九年级数学初三下册第一章 直角三角形的边角关系教案教学设计.docx

九年级数学初三下册第一章 直角三角形的边角关系教案教学设计.docx

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九年级数学初三下册第一章直角三角形的边角关系教案教学设计

第一章　直角三角形的边角关系

1　锐角三角函数

第1课时　正切与坡度

1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．

2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度（坡比）等．

3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．

重点

理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系．

难点

理解正切的意义，并用它来表示两边的比．

一、情境导入

师：

梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？

课件出示下图，提出问题：

（1）甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？

你是怎么判断的？

有几种判断方法？

（2）乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？

你是怎么判断的？

　　　　　　甲组　　　　　　　　乙组

二、探究新知

引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题：

1．比较梯子的倾斜程度

（1）如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？

梯子的倾斜程度与什么有关？

（2）分别求出每组图中的

与

，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？

2.如下图，小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？

（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？

（2）

和

有什么关系？

（3）如果改变B2在梯子上的位置呢？

由此你得出什么结论？

3．正切是如何定义的？

4．梯子的倾斜程度与tanA的值有什么关系？

5．坡度是如何定义的？

三、举例分析

例　如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

甲　　　　　　乙

（1）tanα和tanβ的值分别是多少？

（2）你能比较tanα和tanβ的大小吗？

（3）根据tanA的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？

四、练习巩固

1．在△ABC中，∠C＝90°，则tanA等于（　　）

A.

　　B.

　　C.

　　D.

2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，若tanA＝

，则AC＝________.

3．如图，Rt△ACB中，∠B＝90°，BC＝10，tanA＝

，求AB，AC.

五、课堂小结

1．易错点：

（1）tanA中常省略角的符号“∠”，用希腊字母表示角时也可省略，如：

tanα，tanβ等．但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan∠BAC或tan∠1，tan∠2等；

（2）tanA没有单位，它表示一个比值；

（3）tanA是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan”乘“A”．

2．归纳小结：

（1）tanA＝

；

（2）tanA的值越大，梯子越陡．

3．方法规律：

（1）一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tanA＝

只能在直角三角形中适用；

（2）坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）．

六、课外作业

1．教材第4页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第4页习题1.1第1、2题．

本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲．为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解．本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度（坡比）的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系．第2课时　正弦和余弦

1．理解正弦、余弦及三角函数的意义．

2．能够运用sinA，cosA表示直角三角形两边的比．

3．根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．

重点

理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进行简单计算．

难点

正弦、余弦的理解及应用．

一、复习导入

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝

，AC＝10，求BC，AB的长．

2．若梯子与水平面相交的锐角为∠A，∠A越大，梯子越________；tanA的值越大，梯子越________．

3．当Rt△ABC中的一个锐角A确定时，其他边之间的比值也确定吗？

可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？

二、探究新知

1．正弦、余弦及三角函数的定义

课件出示：

（1）Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是什么？

（2）

和

的关系是什么？

（3）如果改变B2在斜边上的位置，则

和

的关系是什么？

思考：

从上面的问题可以看出：

当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值____________，根据是________________．它的邻边与斜边的比值呢？

2．梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系

探究活动：

梯子的倾斜程度与sinA和cosA之间有什么关系？

如图，AB，A1B1表示梯子，CE表示支撑梯子的墙，AC在地面上．

（1）梯子AB，A1B1哪个更陡？

（2）梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？

三、举例分析

例　如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，求BC的长．

（1）sinA等于图中哪两条边的比？

（2）你能根据sinA＝0.6写出等量关系吗？

（3）根据等量关系你能求出BC的长吗？

四、练习巩固

1．在Rt△ABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值（　　）

A．缩小4倍　　　　　　B．缩小2倍

C．保持不变　　　　　　D．不能确定

2．已知∠A，∠B为锐角．

（1）若∠A＝∠B，则sinA________sinB；

（2）若sinA＝sinB，则∠A________∠B.

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝6，求∠B的三个三角函数值．

五、课堂小结

1．易错点：

（1）sinA，cosA，tanA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）；

（2）sinA，cosA，tanA是一个完整的符号，表示∠A的正弦、余弦、正切，习惯省去“∠”符号；

（3）sinA，cosA，tanA都是一个比值，注意区别，且sinA，cosA，tanA均大于0，无单位；

（4）sinA，cosA，tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关系．

2．归纳小结：

（1）正弦的定义：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sinA；

（2）余弦的定义：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cosA；

（3）sinA越大，梯子越陡；cosA越小，梯子越陡．

3．方法规律：

两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等．

六、课外作业

1．教材第6页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第6～7页习题1.2第1、3、4、5题．

本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义．同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力．本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.2　30°，45°，60°角的三角函数值

1．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．

2．能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算．

3．能够根据30°，45°，60°的三角函数值说明相应的锐角的大小．

重点

能够进行30°，45°，60°角的三角函数值的计算；能够根据30°，45°，60°角的三角函数值说出相应的锐角大小．

难点

通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进行有关推理的能力．

一、复习导入

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°.

（1）a，b，c三者之间的关系是什么？

∠A＋∠B等于多少度？

（2）如何表示sinA，cosA，tanA，sinB，cosB，tanB?

2．观察一副三角尺，其中有几个锐角？

它们分别等于多少度？

二、探究新知

课件出示：

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.

（1）a，b，c三者之间有什么样的关系？

（2）sin30°等于多少？

你是怎样得到的？

与同伴交流．

（3）cos30°等于多少？

tan30°呢？

（4）sin60°，cos60°，tan60°呢？

（5）45°角的三角函数值分别是多少呢？

引导学生填写表格：

三角函数值

sinA

cosA

tanA

30°

45°

60°

　　三、举例分析

例1　计算：

（1）sin30°＋cos45°；

（2）sin260°＋cos260°－tan45°.

处理方式：

通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程．

例2　（课件出示教材第9页例2）

引导学生思考如下问题：

（1）你能根据题意画出图形吗？

（2）你能根据所画图形构造直角三角形吗？

（3）你能找到图形中的特殊角吗？

（4）你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？

四、练习巩固

1．下列式子中成立的是（　　）

A．cos72°＜sin35°＜tan46°

B．sin35°＜tan46°＜cos72°

C．tan46°＜cos72°＜sin35°

D．tan46°＜cos40°＜sin35°

2．已知等腰△ABC的腰长为4

，底角为30°，则底边上的高为________，周长为________．

3．若（

tanA－3）2＋

＝0，则△ABC按角分类是什么三角形？

五、课堂小结

1．易错点：

（1）能进行含30°，45°，60°角的三角函数值的计算；

（2）能根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．

2．归纳小结：

sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；

cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；

tan30°＝

，tan45°＝1，tan60°＝

.

3．方法规律：

在Rt△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则有：

sinA＝cos（90°－A）；

cosA＝sin（90°－A）；

sinB＝cos（90°－B）；

cosB＝sin（90°－B）．

六、课外作业

1．教材第9页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第10页习题1.3第1～4题．

本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便．在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3　三角函数的计算

1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义．

2．能用计算器由已知三角函数值求角度．

3．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

重点

熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序．

难点

非整数度的角的三角函数值的求法．

一、情境导入

课件出示：

如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m．已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？

（结果精确到0.01m）

引导学生思考以下问题：

（1）在Rt△ABC中，sinα如何表示？

（2）你知道sin16°是多少吗？

（3）我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？

二、探究新知

1．已知角求三角函数值

（1）引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：

①利用计算器求三角函数值用到哪些按键？

②求值过程中按键使用的先后顺序是什么？

③求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？

④通过自学你能利用计算器求出sin16°的数值吗？

（2）课件出示：

当缆车继续由点B到达点D时，他又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为∠β＝42°，由此你还能计算什么？

引导学生思考如下问题：

①缆车从点B到点D通过的路程是多少？

②缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？

③缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？

2．已知三角函数值求角

（1）课件出示：

为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？

引导学生思考如下问题：

①在Rt△ABC中，sinA如何表示？

②你能根据题目中的已知条件求出sinA的数值吗？

③你能根据sinA的数值求出∠A吗？

（2）引导学生阅读教材第13～14页用计算器求角的操作过程，提出问题：

①利用计算器求角用到哪些按键？

②求角过程中按键使用的先后顺序是什么？

③如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？

④你能利用计算器求出∠A的度数吗？

三、练习巩固

1．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（　　）

A．0.90　　B．0.72　　C．0.69　　D．0.66

2.用计算器求tan35°的值，按键顺序是____________________．

3．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝20，AC＝12.5，求两个锐角的度数（精确到1°）．

四、课堂小结

1．易错点：

（1）用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；

（2）求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的．

2．归纳小结：

（1）用计算器求三角函数值；

（2）用计算器求角．

3．方法规律：

（1）用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：

如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；

（2）求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：

先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键．

五、课外作业

1．教材第14页“随堂练习”第1、2、3题．

2．教材第15页习题1.4第1～6题．

本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高．但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练．在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展．在以后的教学中，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4　解直角三角形

1．了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系．

2．能运用直角三角形的角与角（两锐角互余）、边与边（勾股定理）、边与角的关系解直角三角形．

重点

直角三角形的解法．

难点

灵活运用三角函数解直角三角形．

一、复习导入

师：

在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角．

课件出示：

如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c.

（1）直角三角形的三边之间有什么关系？

（2）直角三角形的锐角之间有什么关系？

（3）直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

师：

直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角．那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？

这就是我们本节课要研究的问题．

二、探究新知

1．已知两边解直角三角形

课件出示教材第16页例1，提出问题：

（1）题目中已知几个元素？

分别是什么？

（2）解这个直角三角形需要求出哪些元素？

（3）解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？

（4）你能正确求解吗？

教师给出解直角三角形的定义及其依据．

2．已知一边和一锐角解直角三角形

课件出示教材第16～17页例2，提出问题：

（1）题目中已知几个元素？

分别是什么？

（2）解这个直角三角形需要求出哪些元素？

（3）解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？

（4）你能仿照例1独立完成求解吗？

3．总结

（1）通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？

如果只给两个角，可以吗？

（2）除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？

（3）通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？

归纳：

解直角三角形，有下面两种情况（其中至少有一边）：

（1）已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）；

（2）已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一斜边一锐角）．

三、练习巩固

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝

，AB＝5，则边AC的长是（　　）

A．3　　　B．4　　　C.

　　　D.

2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝

，那么AB＝________.

3．在△ABC中，已知∠C＝90°，b＋c＝30，∠A－∠B＝30°，解这个直角三角形．

四、课堂小结

1．易错点：

（1）如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；

（2）至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形．

2．归纳小结：

（1）“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；

（2）解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；

（3）解直角三角形的方法：

①已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，用勾股定理（后一种需设未知数，根据勾股定理列方程）；

②已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；

③已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余．

3．方法规律：

已知斜边求直边，正弦余弦很方便；

已知直边求直边，首选正切理当然；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要选好；

已知锐角求锐角，互余关系要记好；

已知直边求斜边，用除还需正余弦；

计算方法要选择，能用乘法不用除．

五、课外作业

1．教材第17页“随堂练习”．

2．教材第17～18页习题1.5第1～4题．

本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系．正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键．解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法．在处理例题时，首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步．

5　三角函数的应用

1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．

2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．

重点

经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．

难点

灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决．

一、情境导入

如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行．

你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？

你是如何想的？

与同伴进行交流．

二、探究新知

课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：

（1）什么是仰角？

（2）在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？

（3）怎样求该塔的高度？

处理方式：

学生先独立思考解决问题的方法，再回答．

解：

（1）当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．

（2）30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.

（3）∵CD是Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°＝

，即AC＝

.在Rt△BDC中，tan60°＝

，即BC＝

，又∵AB＝AC－BC＝50m，∴

－

＝50.解得CD≈43m.

三、举例分析

例　（课件出示教材第19页“做一做”）

引导学生思考：

（1）你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？

（2）你能根据题意画出示意图吗？

（3）若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？

（4）40°和35°的角分别是哪个角？

（5）在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？

（6）Rt△ABC中的哪条边不变？

解：

由条件可知，在Rt△ABC中，sin40°＝

，即AB＝4sin40°，原楼梯占地长BC＝4cos40°.调整后，在Rt△ADB中，sin35°＝

，则AD＝

＝

，楼梯占地长DB＝

.

∴调整后楼梯加长AD－AC＝

－4≈0.48（m）．

楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝

－4cos40°≈0.61（m）．

四、练习巩固

1．一辆汽车沿坡角为α的斜坡前进500m，则它上升的最大高度为（　　）

A．500sinα　　B.

　　C．500cosα　　D.

2．如图，在坡度为1：

3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________m．（结果保留根号）

3．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12m处，测得∠BAC＝30°，求BC的长．（结果保留根号）

五、课堂小结

1．易错点：

（1）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等．对于这类问题，我们常用的解题方法是：

将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；

（2）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化．

2．归纳小结：

解直角三角形一般有以下几个步骤：

（1）审题：

认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；

（2）明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；

（3）若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一