计算机二进制八进制十六进制及反码原码补码逻辑运算.docx

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计算机二进制八进制十六进制及反码原码补码逻辑运算

二进制数据的表示法　　

二进制数据也是采用位置计数法，其位权是以2为底的幂。

例如二进制数据110.11，逢2进1，其权的大小顺序为22、21、20、2-1、2-2。

对于有n位整数，m位小数的二进制数据用加权系数展开式表示，可写为：

（a（n-1）a（n-2）...a0...a（-m））2

=a（n-1）*2（n-1）+a（n-2）*2（n-2）+...a*2（0）...+a（-m）*2（-m）

二进制数据一般可写为：

（a（n-1）a（n-2）…a

（1）a（0）.a（-1）a（-2）…a（-m））2。

注意：

1.式中aj表示第j位的系数，它为0和1中的某一个数。

2.a（n-1）中的（n-1）为下标，输入法无法打出所以用括号括住，避免混淆。

3.2^2表示2的平方，以此类推。

【例1102】将二进制数据111.01写成加权系数的形式。

解：

（111.01）2=（1×2^2）+（1×2^1）+（1×2^0）+（0×2^-1）+（1×2^-2）　　

二进制和十六进制，八进制一样，都以二的幂来进位的。

二进制运算

二进制数据的算术运算的基本规律和十进制数的运算十分相似。

最常用的是加法运算和乘法运算。

1.二进制加法运算

有四种情况：

0+0=0　　0+1=1　　1+0=1　　1+1=10　　ps:

0进位为1　　

【例1103】求（1101）2+（1011）2的和　　

解：

　　1101　　

+1011　　

-------------------　

11000

2.二进制乘法运算

有四种情况：

0×0=0　　1×0=0　　0×1=0　　1×1=1　　

【例1104】求（1110）2乘（101）2之积　　

解：

　　1110　　

×101　　

-----------------------　　

1110　　

0000　　

1110　　

-------------------------　　

1000110　　

（这些计算就跟十进制的加或者乘法相同，只是进位的数不一样而已,十进制的是到十才进位这里是到2就进了）　　

3.二进制减法　　0－0=0，1－0=1，1－1=0，10－1=1。

4.二进制除法　　0÷0=0，0÷1=0，1÷1=1，1÷0=0（无意义）　　

5.二进制拈加法　　

拈加法二进制加减乘除外的一种特殊算法。

拈加法运算与进行加法类似，但不需要做进位。

此算法在博弈论（GameTheory）中被广泛利用　　

计算机中的十进制小数转换二进制　　

计算机中的十进制小数用二进制通常是用乘二取整法来获得的。

比如0.65换算成二进制就是：

0.65*2=1.3取1，留下0.3继续乘二取整　　

0.3*2=0.6取0，留下0.6继续乘二取整　　

0.6*2=1.2取1，留下0.2继续乘二取整　　

0.2*2=0.4取0，留下0.4继续乘二取整　　

0.4*2=0.8取0，留下0.8继续乘二取整　　

0.8*2=1.6取1，留下0.6继续乘二取整　　

0.6*2=1.2取1，留下0.2继续乘二取整　　

.......　　

一直循环，直到达到精度限制才停止（所以，计算机保存的小数一般会有误差，所以在编程中，要想比较两个小数是否相等，只能比较某个精度范围内是否相等）。

这时，十进制的0.65，用二进制就可以表示为：

1010011。

还值得一提的是，在目前的计算机中，除了十进制是有符号的外，其他如二进制、八进制、16进制都是无符号的。

在现实生活和记数器中，如果表示数的“器件”只有两种状态，如电灯的“亮”与“灭”，开关的“开”与“关”。

一种状态表示数码0，另一种状态表示数码1，1加1应该等于2，因为没有数码2，只能向上一个数位进一，就是采用“满二进一”的原则，这和十进制是采用“满十进一”原则完全相同。

1+1=10，10+1=11，11+1=100，

100+1=101，101+1=110，110+1=111，111+1+=1000，……　　

可见二进制的10表示二，100表示四，1000表示八，10000表示十六，……。

二进制同样是“位值制”。

同一个数码1，在不同数位上表示的数值是不同的。

如11111，从右往左数，第一位的1就是一，第二位的1表示二，第三位的1表示四，第四位的1表示八，第五位的1表示十六。

所谓二进制，也就是计算机运算时用的一种算法。

二进制只由一和零组成。

二进制是世界上第一台计算机上用的算法，最古老的计算机里有一个个灯泡，当运算的时候，比如要表达“一”，第一个灯泡会亮起来。

要表达“二”，则第一个灯泡熄灭，第二个灯泡就会亮起来。

　　二进制就是等于2时就要进位。

0=00000000　　1=00000001　　2=00000010　　3=00000011　　4=00000100　　5=00000101　　6=00000110　　7=00000111　　8=00001000　　9=00001001　　10=00001010　　……　　

即是逢二进一，二进制广泛用于最基础的运算方式，计算机的运行计算基础就是基于二进制来运行。

只是用二进制执行运算，用其他进制表现出来。

其实把二进制三位一组分开就是八进制,四位一组就是十六进制。

进制转换

　十进制数转换为二进制数、八进制数、十六进制数的方法：

二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数的方法：

按权展开求和法

1．二进制与十进制间的相互转换：

（1）二进制转十进制　　

方法：

“按权展开求和”　　

例：

（1011.01）2

=（1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0+0×2^（-1）+1×2^（-2））10　　

=（8+0+2+1+0+0.25）10　　

=（11.25）10　　

规律：

个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，......，依次递增，而十　　分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，......，依次递减。

注意：

不是任何一个十进制小数都能转换成有限位的二进制数。

（2）十进制转二进制　　

十进制整数转二进制数：

“除以2取余，逆序排列”（除二取余法）　　

例：

（89）10=（1011001）2　　

89÷2……1　　

44÷2……0　　

22÷2……0　　

11÷2……1　　

5÷2……1　　

2÷2……0　　

1　　

十进制小数转二进制数：

“乘以2取整，顺序排列”（乘2取整法）　　

例：

（0．625）10=（0．101）2　　

0.625X2=1.25……1　　

0.25X2=0.50……0　　

0.50X2=1.00……1　　

2.八进制与二进制的转换：

二进制数转换成八进制数：

从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每3位为一组用一位八进制数的数字表示，不足3位的要用“0”补足3位，就得到一个八进制数。

八进制数转换成二进制数：

把每一个八进制数转换成3位的二进制数，就得到一个二进制数。

八进制数字与二进制数字对应关系如下：

000->0100->4　　

001->1101->5　　

010->2110->6　　

011->3111->7　　

例：

将八进制的37.416转换成二进制数：

37．416　　

011111．100001110　　

即：

（37.416）8=（11111.10000111）2　　

例：

将二进制的10110.0011转换成八进制：

010110.001100　　

26.14　　

即：

（10110.011）2=（26.14）8

3．十六进制与二进制的转换：

二进制数转换成十六进制数：

从小数点开始，整数部分向左、小数部分向右，每4位为一组用一位十六进制数的数字表示，不足4位的要用“0”补足4位，就得到一个十六进制数。

　　十六进制数转换成二进制数：

把每一个十六进制数转换成4位的二进制数，就得到一个二进制数。

十六进制数字与二进制数字的对应关系如下：

0000->00100->41000->81100->C　　

0001->10101->51001->91101->D　　

0010->20110->61010->A1110->E　　

0011->30111->71011->B1111->F　　

例：

将十六进制数5DF.9转换成二进制：

5DF．9　　

010111011111．1001　　

即：

（5DF.9）16=（10111011111.1001）2　　

例：

将二进制数1100001.111转换成十六进制：

01100001．1110　　

61．E　　

即：

（1100001.111）2=（61.E）16

二进制、十六进制、十进制的快速转换

8421法

记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

　　下面列出四位二进制数xxxx所有可能的值（中间略过部分）　　

仅4位的2进制数快速计算方法十进制值十六进值　　

1111=8+4+2+1=15F　　

1110=8+4+2+0=14E　　

1101=8+4+0+1=13D　　

1100=8+4+0+0=12C　　

1011=8+0+2+1=11B　　

1010=8+0+2+0=10A　　

1001=8+0+0+1=99　　

....　　

0001=0+0+0+1=1　　

0000=0+0+0+0=00　　

二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

如（上行为二制数，下面为对应的十六进制）：

11111101，10100101，10011011　　

FD，A5，9B　　

反过来，当我们看到FD时，如何迅速将它转换为二进制数呢？

先转换F：

看到F，我们需知道它是15（可能你还不熟悉A～F这五个数），然后15如何用8421凑呢？

应该是8+4+2+1，所以四位全为1：

1111。

接着转换D：

看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？

应该是：

8+4+1,即：

1101。

　　所以,FD转换为二进制数，为：

11111101　　

由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。

比如，十进制数1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。

所以我们可以先除以16，得到16进制数:

被除数计算过程商余数　　

12341234/16772　　

7777/16413（D）　　

44/1604　　

结果16进制为：

0x4D2　　

然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式：

010011010010。

其中对映关系为：

0100--4　　

1101--D　　

0010--2　　

同样，如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。

下面举例一个int类型的二进制数：

01101101111001011010111100011011　　

我们按四位一组转换为16进制：

6DE5AF1B

原码、反码、补码

在计算机内，定点数有3种表示法：

原码、反码和补码。

原码就是二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。

反码表示法规定：

正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。

原码10010=反码11101（10010，1为符号码，故为负）　　（11101）二进制=-13十进制　　

补码表示法规定：

正数的补码与其原码相同；负数的补码是在其反码的末位加1。

1、原码、反码和补码的表示方法

（1）原码：

在数值前直接加一符号位的表示法。

例如：

符号位数值位　　

[+7]原=00000111B　　

[-7]原=10000111B　　

注意：

a.数0的原码有两种形式：

[+0]原=00000000B[-0]原=10000000B

b.8位二进制原码的表示范围：

-127～+127

反码

（2）反码：

正数：

正数的反码与原码相同。

负数：

负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。

例如：

符号位数值位　　

[+7]反=00000111B　　[-7]反=11111000B　　

注意：

a.数0的反码也有两种形式，即　　

[+0]反=00000000B　　[-0]反=11111111B　　

b.8位二进制反码的表示范围：

-127～+127

补码

（3）补码的表示方法　　

1）模的概念：

把一个计量单位称之为模或模数。

例如，

时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。

在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。

14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。

从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。

因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。

由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；

因此，在以12为模的系统中，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：

计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。

10和2对模12而言互为补数。

同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。

当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。

产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为8=256。

在计算中，两个互补的数称为“补码”。

2）补码的表示：

正数：

正数的补码和原码相同。

负数：

负数的补码则是符号位为“1”。

并且，这个“1”既是符号位，也是数值位。

数

值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。

也就是“反码+1”。

例如：

符号位数值位　　

[+7]补=00000111B　　[-7]补=11111001B　　

补码在微型机中是一种重要的编码形式，

请注意：

a.采用补码后，可以方便地将减法运算转化成加法运算，运算过程得到简化。

正数的补码即是它所表示的数的真值，而负数的补码的数值部份却不是它所表示的数的真值。

采用补码进行运算，所得结果仍为补码。

b.与原码、反码不同，数值0的补码只有一个，即[0]补=00000000B。

c.若字长为8位，则补码所表示的范围为-128～+127；进行补码运算时，应注意所得结果不应超过补码所能表示数的范围。

2．原码、反码和补码之间的转换

由于正数的原码、补码、反码表示方法均相同，不需转换。

　　在此，仅以负数情况分析。

（1）已知原码，求补码

例：

已知某数X的原码为10110100B，试求X的补码和反码。

解：

由[X]原=10110100B知，X为负数。

求其反码时，符号位不变，数值部分按位求反；

求其补码时，再在其反码的末位加1。

10110100原码　　

11001011反码，符号位不变，数值位取反　　

1+1　　

11001100补码　　

故：

[X]补=11001100B，[X]反=11001011B。

（2）已知补码，求原码

分析：

按照求负数补码的逆过程，数值部分应是最低位减1，然后取反。

但是对二进制数来说，先减1后取反和先取反后加1得到的结果是一样的，故仍可采用取反加1有方法。

例：

已知某数X的补码11101110B，试求其原码。

解：

由[X]补=11101110B知，X为负数。

采用逆推法　　　

11101110补码　　

11101101反码（末位减1）　　

10010010原码（符号位不变，数值位取反）　　

1．3．2有符号数运算时的溢出问题

请大家来做两个题目：

两正数相加怎么变成了负数？

？

？

1）

（+72）+（+98）=？

01001000B+72　　

+01100010B+98　　

10101010B-86　　

两负数相加怎么会得出正数？

？

？

2）

（-83）+（-80）=？

10101101B-83　　

+10110000B-80　　

01011101B+93　　

思考：

这两个题目，按照正常的法则来运算，但结果显然不正确，这是怎么回事呢？

答案：

这是因为发生了溢出。

如果计算机的字长为n位，n位二进制数的最高位为符号位，其余n-1位为数值位，采用补码表示法时，可表示的数X的范围是-2的n-1次幂≤X≤2的n-1次幂-1　　

当n=8时，可表示的有符号数的范围为-128～+127。

两个有符号数进行加法运算时，如果运算结果超出可表示的有符号数的范围时，就会发生溢出，使计算结果出错。

很显然，溢出只能出现在两个同符号数相加或两个异符号数相减的情况下。

对于加法运算，如果次高位（数值部分最高位）形成进位加入最高位，而最高位（符号位）相加（包括次高位的进位）却没有进位输出时，或者反过来，次高位没有进位加入最高位，但最高位却有进位输出时，都将发生溢出。

因为这两种情况是：

两个正数相加，结果超出了范围，形式上变成了负数；两负数相加，结果超出了范围，形式上变成了正数。

而对于减法运算，当次高位不需从最高位借位，但最高位却需借位（正数减负数，差超出范围），或者反过来，次高位需从最高位借位，但最高位不需借位（负数减正数，差超出范围），也会出现溢出。

在计算机中，数据是以补码的形式存储的，所以补码在c语言的教学中有比较重要的地位，而讲解补码必须涉及到原码、反码。

本部分演示作何一个整数的原码、反码、补码。

过程与结果显示在列表框中，结果比较少，不必自动清除，而过程是相同的，没有必要清除。

故需设清除各部分及清除全部的按钮。

测试时注意最大、最小正负数。

用户使用时注意讲解不会溢出：

当有一个数的反码的全部位是1才会溢出，那么它的原码是10000...，它不是负数，故不会溢出。

在n位的机器数中，最高位为符号位，该位为零表示为正，为一表示为负；其余n-1位为数值位，各位的值可为零或一。

当真值为正时，原码、反码、补码数值位完全相同；当真值为负时，原码的数值位保持原样，反码的数值位是原码数值位的各位取反，补码则是反码的最低位加一。

注意符号位不变。

总结

提示信息不要太少，可“某某数的反码是某某”，而不是只显示数值。

1.原码的求法:

（1）对于正数,转化为二进制数,在最前面添加一符号位（这是规定的）,用1表示负数,0表示正数.如:

00000000是一个字节,其中左边第一个0为符号位,表示是正数,其它七位表示二进制的值.其实,机器不管这些,什么符号位还是值,机器统统看作是值来计算.正数的原码、反码、补码是同一个数!

（2）对于负数,转化为二进制数,前面符号位为1.表示是负数.计算原码只要在转化的二进制数前面加上相应的符号位就行了.　　

2.反码的求法:

对于负数,将原码各位取反,符号位不变.　　

3.补码的求法:

对于负数,将反码加上二进制的1即可,也就是反码在最后一位上加上1就是补码了.

二进制的逻辑运算

基本概念

逻辑变量之间的运算称为逻辑运算。

二进制数1和0在逻辑上可以代表“真”与“假”、“是”与“否”、“有”与“无”。

这种具有逻辑属性的变量就称为逻辑变量。

计算机的逻辑运算的算术运算的主要区别是：

逻辑运算是按位进行的，位与位之间不像加减运算那样有进位或借位的联系。

逻辑运算主要包括三种基本运算：

逻辑加法（又称“或”运算）、逻辑乘法（又称“与”运算）和逻辑否定（又称“非”运算）。

此外，“异或”运算也很有用。

算法

逻辑加法（“或”运算）

逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示。

逻辑加法运算规则如下：

0+0=0，0∨0=0　　

0+1=1，0∨1=1　　

1+0=1，1∨0=1　　

1+1=1，1∨1=1　　

从上式可见，逻辑加法有“或”的意义。

也就是说，在给定的逻辑变量中，A或B只要有一个为1，其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1。

逻辑乘法（“与”运算）

逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示。

逻辑乘法运算规则如下：

0×0=0，0∧0=0，0·0=0　　

0×1=0，0∧1=0，0·1=0　　

1×0=0，1∧0=0，1·0=0　　

1×1=1，1∧1=1，1·1=1　　

不难看出，逻辑乘法有“与”的意义。

它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时，其逻辑乘积才等于1。

逻辑否定（非运算）

逻辑非运算又称逻辑否运算。

其运算规则为：

0=1非0等于1　　1=0非1等于0

异或逻辑运算（半加运算）

　　异或运算通常用符号"⊕"表示，其运算规则为：

0⊕0=00同0异或，结果为0　

0⊕1=10同1异或，结果为1　　

1⊕0=11同0异或，结果为1　　

1⊕1=01同1异或，结果为0　　

即两个逻辑变量相异，输出才为1