届上海市青浦区高三一模数学Word版附解析.docx

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届上海市青浦区高三一模数学Word版附解析

上海市青浦区2021届高三一模数学试卷

2020.12

一.填空题（本大题共12题，1・6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1.已知集合A=｛1,2,3,4｝,3=｛0,24,6,8｝,则从。

4=

2.函数），=2、的反函数是

123

3.行列式456中，元素3的代数余子式的值为

789

4

4.已知复数z满足z+—=0,则lzl=

z

5.圆锥底而半径为1c”?

，母线长为2（加，则其侧面展开图扇形的圆心角。

=

6.已知等差数列｛〃〃｝的首项《=1,公差d=2,其前〃项和为S“，则lim叱=

…S“

7.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，

其理论依据是：

设实数X的不足近似值和过剩近似值分别为2和4（。

力,C,d£ND,则ac

士是1・的更为精确的近似值，己知冬<〃<兰，试以上述"的不足近似值或和过a+c50750

22

剩近似值一为依据，那么使用两次“调日法”后可得"的近似分数为

7

8.在二项式（、/7+—1）5（4>0）的展开式中的系数与常数项相等，则。

的值是OV

2222

9.点A是椭圆6噌+誉=1与双曲线=1的一个交点，点E、尸2是椭圆G

的两个焦点，贝”A6IIA鸟I的值为

10.盒子中装有编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9的九个大小、形状、材质均相同的小球,从中随机任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是

（结果用最简分数表示）

11.记册为数列｛3"｝在区间（0,〃“（〃eN'）中的项的个数，则数列｛册｝的前100项的和

$00=

12.已知向量e的模长为1,平面向量〃？

、〃满足：

1加一2el=2,\n-e\=\,则〃?

.〃的取值范围是

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13.己知则“。

=〃”是“竺2=疯”的（）

2

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

14.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间中下列结论:

①垂直于同一条直线的两条直线互相平行:

②垂直于同一条直线的两个平面互相平行:

③垂直于同一个平面的两条直线互相平行:

④垂直于同一个平面的两个平面互相平行;其中正确的是（）

A.①②B.①④C.②③D.③④

jr1

15.已知顶点在原点的锐角a绕原点逆时针转过一后，终边交单位圆于「（-一,y）,则sina

63

的值为（）

A272-73

A.

6

-x

16.设函数/"）=<1

xeP

2鼻+W八25/6-1

66

D.

2a/6+1

6

，其中产、〃是实数集R的两个非空子集，又规定xeM

A（P）={y\y=f（x\xeP},A（M）={y\y=f（x\xeM]9则下列说法:

（1）一定有A（P）CI4M）=0;

（2）若PU〃hR，则A（P）UA（"）hR；

（3）一定有PD"=0：

其中正确的个数是（）

A.1B.2

（4）若PU"=R，则A（P）U4M）=R；

C.3D.4

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.如图，长方体A3c。

一A4G2中，AB=AD=\,4Al=2，点尸为0A的中点。

（1）求证：

直线平而R4C；

（2）求异面直线82与AP所成角的大小.

18,设函数/。

）=炉+1》一。

1,。

为常数.

（1）若/。

）为偶函数，求。

的值；

（2）设a>0,g（x）="D,xe（O,a］为减函数，求实数。

的取值范同x

19.如图，矩形ABC。

是某个历史文物展览厅的俯视图，点E•在上，在梯形OE8C区

域内部展示文物，OE是玻璃幕墙，游客只能在△AOE区域内参观，在AE上点0处安装一可旋转的监控摄像头，NMPN为监控角，其中M、N在线段。

石（含端点）上，且点M

在点N的右下方，经测量得知：

AO=6米，AE=6米，AP=2米，/MPN=上,记

4ZEPM=6（弧度），监控摄像头的可视区域△PMV的而积为S平方米.

（1）分别求线段PM、PN关于6的函数关系式，并写出。

的取值范围;

（2）求S的最小值.

20.已知动点M到直线x+2=0的距离比到点尸（1,0）的距离大1.

（1）求动点/所在的曲线。

的方程；

（2）已知点P（1,2）,A、8是曲线。

上的两个动点，如果直线P4的斜率与直线尸8的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值；

（3）已知点P（1,2）,A、8是曲线C上的两个动点，如果直线P4的斜率与直线08的斜率之和为2,证明：

直线过定点.

21.若无穷数列｛%｝和无穷数列｛々｝满足：

存在正常数A,使得对任意的〃eN*,均有

IaH-bnl

„｝具有关系尸（A）.

（1）设无穷数列｛勺｝和｛4｝均是等差数列,且q=2〃,bn=n+2（〃eN*）,

问：

数列｛4｝与｛"｝是否具有关系尸

（1）?

说明理由；

（2）设无穷数列｛玛｝是首项为1,公比为（的等比数列，a=。

7+1,

证明：

数列（凡｝与｛2｝具有关系P（A），并求A的最小值：

（3）设无穷数列｛4｝是首项为1,公差为d（deR）的等差数列，无穷数列仍”｝是首项为2,公比为q（qeN*）的等比数列，试求数列｛q｝与｛2｝具有关系P（A）的充要条件.

参考答案

一.填空题

1.{2,4}

2.y=log2x

3.-3

201

4.2

rr

5.7T

6.4

7.—

64

8.V2

9.21

10.—

18

11.284

12.[-1,8]

二.选择题

13.B

14.C

15.D

16.B

三.解答题

17.

（1）证明：

设AC和80交于点。

，则。

为30的中点，

连结尸。

，又丁尸是。

。

的中点，〃以小

又：

POu平面P4C,平而P4C,，直线〃平面R4C.

（2）由

（1）知：

PO〃BD、,

・•.异面直线BDX与AP所成的角就等于PO与”所成的角，，ZAPO即为所求,

，：

PA=PC=6,AO=/AC=孚且PO_LAO,乙乙

V2

，sinZAPO=M===l，Z.ZAPO=30°,

AP2

即异而直线BD,与AP所成角的大小为-.

18.

（1）•••/（X）为偶函数,且xeR,（一x）=/（x）,

即（一1）2+1一工一。

\=x2+\x-a\>即1一工一。

1=1工-41<=>1-X-6712=1I2,

，4o¥=0对一切xwR成立，/.a=0.

⑵・・・a>。

，且xe（。

/],.・.皿）=侬J+卜-叭八"八"XXX

任取0cx[<$<。

，

/\\.aaz4。

）一为）（xx,-a）

g（A）-gCq）=&+——占一一=（占一占）+—=——=

X|"X2-XjX2〜XjX2

0

又g（x）在区间（0,0上为减函数，，石玉一。

＜°，

即。

Aa>a\又a>0,/.0<«<1.

19.

（1）在中，ZEPM=6,庄=AE—AP=4米，4PEM=±,APME=--O,44

由正弦定理得:

PM_PE

sin/PEM一sin4PME

•P£xsinZPEM

••1iVl=

sinZPME

_2&_4

「sin弓—ejsine+cose

同理在△RVE中，由正弦定理得:

PNPE

sin/PEN-sin乙PNE

•…PExsin/PEN2y/22y/2

sinZP/VEsin（C-e）cos8

2

当M与七重合时，6=0；

当N与。

重合时，tanZAPD=3,即ZAPD=arctan3,

7[3434

6=加一——arctan3="-一arctan3,0<^<--—arctan3.

444

14

（2）△PMN的面积S=—PMxPNxsinNMPN=

2cos~8+sinSeos夕

48_8

一l1^+lsin2^一立】28+328+1-应M（28+马+1

224

:

0<^<--arctan3,工当26+土=£即d=££[0.—-arctan3J

44284

S取得最小值为Y—=8（&-1），

V2+1

A可视区域4PMN面积的最小值为8（&-1）平方米.

20.

（1）已知动点M到直线x+2=0的距离比到点尸（1。

）的距离大1，等价于动点M到直

线x=—l的距离和到点F（l,0）的距离相等，

由抛物线的定义可得曲线。

的方程为V=4x.

（2）设直线24的斜率为女，

•・♦直线24的斜率与直线尸8的斜率互为相反数，.♦•直线尸8的斜率为-4，

则%：

〉2=k（x-i）,lPB:

y-2=-A:

（x-1）,

y-2=k（x-i],>

4,06,2—4»，-4攵+8=0或公/一（24一4%+4次+（2—⑥2=0,

旷=4x

。

一”）24—"

即[6+Qk-4）]（y-2）=0,A可得即,；.,

kk

2=—攵（x—l）、））））

同理：

=依2+4>，-4攵-8=0或攵2/一（2攵2+4攵+4）工+（女+2）2=0,厂=4x

即［6+Qk+4）］（），-2）=0,•••可得.），

k,k

-4—2k4-2攵

:

%=一JJ=—l，即直线AB的斜率为定值一1.

八8（2+攵）2（23

Tk

（3）设直线P4的斜率为k,•••直线总的斜率为2-攵，

则/4：

y-2=Z（x-l），lPB:

y-2=-k（x-1），

y_2=Z（Dy2=4x

二>处，2一4），一软+8=0,

（2_八4一，*

即回+3-4）22）=。

，・・・可得4k‘二）,

y-2=（2-^）（x-l）.

同理得：

（，=（2-攵）『一4'+4k=0»

旷=4%

公2k即［（2一外y一2刈。

-2）=0,，可得——）,

（2-Ar）-2—k

2k4—2k

旌次-k_k（k-2）

~~P~~_（2-攵）2-k?

-2k+2（2-k）2-H

一2kk（k—2）/k2、k（k-2）,「、

".2-kk2-2k+2（2-4）,k?

-2k+2

，直线AB恒过（一1,0）.

21.

（1）*.*a„=2n,bn=n+2（/?

eN,）,

若数列｛4｝与也｝具有关系?

⑴，则对任意的〃eN*,均有

即12〃一（〃+2）1«1,亦即I〃-2K1,但〃=4时，Iw-2I=2>1,

・•.数列｛%｝与｛"｝不具有关系尸⑴.

（2）证明：

・.•无穷数列｛2｝是首项为1,公比为;的等比数列，.・.a“=（；）e

飞=.+1,.,也=$+1,

11o

，।%一K1=1（尸一（）“-11=1—5r<1,J数列｛%｝与也｝具有关系P（A），

设A的最小值为4，•••1。

〃一21<1,，,

22

若则当〃>k）g：

，一时，3”>

1一41一4

这与“对任意的〃eN”,均有Iq一“K4"矛盾，，&=1,即A的最小值为L

（3）;数列｛为｝是首项为1，公差为d（JeR）为等差数列，

无穷数列｛耳｝是首项为2,公比为4（qeN*）的等比数列，

29

/.aH=a1+（〃-l）d=d〃+l-d,b”=14（广"=一.q",设l-d=a,—=/?

>0,qq

则q广八+a,bu=bq\,?

eN\数列｛q｝与｛〃｝具有关系P（A）,

即存在正常数4,使得对任意的〃eN*,均有Iq—aKA,

（I）当d=0,q=l时，\an-bnI=I1-2I=1<1,

取A=l,则Iq—dKA,数列｛%｝与｛%｝具有关系尸（A）：

（H）当d=0,q22时，假设数列｛%｝与｛勿｝具有关系HA）,

则存在正常数A,使得对任意的〃eN.,均有

•••|21一1为凶。

〃一21,，对任意的〃eN"\bn\-\an\

14-A14-A

即M"l+A,,：

.n

这与“对任意的〃eN.，均有l%l-l4,KA”矛盾，不合：

（III）当1工0,乡=1时，假设数列｛凡｝与｛a｝具有性质PG4）,

则存在正常数A,使得对任意的〃eN",均有la〃—%KA,:

IqI-1bnl

即lqK2+A,\dn+a\<2+A,，Id〃I-1。

K2+A,/?

<|6?

|-+xIdI

这与“对任意的〃eN",均有lqJ-g”KA”矛盾，不合：

（IV）当dwO,qN2时,假设数列｛勺｝与｛%｝具有性质设（A）,

则存在正常数A,使得对任意的“eN”,均有Iq一2KA,

•••|a1-”凶。

〃一々1,，对任意的\hn\-\an\

/•bq41+。

I+AMdIn+1〃I+A,qn<—n+〔“〔十、,bb

设（=九>0,*二1=〃>0,则对任意的〃eN*,qn

・“"22”，，对任意的“eN"2”力?

+〃，可以证明：

存在N>1,当“〉N时，2〃>〃2,（利用/（〃）=2"-〃2单调性）

又2”九〃+〃，，/

〃+〃，BPn2-X7Z-/Z<0♦解得:

丸+，^+4//

0

2

这与对任意的〃eN”,2〃《九〃+〃矛盾，不合：

综上：

数列｛4｝与｛〃｝具有关系PG4）的充要条件为d=0，q=\.