九年级数学初三下册第一章 直角三角形的边角关系教案教学设计.docx

1、九年级数学初三下册第一章 直角三角形的边角关系教案 教学设计第一章直角三角形的边角关系1锐角三角函数第1课时正切与坡度1经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系2能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等3能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算重点理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系难点理解正切的意义，并用它来表示两边的比一、情境导入师：梯子是我们日常生活中常见的物体我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？课件出示下图，提出问题：(1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是

2、怎么判断的？有几种判断方法？(2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？甲组乙组二、探究新知引导学生阅读教材第24页的内容，完成以下问题：1比较梯子的倾斜程度(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？(2)分别求出每组图中的与，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？2. 如下图，小明想通过测量B1C1及 AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及 AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度你同意小亮的看法吗？(1)RtAB1C1和 RtAB2C2有什么关系？(2)和有什么关系？(3)如果改变B2在梯子上的

3、位置呢？ 由此你得出什么结论？3正切是如何定义的？4梯子的倾斜程度与tan A的值有什么关系？5坡度是如何定义的？三、举例分析例如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？甲乙(1)tan 和tan 的值分别是多少？(2)你能比较tan 和tan 的大小吗？(3)根据tan A的值越大，梯子越陡你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？四、练习巩固1在ABC中，C90，则tan A等于( )A.B.C. D. 2如图，在ABC中，C90，BC6，若tan A，则AC_.3如图，RtACB中，B90，BC10，tan A，求AB，AC.五、课堂小结1易错点：(1) tan A中常省略角的符号“”，用

4、希腊字母表示角时也可省略，如：tan ，tan 等但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“”，要写成tan BAC或tan 1，tan 2 等；(2) tan A没有单位，它表示一个比值；(3) tan A是一个完整的数学符号，不可分割，不表示“tan ”乘“A”2归纳小结：(1)tan A；(2)tan A的值越大，梯子越陡3方法规律：(1)一个角的正切是在直角三角形中定义的，因此，tan A只能在直角三角形中适用；(2)坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)六、课外作业1教材第4页“随堂练习”第1、2题2教材第4页习题1.1第1、2题

5、本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身心发展的特点，通过比较梯子哪个更徒引入新课，激发了学生的求知欲为了突破教学难点，教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法，既直观地呈现了知识的内在联系，培养了学生的几何直观能力，又唤起和加深了学生对教学内容的体会和理解本课中，对梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识，让学生更进一步体验了数学的实用性，加深了数学和实际生活的联系第2课时正弦和余弦1理解正弦、余弦及三角函数的意义2能够运用sin A，cos A表示直角三角形两边的比3根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算重点理解正弦、余弦的定义，能根据直角三角形的边角关系进

6、行简单计算难点正弦、余弦的理解及应用一、复习导入1在RtABC中，C90，tan A，AC10，求BC，AB的长2若梯子与水平面相交的锐角为A，A越大，梯子越_；tan A的值越大，梯子越_3当RtABC中的一个锐角A确定时，其他边之间的比值也确定吗？ 可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？二、探究新知1正弦、余弦及三角函数的定义课件出示：(1)RtAB1C1和RtAB2C2的关系是什么？(2)和的关系是什么？(3)如果改变B2在斜边上的位置，则和的关系是什么？思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小经已确定时，它的对边与斜边的比值_，根据是_它的邻边与斜边的比值呢？2梯子的

7、倾斜程度与sin A和cos A的关系探究活动：梯子的倾斜程度与sin A和cos A之间有什么关系？如图，AB，A1B1表示梯子，CE表示支撑梯子的墙，AC在地面上(1)梯子AB，A1B1哪个更陡？(2)梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗？三、举例分析例如图，在RtABC中，B90，AC200，sin A0.6，求BC的长(1)sin A等于图中哪两条边的比？(2)你能根据sin A0.6写出等量关系吗？(3)根据等量关系你能求出BC的长吗？四、练习巩固1在 RtABC中，若各边的长度同时都缩小4倍，则锐角A的正弦值()A缩小4倍B缩小2倍 C保持不变 D不能确定2已知A，B为锐

8、角 (1)若AB，则sin A_ sin B；(2)若sin Asin B，则A _B.3如图，在RtABC中，C90，AC3，AB6，求B的三个三角函数值五、课堂小结1易错点：(1)sin A，cos A，tan A是在直角三角形中定义的，A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)；(2)sin A，cos A，tan A是一个完整的符号，表示A的正弦、余弦、正切，习惯省去“”符号；(3)sin A，cos A，tan A都是一个比值，注意区别，且sin A，cos A，tan A均大于0，无单位； (4)sin A，cos A，tan A的大小只与A的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然关

9、系2归纳小结：(1)正弦的定义：在RtABC中，C90，我们把锐角A的对边BC与斜边AB的比叫做A的正弦，记作sin A；(2)余弦的定义：在RtABC中，C90，我们把锐角A的邻边AC与斜边AB的比叫做 A的余弦，记作cos A；(3)sin A越大，梯子越陡； cos A越小，梯子越陡3方法规律：两个锐角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等六、课外作业1教材第6页“随堂练习”第1、2题2教材第67页习题1.2第1、3、4、5题本节课结合初中学生身心发展的特点，运用了类比教学法，加深学生对教学内容的体会和了解，很容易就掌握了正弦和余弦的概念和意义同时，探究活动培

10、养和发展了学生的观察、思维能力本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用了这些直观教学，能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程，使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.230，45，60角的三角函数值1经历探索30，45，60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义2能够进行30，45，60角的三角函数值的计算3能够根据30，45，60的三角函数值说明相应的锐角的大小重点能够进行30，45，60角的三角函数值的计算；能够根据30，45，60角的三角函数值说出相应的锐角大小难点通过探索特殊三角函数值的过程，培养学生进

11、行有关推理的能力一、复习导入1在RtABC中，C 90.(1)a，b，c三者之间的关系是什么？ A B等于多少度？(2)如何表示sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B?2观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？二、探究新知课件出示：如图所示，在RtABC中， C90， A30.(1)a，b，c三者之间有什么样的关系？(2)sin 30等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流(3)cos 30等于多少？tan 30呢？(4)sin 60，cos 60，tan 60呢？(5)45角的三角函数值分别是多少呢？引导学生填写表格：三角函数值sin Acos Ata

12、n A304560三、举例分析例1 计算：(1) sin 30cos 45；(2) sin 260cos 260tan 45.处理方式：通过记忆特殊角的三角函数值求解，注意格式和过程例2 (课件出示教材第9页例2)引导学生思考如下问题：(1)你能根据题意画出图形吗？(2)你能根据所画图形构造直角三角形吗？(3)你能找到图形中的特殊角吗？(4)你能根据特殊角的三角函数值求出正确的结果吗？四、练习巩固1下列式子中成立的是 ( )Acos 72sin 35tan 46Bsin 35tan 46cos 72Ctan 46cos 72sin 35Dtan 46cos 40sin 352已知等腰ABC的腰

13、长为4 ，底角为30，则底边上的高为_，周长为_3若(tan A3)20，则ABC按角分类是什么三角形？五、课堂小结1易错点：(1)能进行含30，45，60角的三角函数值的计算；(2)能根据30，45，60角的三角函数值，说出相应锐角的大小2归纳小结：sin 30，sin 45，sin 60；cos 30，cos 45，cos 60；tan 30 ，tan 451，tan 60.3方法规律：在RtABC中，若AB90，则有：sin Acos (90A)；cos A sin (90A) ；sin Bcos (90B)；cos Bsin (90B)六、课外作业1教材第9页“随堂练习”第1、2题2教

14、材第10页习题1.3第14题本节课课程设计中引入非常直接，由三角板引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好设计开门见山，节省了时间，为后面的教学提供了方便在讲解特殊角的三角函数值时也很详细，可以说前部分的教学很成功，学生理解得很好.3 三角函数的计算1经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义2能用计算器由已知三角函数值求角度3能够用计算器进行有关三角函数值的计算能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题重点熟悉计数器的使用，能熟练掌握按键顺序难点非整数度的角的三角函数值的求法一、情境导入课件出示：如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时

15、，它走过了200 m已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为16，那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)引导学生思考以下问题：(1)在RtABC中，sin 如何表示？(2)你知道sin 16是多少吗？(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，那么怎样用科学计算器求三角函数值呢？二、探究新知1已知角求三角函数值(1)引导学生阅读教材第12页用计算器求三角函数值的操作过程，提出问题：利用计算器求三角函数值用到哪些按键？求值过程中按键使用的先后顺序是什么？求整数角度和用“度、分、秒”表示的角度的区别是什么？通过自学你能利用计算器求出sin 16的数值吗？ (2)课件出示：当缆车继续由

16、点B到达点D时，他又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角为42，由此你还能计算什么？引导学生思考如下问题：缆车从点B到点D通过的路程是多少？缆车从点B到点D水平通过的路程是多少？缆车从点B到点D垂直高度上升了多少？2已知三角函数值求角(1)课件出示：为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10 m高的天桥两端修建了40 m长的斜道，这条斜道的倾斜角是多少？引导学生思考如下问题：在RtABC中，sin A如何表示？你能根据题目中的已知条件求出sin A的数值吗？你能根据sin A的数值求出A吗？(2)引导学生阅读教材第1314页用计算器求角的操作过程，提出问题：利用计算器求角

17、用到哪些按键？求角过程中按键使用的先后顺序是什么？如何利用计算器将求出的角度进行“度、分、秒”的换算？你能利用计算器求出A的度数吗？三、练习巩固1用计算器计算cos 44的结果(精确到0.01)是( )A0.90 B0.72 C0.69 D0.662. 用计算器求tan 35的值，按键顺序是_3在 RtABC中，若C90，BC20，AC12.5，求两个锐角的度数(精确到1)四、课堂小结1易错点：(1)用计算器求三角函数值与用计算器求角的区别和联系；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的2归纳小结：(1)用计算器求三角函数值； (2)用计算器求角3方法规律：(1)用计算器求三角函

18、数值时，结果一般有10个数位，我们的教材中有一个约定：如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；(2)求锐角的三角函数时，不同计算器的按键顺序是不同的，大体分两种情况：先按三角函数键，再按数字键；先输入数字后，再按三角函数键五、课外作业1教材第14页“随堂练习”第1、2、3题2教材第15页习题1.4第16题本节课在教学过程中，力求从基本知识入手，尽可能地使计算简单化，然后逐步地加深提高但从实际的效果上看，学生的基础知识较差，计算能力薄弱，虽然训练量在增加，但效果却不明显，始终对三角函数的性质运用很不熟练在教学过程中，我深切感到自身知识面的不足，在讲解练习时很单调，不能进行适当地扩展在以后的教学中

19、，我还要继续加强自身的学习，不断钻研教材教法，力争做到讲课通俗易懂.4 解直角三角形1了解直角三角形的概念，掌握直角三角形的边角关系2能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)、边与边(勾股定理)、边与角的关系解直角三角形重点直角三角形的解法难点灵活运用三角函数解直角三角形一、复习导入师：在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因此经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边或角课件出示：如图，在直角三角形ABC中，C90，A，B，C的对边分别记作a，b，c.(1)直角三角形的三边之间有什么关系？(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？ (3)直角三

20、角形的边和锐角之间有什么关系？师：直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角那么至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题二、探究新知1已知两边解直角三角形课件出示教材第16页例1，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4)你能正确求解吗？教师给出解直角三角形的定义及其依据2已知一边和一锐角解直角三角形课件出示教材第1617页例2，提出问题：(1)题目中已知几个元素？分别是什么？(2)解这个直角三角形需要求出哪些元素？(3)解这个直角三角形需要用到已学的哪些知识？(4

21、)你能仿照例1独立完成求解吗？3总结(1)通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果只给两个角，可以吗？(2)除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，要知道其中的几个元素就可以求出其他的元素？(3)通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？归纳：解直角三角形，有下面两种情况(其中至少有一边) ：(1)已知两条边(一直角边一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直边一锐角；一斜边一锐角)三、练习巩固1在RtABC中，C90，sin A，AB5，则边AC的长是()A3 B4 C.D.2已知在RtABC中，C90，BC6，sin

22、A，那么AB_.3在ABC中，已知C90，bc30，AB30，解这个直角三角形四、课堂小结1易错点：(1)如何把实际问题转化为数学问题，进而把数学问题具体化；(2)至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角才能解直角三角形2归纳小结：(1)“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程；(2)解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角；(3)解直角三角形的方法：已知两边求第三边(或已知一边且另两边存在一定关系)时，用勾股定理(后一种需设未知数，根据勾股定理列方程)；已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切；已知一个锐角求另一个锐角

23、时，用两锐角互余3方法规律：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，首选正切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除五、课外作业1教材第17页“随堂练习”2教材第1718页习题1.5第14题本节课的重难点是直角三角形的解法，为了使学生熟练掌握直角三角形的解法，首先要使学生知道什么叫做解直角三角形、直角三角形中三边之间的关系、两锐角之间的关系、边角之间的关系正确选用这些关系，是正确解直角三角形的关键解直角三角形的方法灵活多样，学生可以自由选择解题方法在处理例题时，

24、首先让学生独立完成，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时渗透数形结合的思想，然后全班集体交流解法和心得，达到共同进步5 三角函数的应用1经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用2能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决一、情境导入如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西

25、25的C处，之后，货轮继续往东航行你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流二、探究新知课件出示教材第19页“想一想”，提出问题：(1)什么是仰角？(2)在这个图中，30的仰角、60的仰角分别指哪两个角？(3)怎样求该塔的高度？处理方式：学生先独立思考解决问题的方法，再回答解：(1)当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角(2)30的仰角指DAC，60的仰角指DBC.(3)CD是RtADC和RtBDC的公共边，在RtADC中，tan 30，即AC.在RtBDC中，tan 60，即BC，又ABACBC50 m，50.解得CD43 m.三、举例分析例(

26、课件出示教材第19页“做一做”)引导学生思考：(1)你能根据题意将实际问题转化为数学问题吗？(2)你能根据题意画出示意图吗？(3)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯所占地面的长度分别是多少？(4)40和35的角分别是哪个角？(5)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？(6)RtABC中的哪条边不变？解：由条件可知，在RtABC中，sin 40，即AB4sin 40，原楼梯占地长BC4cos 40.调整后，在RtADB中，sin 35，则AD，楼梯占地长DB.调整后楼梯加长ADAC40.48(m)楼梯比原来多占DCDBBC4cos 400.61(m)四、练习巩固1一辆汽车沿坡角为的斜坡前进500

27、m，则它上升的最大高度为( )A500sin B. C500cos D.2如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是_ m(结果保留根号)3如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12 m处，测得BAC30，求BC的长(结果保留根号)五、课堂小结1易错点：(1)对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程(组)，然后解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的；(2)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的转化2归纳小结：解直角三角形一般有以下几个步骤：(1)审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知条件；(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；(3)若是直角三角形，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一