高数一试题及答案.docx
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高数一试题及答案
..
《高等数学
（一）》复习资料
一、选择题
1.
若lim
x2
xk
5，则k
（
）
x
3
x
3
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
2.
若lim
x2
k
，则k（
）
2
x
1
x1
A.
1
B.
2C.3D.4
3.
曲线y
ex
3sinx
1在点（0，2）处的切线方程为（
）
A.y2x2
B.
y
2x2
C.
y2x3D.y
2x3
4.曲线yex3sinx1在点（0，2）处的法线方程为（）
A.y
1x2B.y
1x2C.y
1x3D.y
1x3
2
2
2
2
5.
x2
1
lim
（）
x1sinx
A.0
B.
3
C.
4
D.5
6.设函数f（x）
x
1）（t
2）dt，则f（3）=（
）
（t
0
A1
B
2
C
3
D
4
7.
求函数y
2x4
4x3
2的拐点有（）个。
A1
B2
C4
D0
8.
当x
时，下列函数中有极限的是（
）。
A.
sinx
B.
1
C.
x
1
D.
arctanx
ex
x2
1
9.
已知f'（3）=2，lim
f（3
h）
f（3）
（
）。
h
0
2h
A.
3
B.
3
C.
1
D.-1
2
2
10.设
4
2
则
f（0）
为
f（x）
在区间
[
2,2]
上的（
）。
f（x）=x3x
5,
;..
..
A.极小值B.极大值C.最小值D.最大值
11.
设函数f（x）在[1,2]上可导，且f'（x）
0,f
（1）
0,f
（2）
0,则f（x）在（1,2）内
（
）
A.至少有两个零点
B.有且只有一个零点
C.没有零点
D.零点个数不能确定
12.
[f（x）
xf'（x）]dx
（
）.
A.f（x）C
B.f'（x）
C
C.xf（x）
C
D.f2（x）
C
13.已知yf2（lnx2），则y（C）
A.2f（lnx2）f（lnx2）B.4f（lnx2）C.4f（lnx2）f（lnx2）D.2f（lnx2）f（x）
x2xxx2
14.df（x）=（B）
A.
f'（x）
C
B.
f（x）
C.
f（x）
D.
f（x）
C
15.
2lnx
dx
（D）
x
lnxC
A.
2xlnx
C
B.
C.
2lnx
CD.
lnxC
2
x
16.
limx2
1
（）
x1lnx
A.2
B.
3
C.
4
D.
5
17.
设函数f（x）
x
1）（t
2）dt，则f
（2）=（
）
（t
0
A1
B
0
C
2
D
2
18.曲线yx3的拐点坐标是（）A.（0,0）B.（1,1）C.（2,2）D.（3,3）
19.已知yf
（lnx），则y
（A
）
A.
f（lnx）
B.
f（lnx）
C.
f（lnx）
D.
f（lnx）
x
x
20.ddf（x）
（A）
A.df（x）
B.
f（x）
C.
df
（x）D.
f（x）C
;..
..
21.lnxdx（A）
A.xlnxxCB.lnxxCC.lnxxD.lnx
二、求积分（每题8分，共80分）
1．求
cosx
．
sinxdx
2.
求
34
3lnxdx．
x
3.
求
arctanxdx．
3x
4.求edx
5.
求
x
3
dx．
x
2
5x
6
6.
8
dx
．
求定积分
3x
01
7.
计算
x2cosxdx．
0
8.
求
1
dx．
x
2
2x
8
9.
求
dx
．
1
3
x
2
11.
求
2
2xex2
dx
1
12.
求3x2
3
x3dx
13.
求
eln2x
1
dx
x
14.求x
3
x2dx
三、解答题
1.若lim3xax2x11,求a
x
6
2.讨论函数f（x）1x32x23x3的单调性并求其单调区间
3
;..
..
3.
求函数f（x）
x2
x2的间断点并确定其类型
x
2
4.
设xy2
sinx
exy,求y.
5.
求
y
（x
1）3x
2
的导数．
（x
3）5
6.
求由方程
x
acost
y
bsint
确定的导数yx.
1
ex,x0
7.
函数f（x）
1,x
0
在x
0处是否连续？
tanx,x
0
1
ex,x0
8.
函数f（x）
1,x
0
在x
0处是否可导？
tanx,x
0
9.
求抛物线y
x2与直线yx所围成图形D的面积A.
10.
计算由抛物线
y2
2x与直线yx4围成的图形D的面积A.
11.设y是由方程ysinyxey确定的函数，求y
12.求证：
lnxx1,x1
13.设y是由方程y1xey确定的函数，求y
14.讨论函数f（x）2x39x212x3的单调性并求其单调区间
15.求证：
ex2x1,
16.求函数f（x）
x（1
x3
）的间断点并确定其类型
x
x
五、解方程
1.
求方程y2dx
（x2
xy）dy0的通解.
2.
求方程yy
y2
0的通解.
;..
..
3.
求方程y
2y
y
x2的一个特解.
4.
求方程y
5y
9y
5xe3x的通解.
高数一复习资料参考答案
一、选择题
1-5：
DABAA
6-10：
DBCDD
11-15：
BCCBD
16-21：
ABAAAA
二、求积分
1．求cosx
sinxdx
．
3
解：
cosx
sinxdx
sinxd（sinx）
2sin2x
C
2
sin3x
C
3
3
2.
34
3lnx
．
求
dx
x
3
4
3lnx
（4
1
（4
3lnx）
31
1
d（43lnx）
解：
x
dx
3lnx）3d（lnx）
3
1（4
4
3lnx）3
C．
4
3.
求arctanxdx．
解：
设u
arctanx，dv
dx，即vx，则
arctaxndxx
arctxan
xd
（arxc
xarctanx
x
dx
1
2
x
xarctanx
1ln（1
x2）
C．
2
3x
4.求edx
3
3
xdxxt
et3t2dt3t2etdt3t2et
3et2tdt3t2et
6tetdt
解：
e
3t2et6tet6etdt3t2et6tet6etC
;..
..
3
3x2
23x2）C．
3ex（
x3
5.求x25x6dx．
解：
由上述可知
x
3
5
6
，所以
x2
5x
6
x
2
x
3
x2
x3
dx
（
5
6）dx
5
1
dx6
1dx
5x6
x2x3
x2
x3
5lnx
2
6ln
x
3
C．
8
dx
．
6.求定积分
3
01
x
解：
令3
xt，即x
t3，则dx
3t2dt
，且当x
0时，t
0；当x
8时，t
2，于是
8dx
23t2dt
1
t
2
t
ln（1
t）
2
01
3x
1t
3
3ln3．
0
2
0
7.计算
x2cosxdx．
0
解：
令ux2，dv
cosxdx，则du
2xdx，v
sinx，于是
0
x2cosxdx
x2dsinx（x2sinx）0
2xsinxdx2xsinxdx．
0
0
0
再用分部积分公式，得
x2cosxdx
2
xdcosx2
（xcosx）0
cosxdx
0
0
0
2
（xcosx）0
sinx0
2．
8.求
1
2
dx．
x
2x8
解：
x2
1
dx
1
d（x
1）
1ln3
（x1）
C
2x8
（x1）2
9
63
（x1）
1ln2
x
C．
64
x
9.求
dx
．
3x
1
2
解：
令u
3x
2，则x
u3
2，dx
3u2du，从而有
;..
..
1
dx
2
3u2
du
3
u2
11du
3
x
1
u
1
u
3（u1
1）du3（u2
uln1u）C
1
u
2
11.
求
2
2xex2
dx
1
2
2
dx
2
2
dx2
ex
2
2
e4
e1
解：
2xex
ex
1
1
1
12.
求3x2
3
x3dx
2
3
解：
3x23x3dx
3x3d（3x3）
（3x3）2
C
3
13.求eln2xdx
1x
eln2
x
e
1
e
1
1
ln
2
xd（lnx）
lnx
解：
dx
lne
1
x
1
3
1
3
3
14.求x
3x2dx
1
1
2
3
1
3
解：
x3x2dx
3x2d（3x2）
（3x2）2
C
（3x2）2
C
2
2
3
3
三、解答题
1.若lim3x
ax2
x
1
1,求a
x
6
解：
因为3x
ax2
x
1
9x2
ax2
x
1，所以a9
3x
ax2
x
1
否则极限不存在。
2.讨论函数f（x）1x32x23x3的单调性并求其单调区间
3
解：
f'（x）x24x3
;..
..
由f'（x）x24x30得x11,x23
所以f（x）在区间（,1）上单调增，在区间（1,3）上单调减，在区间（3,）上单调增。
3.求函数f（x）
x2
x2的间断点并确定其类型
x
2
解：
函数无定义的点为x
2，是唯一的间断点。
因limf（x）3知x
2是可去间断点。
x2
4.设xy2
sinx
exy,求y.
解：
y2
2xyy
cosxexy（yy）,
故y
y（exy
y）
cosx
x（2y
exy）
5.求y
（x1）3
x
2
的导数．
（x
3）5
解：
对原式两边取对数得：
1
lny
3ln（x1）
2ln（x2）5ln（x3）,
于是
y
3
1
1
5
y
x1
2
x2
x
3
故
y
（x1）3x2[3
1
1
5].
（x3）5
x12
x2x3
6.
求由方程
x
acost
确定的导数yx.
y
bsint
解:
yx
y（t）
bcost
b2
.x
x（t）
asint
a2
y
1
ex,x0
7.
函数f（x）
1,x0
在x
0处是否连续？
tanx,x0
;..
..
1
解：
lim
f（x）
limex
0
x0
x0
limf（x）
lim
tanx
0
x0
x0
故在x0处不连续。
1
ex,x0
8.函数f（x）
1,x
0
在x
0
处是否可导？
tanx,x
0
1
解：
因为lim
f（x）
f（0）
lim
ex
1
x
x
x0
x0
所以在x0处不可导。
9.求抛物线yx2与直线yx所围成图形D的面积A.
解:
y
x
x
0
x
1
，见图6-9，所以该图
求解方程组
y
x2得直线与抛物线的交点为
y
0
，
y
1
形在直线x
0与x=1
之间，y
x2为图形的下边界，y
x为图形的上边界，故
1
1
A
xx2
dx
1x2
x
3
1
0
2
0
3
0
1
.
6
10.计算由抛物线y22x与直线yx4围成的图形D的面积A.
;..
..
解：
求解方程组
y2
2x
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