高数一试题及答案.docx

1、高数一试题及答案. 高等数学 (一) 复习资料一、选择题1.若 limx2x k5 ，则 k（）x3x3A.3B.4C.5D.62.若 limx2k，则 k （）2x1x 1A.1B.2C.3D.43.曲线 yex3sin x1在点（ 0，2）处的切线方程为 ()A. y 2x 2B.y2x 2C.y 2x 3 D. y2x 34.曲线 y ex 3sin x 1在点（ 0，2）处的法线方程为 ( )A. y1 x 2 B. y1 x 2 C. y1 x 3 D. y1 x 322225.x21lim( )x1 sin xA. 0B.3C.4D.56. 设函数 f (x)x1)(t2)dt ，

2、则 f (3) =（）(t0A 1B2C3D47.求函数 y2x44x32 的拐点有（ ）个。A 1B 2C 4D 08.当 x时，下列函数中有极限的是（）。A.sin xB.1C.x1D.arctanxexx219.已知 f (3)=2 ， limf (3h)f (3)() 。h02hA.3B.3C.1D. -12210. 设42则f (0)为f (x)在区间2,2上的（）。f ( x)=x 3x5 ,;.A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值11.设函数 f ( x) 在 1,2 上可导，且 f ( x)0, f (1)0, f (2)0,则 f ( x) 在 (1,2)

3、内()A. 至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12. f (x)xf (x) dx().A. f (x) CB. f (x)CC. xf (x)CD. f 2 ( x)C13. 已知 y f 2 (ln x2 ) ，则 y ( C )A. 2 f (ln x2 ) f (ln x2 ) B. 4 f (ln x2 ) C. 4 f (ln x2 ) f (ln x2 ) D. 2 f (ln x2 ) f ( x)x2 x x x214.d f ( x) =( B)A.f ( x)CB.f (x)C.f (x)D.f ( x)C15.2ln xdx( D

4、)xln x CA.2x ln xCB.C.2ln xC D.ln xC2x16.lim x21( )x 1 ln xA. 2B.3C.4D.517.设函数 f (x)x1)(t2)dt ，则 f( 2)=（）(t0A 1B0C2D218.曲线 y x3 的拐点坐标是 ( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3)19. 已知 y f(ln x) ，则 y( A)A.f (ln x)B.f (ln x)C.f (ln x)D.f (ln x)xx20. d df ( x)( A)A. df ( x)B.f (x)C.df( x) D.f ( x) C;.21.ln x

5、dx ( A )A. x ln x x C B. ln x x C C. ln x x D. ln x二、求积分（每题 8 分，共 80 分）1求cos xsin xdx2.求3 43ln x dx x3.求arctan xdx 3x4.求 e dx5.求x3dx x25x66.8dx求定积分3 x0 17.计算x2 cosxdx 08.求1dx x22x89.求dx13x211.求22xe x2dx112.求 3x23x3 dx13.求e ln 2 x1dxx14.求 x3x2 dx三、解答题1. 若 lim 3x ax2 x 1 1 , 求 ax62.讨论函数 f (x) 1 x3 2x2

6、 3x 3的单调性并求其单调区间3;.3.求函数 f ( x)x2x 2 的间断点并确定其类型x24.设 xy2sin xexy ,求 y .5.求y(x1)3 x2的导数(x3)56.求由方程xa costyb sin t确定的导数 yx .1ex , x 07.函数 f ( x)1, x0在 x0 处是否连续？tan x, x01ex , x 08.函数 f ( x)1, x0在 x0 处是否可导？tan x, x09.求抛物线 yx2 与直线 y x 所围成图形 D 的面积 A .10.计算由抛物线y22x 与直线 y x 4 围成的图形 D 的面积 A .11.设 y 是由方程 y s

7、in y xey 确定的函数，求 y12. 求证： ln x x 1, x 113.设 y 是由方程 y 1 xey 确定的函数，求 y14. 讨论函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调性并求其单调区间15.求证： ex 2x 1,16. 求函数 f (x)x(1x3) 的间断点并确定其类型xx五、解方程1.求方程 y 2 dx(x 2xy)dy 0 的通解 .2.求方程 yyy 20的通解 .;.3.求方程 y2 yyx2 的一个特解 .4.求方程 y5 y9 y5xe 3x 的通解 .高数一复习资料参考答案一、选择题1-5： DABAA6-10： DBCDD11-15： BC

8、CBD16-21： ABAAAA二、求积分1求 cos xsin xdx3解： cosxsin xdxsin xd (sin x)2 sin 2 xC2sin 3 xC332.3 43ln x求dxx343ln x(41(43ln x)311d (4 3ln x)解：xdx3ln x) 3 d (ln x)31 (443ln x) 3C 43.求 arctan xdx 解：设 uarctan x， dvdx ，即 v x ，则a r c t axnd x xa r c txa nx d( a r xcx arctan xxdx12xx arctan x1 ln(1x2 )C 23x4.求 e

9、dx33x dx xtet 3t 2 dt 3 t2 et dt 3t 2et3 et 2tdt 3t 2et6 tet dt解： e3t 2et 6tet 6 et dt 3t 2 et 6tet 6et C;.33 x22 3 x 2) C 3e x (x35.求x2 5x 6 dx 解：由上述可知x356，所以x25x6x2x3x2x 3dx(56 )dx51dx 61 dx5x 6x 2 x 3x 2x 35ln x26lnx3C 8dx6. 求定积分30 1x解：令 3x t ，即 xt3 ，则 dx3t 2dt，且当 x0 时， t0 ；当 x8 时， t2 ，于是8dx2 3t

10、2dt1t2tln(1t)20 13 x1 t33ln 30207. 计算x2 cosxdx 0解：令 u x2 ， dvcosxdx ，则 du2xdx ， vsin x ，于是0x2 cosxdxx2d sin x ( x2 sin x) 02x sin xdx 2 xsin xdx 000再用分部积分公式，得x2 cosxdx2xd cos x 2(x cos x) 0cos xdx0002(x cos x) 0sin x 02 8. 求12dx x2x 8解：x21dx1d( x1)1 ln 3( x 1)C2x 8( x 1)296 3( x 1)1 ln 2xC 6 4x9. 求d

11、x3 x12解：令 u3 x2 ，则 xu32 ， dx3u 2du ，从而有;.1dx23u2du3u21 1 du3x1u1u3 (u 11 )du 3( u2u ln 1 u ) C1u211.求22xe x2dx122dx22dx2e x22e 4e 1解：2xe xe x11112.求 3x23x3 dx23解： 3x2 3 x3 dx3 x3 d (3 x3 )(3 x3 )2C313. 求 e ln 2 xdx1xe ln 2xe1e11ln2xd (ln x)ln x解：dxln e1x1313314.求 x3 x2 dx112313解：x 3 x2 dx3 x2 d (3 x

12、2 )(3 x2 ) 2C(3 x2 ) 2C2233三、解答题1. 若 lim 3xax2x11 , 求 ax6解：因为 3xax2x19x2ax2x1 ，所以 a 93xax2x1否则极限不存在。2.讨论函数 f (x) 1 x3 2x2 3x 3 的单调性并求其单调区间3解： f ( x) x2 4x 3;.由 f ( x) x2 4x 3 0 得 x1 1, x2 3所以 f (x) 在区间 ( ,1) 上单调增，在区间 (1,3) 上单调减，在区间 (3, ) 上单调增。3. 求函数 f ( x)x2x 2 的间断点并确定其类型x2解：函数无定义的点为 x2，是唯一的间断点。因 li

13、m f (x) 3 知 x2 是可去间断点。x 24. 设 xy2sin xexy ,求 y .解： y22xy ycos x exy ( y y ) ,故 yy( exyy)cos xx(2 yexy)5. 求 y(x 1)3x2的导数(x3)5解：对原式两边取对数得：1ln y3ln( x 1)2 ln( x 2) 5ln( x 3),于是y3115,yx 12x 2x3故y(x 1)3 x 2 3115 .( x 3)5x 1 2x 2 x 36.求由方程xa cost确定的导数 yx .yb sin t解 :yxy (t)b costb2. xx (t)a sin ta 2y1ex ,

14、 x 07.函数 f ( x)1, x 0在 x0 处是否连续？tan x, x 0;.1解： limf ( x)lim ex0x 0x 0lim f (x)limtan x0x 0x 0故在 x 0 处不连续。1ex , x 08. 函数 f ( x)1, x0在 x0处是否可导？tan x, x01解：因为 limf ( x)f (0)limex1xxx 0x 0所以在 x 0 处不可导。9. 求抛物线 y x2 与直线 y x 所围成图形 D 的面积 A .解:yxx0x1，见图 6-9，所以该图求解方程组yx2 得直线与抛物线的交点为y0，y1形 在 直线 x0 与 x=1之间 ， yx2 为 图 形的 下边 界 ， yx 为 图形 的 上边 界， 故11Ax x2dx1 x2x31020301.610. 计算由抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 围成的图形 D 的面积 A .;.解：求解方程组y22x