种DVD的会员看到该DVD，现在我们从1000个会员的角度思考，为使95％的会员看到想看的DVD我们只需让其中的950个会员租到想要的DVD，认为其中的60％是第Ⅰ类会员，即有（570人是第Ⅰ类会员），40％的是第Ⅱ类会员，有380人。
第Ⅰ类会员每个月给6张DVD，第Ⅱ类会员每个月给3张DVD，故总的DVD数为
张，现在我们从1000个会员中随机的选取950人作为能看到自己想看的DVD的会员，当选定950个具体会员时，我们求这种情况下如何分配这些DVD才能使满意度最大，显然只需使这些会员都拿自己满意度最大的DVD就可以使总体满意度最大，于是我们便可以容易的求出100张DVD的具体数量了。
当然由于选取的950名会员是随机的，100张DVD的具体数目也会是一个随机数，但只要我们随机很多次，便能求出100张DVD的稳定值来，亦即其期望值。
由附录程序我们随机运行100次求得100张DVD的值如下：
表七
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
53
63
63
65
54
63
56
58
59
60
D11
D12
D13
D14
D15
D16
D17
D18
D19
D20
62
59
55
60
48
67
68
60
65
67
D21
D22
D23
D24
D25
D26
D27
D28
D29
D30
64
61
69
55
57
62
58
49
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