精品 教案北师大版 八年级下册数学实际问题与一元一次不等式教师版提高.docx
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精品教案北师大版八年级下册数学实际问题与一元一次不等式教师版提高
实际问题与一元一次不等式
【学习目标】
1．会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题；
2.熟悉常见一些应用题中的数量关系．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系
1.行程问题：
路程＝速度×时间
2.工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
3.利润问题：
商品利润＝商品售价－商品进价，
4.和差倍分问题：
增长量＝原有量×增长率
5.银行存贷款问题：
本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率
6.数字问题：
多位数的表示方法：
例如：
.
【高清课堂：
实际问题与一元一次不等式409415小结：
】
要点二、列不等式解决实际问题
列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤：
（1）审：
认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
（2）设：
设出适当的未知数；
（3）列：
根据题中的不等关系，列出不等式；
（4）解：
解所列的不等式；
（5）答：
写出答案，并检验是否符合题意．
要点诠释：
（1）列不等式的关键在于确定不等关系；
（2）求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来；
（3）构建不等关系解应用题的流程如图所示．
（4）用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：
在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．如下面例1中“设还需要B型车x辆”，而在答中“至少需要11台B型车”．这一点要应十分注意．
【典型例题】
类型一、简单应用题
1.蓝天运输公司要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的汽车可供调用．已知A型汽车每辆最多可装该物资20吨，B型汽车每辆最多可装该物资15吨．在每辆车不超载的条件下，要把这300吨物资一次性装运完．问：
在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车多少辆？
【思路点拨】本题的数量关系是：
7辆A型汽车装载货物的吨数+B型汽车装货物的吨数≥300吨，由此可得出不等式，求出自变量的取值范围，找出符合条件的值．
【答案与解析】
解：
设需调用B型车x辆，由题意得：
，
解得：
，
又因为x取整数，所以x最小取11．
答：
在已确定调用7辆A型车的前提下至少还需调用B型车11辆．
【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．
举一反三：
【变式】（2015•香坊区二模）某商场共用2200元同时购进A、B两种型号的背包各40个，且购进A型号背包2个比购进B型号背包1个多用20元．
（1）求A、B两种型号背包的进货单价各为多少元？
（2）若该商场把A、B两种型号背包均按每个50元的价格进行零售，同时为了吸引消费者，商场拿出一部分背包按零售价的7折进行让利销售．商场在这批背包全部销售完后，若总获利不低于1350元，求商场用于让利销售的背包数量最多为多少个？
【答案】
解：
（1）设A型背包每个为x元，B型背包每个为y元，由题意得
，
解得：
．
答：
A、B两种型号背包的进货单价各为25元、30元；
（2）设商场用于让利销售的背包数量为a个，
由题意得，50×70a%+50（40×2﹣a）﹣2200≥1350，
解得：
a≤30．
所以，商场用于让利销售的背包数数量最多为30个．
答：
商场用于让利销售的背包数数量最多为30个．
类型二、阅读理解型
2.（2016•宁波）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套）
1.65
1.4
该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．
（1）该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问A种设备购进数量至多减少多少套？
【思路点拨】
（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意列方程组即可求得答案；
（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意得总资金不得超过69万元，列不等式即可求得答案．
【答案与解析】
解：
（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，
，解得：
，
答：
该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；
（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，
1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，
解得：
a≤10，
答：
A种设备购进数量至多减少10套．
【总结升华】能够读懂表格，会把文字语言转换为数学语言．
【变式】为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：
（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为 元；
（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为 立方米；
（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？
【答案】解：
（1）由表格中数据可得：
0≤x≤15时，水价为：
5元/立方米，
故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：
14×5=70（元）；
（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，
∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，
设小明家6月份使用水量为x立方米，
∴75+（x﹣15）×7=110，
解得：
x=20，
故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：
20﹣15=5（立方米），
故答案为：
5；
（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：
117+（a﹣21）×9≤180，
解得：
a≤28．
答：
小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．
类型三、方案选择型
3.某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A
B
载客量（人/辆）
45
30
租金（元/辆）
400
280
红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地校参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子填写下表：
车辆数（辆）
载客量
租金（元）
A
x
45x
400x
B
5﹣x
__________
___________
（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值；
（3）在
（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案．
【思路点拨】
（1）根据题意，载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，列出代数表达式即可；
（2）根据题意，表示出租车总费用，列出不等式即可解决；
（3）由
（2）得出x的取值范围，一一列举计算，排除不合题意方案即可．
【答案与解析】
解：
（1）∵载客量=汽车辆数×单车载客量，租金=汽车辆数×单车租金，
∴B型客车载客量=30（5﹣x）；B型客车租金=280（5﹣x）；
故填：
30（5﹣x）；280（5﹣x）．
（2）根据题意，400x+280（5﹣x）≤1900，解得：
x≤4
，
∴x的最大值为4；
（3）由
（2）可知，x≤4
，故x可能取值为0、1、2、3、4，
①A型0辆，B型5辆，租车费用为400×0+280×5=1400元，
但载客量为45×0+30×5=150＜195，故不合题意舍去；
②A型1辆，B型4辆，租车费用为400×1+280×4=1520元，
但载客量为45×1+30×4=165＜195，故不合题意舍去；
③A型2辆，B型3辆，租车费用为400×2+280×3=1640元，
但载客量为45×2+30×3=180＜195，故不合题意舍去；
④A型3辆，B型2辆，租车费用为400×3+280×2=1760元，
但载客量为45×3+30×2=195=195，符合题意；
⑤A型4辆，B型1辆，租车费用为400×4+280×1=1880元，
但载客量为45×4+30×1=210，符合题意；
故符合题意的方案有④⑤两种，最省钱的方案是A型3辆，B型2辆．
【总结升华】此题主要考查了一次不等式的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金关系是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：
①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?
【答案】
解：
设四座车租x辆，则十一座车租
辆．
依题意70×60+60x+（70-4x）×10≤5000，
将不等式左边化简后得：
20x+4900≤5000，
不等式两边减去3500得20x≤100，
不等式两边除以20得x≤5，
又∵
是整数，∴
，
．
答：
公司租用四座车l辆，十一座车6辆．
4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：
1200元/台、1600元/台、2000元/台．
（1）至少购进乙种电冰箱多少台？
（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？
【思路点拨】
（1）关系式为：
甲种电冰箱用款+乙种电冰箱用款+丙种电冰箱用款≤132000，根据此不等关系列不等式即可求解；
（2）关系式为：
甲种电冰箱的台数≤丙种电冰箱的台数，以及
（1）中得到的关系式联合求解．
【答案与解析】
解：
（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱（80-3x）台，
根据题意得1200×2x+1600x+（80-3x）×2000≤132000
解这个不等式得x≥14
∴至少购进乙种电冰箱14台；
（2）根据题意得2x≤80-3x
解这个不等式得x≤16
由
（1）知x≥14
∴14≤x≤16
又∵x为正整数
∴x=14，15，16．
所以，有三种购买方案
方案一：
甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台.
方案二：
甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台.
方案三：
甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台．
【总结升华】探求不等关系时，要注意捕捉“大于”、“超过”、“不少于”、“不足”、“至多”等表示不等关系的关键词，通过这些词语，可以直接找到不等关系．
【巩固练习】
一、选择题
1．毛笔每支2元，钢笔每支5元，现有的购买费用不足20元，则购买毛笔和钢笔允许的情况是（）
A．5支毛笔，2支钢笔B．4支毛笔，3支钢笔
C．0支毛笔，5支钢笔D．7支毛笔，1支钢笔
2．小明用100元钱去购买三角板和圆规共30件，已知三角板每副2元，每个圆规5元，那么小明最多能买圆规（）
A．12个B．13个C．14个D．15个
3．某风景区招待所有一两层客房，底层比二层少5间，一旅行团共有48人，若全部安排住底层，每间住4人，房间不够；而每间住5人，有的房间未住满；若全部安排住二层，每间住3人，房间也不够；每间住4人，有的房间未住满．这家招待所的底层共有房间（）A．9间B．10间C．11间D．12间
4．一个两位数，某个位数字比十位数字大2，已知这个两位数不小于20，不大于40，那么这个两位数是多少？
为了解决这个问题，我们可设个位数字为x，那么可列不等式（）．
A．20≤10（x-2）+x≤40B．20＜10（x-2）+x＜40
C．20≤x-2+x≤40D．20≤10x+x-2≤40
5．（2016•雅安）“一方有难，八方支援”，雅安芦山4•20地震后，某单位为一中学捐赠了一批新桌椅，学校组织初一年级200名学生搬桌椅．规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ）
A．60B．70C．80D．90
6．（2014•射阳县校级模拟）现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）
A．4辆B．5辆C．6辆D．7辆
二、填空题
7．若
，试用
表示出不等式
的解集.
8．有10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收0.8万元，若要使总收入不低于15.6万元，则至多只能安排_______人种甲种蔬菜．
9．某种肥皂零售价每块2元，对于购买两块以上（含两块），商场推出两种优惠销售办法：
第一种为一块按原价，其余按原价的七折优惠；第二种为全部按原价的八折优惠．在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂______块．
10．韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油．现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排A队的车，每车坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满．若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够；每辆车坐5人，有的车未坐满．A队有出租车__________辆．
11．（2016春•阿荣旗期末）某工程队计划在10天修路6千米，施工前2天修完1.2千米，计划发生变化，准备提前2天完成修路任务，则以后几天内平均每天至少要修 千米．
12．一艘轮船上午6：
00从长江上游的A地出发，匀速驶往下游的B地，于11：
00到达B地，计划下午13：
00从B地匀速返回，如果这段江水流速为3km/h，且轮船在静水中的往返速度不变，那么该船至少以 km/h的速度返回，才能不晚于19：
00到达A地．
三、解答题
13．在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球（每场得分均为整数）．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．
（1）用含x的代数式表示y；
（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少?
（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？
14．某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示，经过预算，本次购买机器耗资不能超过34万元．
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（个）
100
60
（1）按该公司要求可以有几种购买方案？
（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？
15．某单位计划10月份组织员工到杭州旅游，人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量都较好，且组织到杭州旅游的价格都是每人200元，该单位联系时，甲旅行社表示可以给予每位旅客7.5折优惠；乙旅行社表示可免去一带队领导的旅游费用，其他游客8折优惠，问该单位怎样选择，可使其支付的旅游总费用较少？
16．某村为解决村民出行难的问题，村委会决定将一条长为1200m的村级公路硬化，并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工．并将该项工程承包给甲、乙两工程队来施工，若甲、乙两队做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工．
（1）问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D；
【解析】代入验证．
2．【答案】B；
【解析】设买圆规
件，由题意得：
≤100，得
≤
，且
为正整数，所以
最大取13．
3．【答案】B；
【解析】设底层有房间
间，由题意得：
得：
，又
为正整数，所以
．
4．【答案】A；
5.【答案】C．
【解析】解：
设可搬桌椅x套，即桌子x张、椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需
人，
根据题意，得：
2x+
≤200，解得：
x≤80，∴最多可搬桌椅80套，故选：
C．
6．【答案】C；
【解析】解：
设甲种运输车安排x辆，乙种运输车安排y辆，
根据题意得
，解得：
x≥6，
故至少甲要6辆车．
故选C．
二、填空题
7．【答案】
；
【解析】因为
，所以
，原不等式可化为：
，两边同除以（
），得
8．【答案】4；
【解析】设安排
人种甲种蔬菜，可得
≥15.6，得
≤4．
9．【答案】4；
【解析】解：
设要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，需要购买肥皂x块，则：
2+0.7•2（x-1）＜0.8•2x，得：
x＞3．最少需要购买肥皂4块时，第一种办法比第二种办法得到的优惠多．
10．【答案】10；
11．【答案】0.8
【解析】设以后几天平均每天修路x千米，根据题意得（10﹣2﹣2）x≥6﹣1.2，
解得x≥0.8．即以后几天平均每天修路0.8千米．
12．【答案】33；
【解析】解：
设船xkm/h的速度返回，根据题意得出：
6（x﹣3）≥5（x+3）
解得：
x≥33，
∴该船至少以33km/h的速度返回，才能不晚于19：
00到达A地．
故答案为：
33．
三、解答题
13．【解析】
解：
（1）因为前5场比赛的平均得分为x，则前5场比赛的得分之和为5x，故有
．
（2）依题意：
y-x＞0，
则有：
，解得：
x＜17．
所以小方前5场比赛中总分的最大值应为：
17×5-1＝84（分）．
（3）由题意，小方在这10场比赛中得分至少为18×10+1＝181（分）．
设他在第10场比赛中的得分为S．则有
84+（22+15+12+19）+S≥181，解得S≥29．
答：
小方在第10场比赛中的得分的最小值为29分．
14．【解析】
解：
（1）设购买甲种机器x台，乙种机器（6-x）台．
由题意，得7x+5（6-x）≤34．
解不等式，得x≤2，故x可以取0，l，2三个值，
所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：
不购买甲种机器，购买乙种机器6台；
方案二：
购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；
方案三：
购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；
（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，日生产量6×60＝360（个）；按方案二购买，所耗资金为1×7+5×5＝32（万元），日生产量为1×100+5×60＝400（个），按方案三购买，所耗资金为2×7+4×5＝34（万元）；日生产量为2×100+4×60＝440（个）．因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380（个），又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二．
15．【解析】
解：
设该单位到杭州旅游的人数为x人，选择甲旅行社所需费用为
元；选择乙旅行社所需费用为
元，则
，
200（x-l）×0.8=160x-160，
＝150x-160x+160＝160-10x．
（1）若160-10x＞0，即x＜16时，
；
（2）若160-10x＝0，即x＝16时，
；
（3）若l60-10x＜0，即x＞16时，
．
∴当旅游人数为16人时，选择甲、乙两旅行社中任何一家都行．
当旅游人数在10～15人之间时，选择乙旅行社，
当旅游人数在17～25人之间时，选择甲旅行社．
16．【解析】
解：
（1）设甲单独做需要用x天，乙单独做需要y天，根据题意可得：
，
解得：
．
答：
甲单独做需要用20天，乙单独做需要30天；
（2）甲的工效：
1200÷20=60，乙的工效：
1200÷30=40，
∵2×20=40＞35，
∴设乙需要做a天，由题意可得：
2×
+a≤35，
解得：
a≥15．
答：
乙工程队至少要施工15天．
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