全国成人高考数学模拟试题及答案.docx
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全国成人高考数学模拟试题及答案
2014年成人高考数学模拟题1
10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的。
1)已知集合
Mx|1x3,Bx|2x1,则MB(B)
6)设
D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EBFC
A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱
9)执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M(
7B.
2
20A.
3
16C.
5
15D.
8
10)已知抛物线C:
y2x的焦点为F,Ax0,y是C上一点,
A.1B.2C.4D.8
5
AF4x0,则x0
xya,
11)设x,y满足约束条件且zxay的最小值为7,则a
xy1,
A.-5
C.-5或3
B.3
D.5
或-3
12)已知函数f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是
A.2,
B.
C.
2D.
第II卷
4小题,每小题5分
13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.
14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市;
由此可判断乙去过的城市为.
x1
e,x1,
15)设函数fx1则使得fx2成立的x的取值范围是.
x3,x1,
16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰
角MAN60,C点的仰角CAB45以及MAC75;从C点测得MCA60.
已知山高BC100m,则山高MNm.
.
17)(本小题满分12分)
已知an是递增的等差数列,a2,a4是方程x25x60的根。
(I)求an的通项公式;
(II)求数列ann的前n项和.
从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得
如下频数分布表:
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125)
频数
6
26
38
22
8
I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的
产品至少要占全部产品的80%”的规定?
(19)(本题满分12分)
如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.
(1)证明:
B1CAB;
2)若ACAB1,CBB160,BC1,求三棱柱ABCA1B1C1的高.
已知点P(2,2),圆C:
x2y28y0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段
AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当OPOM时,求l的方程及POM的面积
21)(本小题满分12分)
1a2
设函数fxalnxxbxa1,曲线yfx在点1,f1处的切线斜率为0
(1)求b;
a
(2)若存在x01,使得fx0a,求a的取值范围。
a1
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写
清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-1,几何证明选讲
如图,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与
DC的延长线交于点E,且CBCE.
(I)证明:
DE;
(II)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,
证明:
ABC为等边三角形.
(23)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
x2y2x2t
y22t
已知曲线C:
xy1,直线l:
(t为参数)
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求PA的最大值与最小
值.
24)(本小题满分10分)选修4-5;不等式选讲
11
若a0,b0,且ab
ab
33
(I)求ab的最小值;
(II)是否存在a,b,使得2a3b6?
并说明理由.
参考答案
1-5.BABDA6-10.CCBDC11-12.BA
二、填空题
13.214.A15.(,8]16.150
3
三、解答题
17.解:
a22,a4
1)方程x25x60的两个根为2,3,由题意得因为
1
设数列{an}的公差为d,则a4a22d,故d,从而a1
2
1
所以{an}的通项公式为ann1
2
2)设{ann}的前n项和为Sn,由
(1)知annnn12,则
2n2n2n
S34n1n2
n23...nn1
22232n2n1
134n1n2
Sn34...n1n2
223242n12n2
①-②得
1311n1n2
Sn34...n1n2
2423242n12n2
31(11)n2
442n12n2
n4
所以,Sn2nn14
2n
18.解:
1)
4分
806902610038110221208
(2)质量指标值的样本平均数为x100
100
质量指标值的样本方差为
所以,这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值为104.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
38228
(3)依题意=68%<80%
100
所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产
品的80%”的规定。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
19.
(1)证明:
连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,因为侧面
BB1C1C为菱形,所以B1CBC1
又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故
B1C平面ABO
AB平面ABO,故B1CAB
6分
2)解:
做ODBC,垂足为D,连接AD,做OHAD,垂足为H。
BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC
又OHAD,所以OH平面ABC
11
ACAB1,所以AOB1C
212
OHADODOA,且ADOD2OA27,得OH21
414
20.解:
(1)方法一:
C的方程可化为x2(y4)216,所以,圆心为C(0,4),半径为4,
CMMP0,故
x(2x)(y4)(2y)0,即(x1)2(y3)22
方法二:
C的方程可化为x2(y4)216,所以,圆心为C(0,4),半径为4,
设M(x,y),
y2y4
设kAB,kCM,
x2x
y4
则kAB,kCMx2x
所以kABkCM1
x2x
化简得,x2y22x6y80,即(x1)2(y3)22
所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22
2)方法一:
由
(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆
|OP||OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,
又P在圆N上,从而ONPM
1
因为ON的斜率为3,所以l的斜率为1,
3
所以l的方程为y1x8
33
又|OM||OP|22,O到l的距离为410,|PM|410,所以POM的面积为
55
16
5
方法二:
依题意,|OP|22,因为|OM||OP|22
所以,M也在x2y28上
所以x2
x2
y28
2
y22x6y80
18
两式相减,得2x6y160,即yx,此方程也就是l的方程
33
1)知,M的轨迹方程是(x1)2(y3)22,
设此方程的圆心为N,则N(1,3)
又|NP|(12)2(32)22
所以,
S1841016
SPOM21055
1816
综上所述,l的方程为y1x8,POM的面积为16
335
a
21.
(1)解:
f(x)(1a)xb
x
f
(1)a(1a)b0
解得b1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
1a
2)解:
f(x)的定义域为(0,),由
(1)知,f(x)alnx1ax2x,
2
a1aa
f(x)(1a)x1(x)(x1)
xx1a
1a
(ⅰ)若a,则1,
21a
故当x(1,)时,f(x)0,f(x)在(1,)单调递增,
aa
所以,存在x01,使得f(x0)的充要条件为f
(1)
a1a1
1aa
即1,
2a1
解得21a21
1a
(ⅱ)若a1,则1,
21a
故当x(1,a)时,f(x)0;
1a
当x(a,)时,f(x)0;
1a
所以f(x)在(1,a)单调递减,在(a,)单调递增,
1a1a
22.(本小题满分10分)
1)证明:
由题设得,A,B,C,D四点共圆,所以,DCBE
又CBEE,故AE,由
(1)知,DE,所以ADE为等边三
角形。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
23.解:
x2cos
(1)曲线C的参数方程为xcos(为参数)
y3sin
直线l的普通方程为2xy60
则|PA|d
sin30
d5|4cos3sin6|5
25
|5sin()6|,其中为锐角,且tan
5
sin()1时,|PA|取得最大值,最大值为225
5
当sin()1时,|PA|取得最小值,最小值为25⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
5
24.解:
112
(1)由ab,得ab2,且当ab2时等号成立
abab
故a3b32a3b342,且当ab2时等号成立
所以a3b3的最小值为42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
(2)由
(1)知,2a3b26ab43
由于436,从而不存在a,b,使得2a3b6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分