简单的线性规划问题.docx

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简单的线性规划问题

线性规划问题

一、知识归纳

1．二元一次不等式（组）的解集所表示的图形——平面区域（组为相交区域）：

先用“直线定界”，再判断哪侧：

法1：

只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

法2：

A＞0时Ax+By+C＞0右（上或下）侧

Ax+By+C＜0左（上或下）侧

法3：

B＞0时Ax+By+C＞0（左或右）上方

Ax+By+C＜0（左或右）下方

包括边界画实线，否则画成虚线

2．有关概念：

①线性约束条件：

关于x、y的一组不等式，称线性约束条件．

②线性目标函数：

欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式:

z=ax+by

③线性规划问题：

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．

由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解（无,几个,无数个）

3．解线性规划应用问题的步骤：

（1）设:

设变量列出约束条件和目标函数；

（2）画:

画出线性约束条件表示的可行域；

（3）移:

在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；

移的方法：

目标函数

：

越向右方移z越大，越向左方移z越小;

越向右方移Z越小，越向左方移Z越大

（4）求:

通过解方程组求出最优解；

（5）答:

作答。

二、典型例题

题型一：

不等式与区域的对应

例1.

（1）3x+ay-6<0（a>0）表示的平面区域是直线3x+ay-6=0的点的集合（）

A、左上方B、右上方

C、左下方D、右下方

（2）点（-2，t），在直线2x-3y+6=0的上方，则t的取值范围是。

（3）、不等式组

表示的平面区域内的整点共有个。

（4）求不等式

表示的平面区域的面积。

解：

先将原不等式化为以下四个不等式组：

再在坐标系中画出相应的平面区域：

最后求出面积为S=8（单位）

[思维点拔]去掉绝对值转化为二元一次不等式组。

（5）（2010浙江理数）若实数x，y满足不等式组

且

的最大值为9，则实数m=

（A）

（B）

（C）1（D）2

练习：

画区域:

；

；

题型二：

线性规划有关问题

例2

（1）设f（x）=ax2c，并且4f

（1）1，1f

（2）5，那么f（3）适合的条件是（）

（A）7f（3）26（B）4f（3）5

（C）1f（3）20（D）

f（3）

（2）已知a、b是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的两个实数根，x1（0,1），x2（1,2）．则

的范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

（3）已知实系数方程

的两个实数根分别是

，且

则

的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

例3.设x,y满足约束条件

求：

（1）z=6x+10y+1最值

（2）z=2x-y最值

（3）z=-2x+y最值

（4）求

的最大值；

（7）

的最小值

何时有无数解？

何时无解？

何是唯一解？

题型三：

线性规划的应用

步骤：

（1）设

（2）画（3）移（4）求（5）答

例4．某人有楼房一幢，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收入？

说明:

有关求整点问题是个难点.一般有打网格描整点找靠近整点或逐步调整法

例6.（2009江苏卷）设a为实数，函数

.

（1）若

，求

的取值范围；

（2）求

的最小值；

（3）设函数

，直接写出（不需给出演算步骤）不等式

的解集.

分类讨论；二次方程根不能很好解怎办？

根的分布！