4第四章 曲线运动 万有引力定律.docx

4第四章 曲线运动 万有引力定律.docx

《4第四章 曲线运动 万有引力定律.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4第四章 曲线运动 万有引力定律.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

4第四章曲线运动万有引力定律

第四章曲线运动万有引力定律

[考点解读]

知识内容

要求

说明

1、运动的合成和分解

2、曲线运动中质点的速度沿轨道的切线方向，且必具有加速度

3、平抛运动

4、匀速率圆周运动，线速度和角速度，周期，圆周运动的向心加速度a=

2/R

5、万有引力定律，重力是物体在地球表面附近所受的地球对它的引力

6、万有引力定律的应用，人造地球卫星的运动（限于圆轨道）

7、宇宙速度

Ⅰ

Ⅰ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅱ

Ⅰ

不要求会推导向心加速度的公式

本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。

本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：

物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。

根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。

另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

平抛物体的运动

特点：

初速度水平，只受重力。

分析：

水平匀速直线运动与竖直方向自由落体的合运动。

规律：

水平方向Vx=V0，X=V0t

竖直方向Vy=gt，y=

合速度Vt=

[知识网络]

物体的运动

运动的合成与分解已知分运动求合运动叫运动的合成，已知合运动求分运动叫运动的分解。

运动的合成与分解遵守平行四边形定则

[解题方法指导]

[例题1]关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[　　　]

A．一定是直线运动

B．一定是曲线运动

C．一定是匀变速运动

D．可能是直线运动，也可能是曲线运动

[思路点拨]本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：

物体

运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速

度，这在一定程度上也增大了题目的难度．

[解题过程]若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1（A）所示，则合运动必为匀变速直线运动．

若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1（B）所示，则合运动必为曲线运动．

若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：

①合速度v与合加速度a不共线，如图5－1（C）所示．②合速度v与合加速度a恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．

由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动．

本题正确答案应为：

C和D．

[小结]正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变（无论其速度大小是否变化），必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．

[例题2]一只小船在静水中速度为u，若水流速度为v，要使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？

[思路点拨]小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向（即在静水中的航向）不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2（A）所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？

[解题过程]依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA，则

设船头垂直河岸渡河，如图5－2（B）所示，所需的时间为tB，则

比较上面两式易得知：

tA＞tB．又由于从A点到达对岸的所有路径中AB最短，故

[小结]

（1）如果物体同时参加两个（或两个以上）分运动，可以使之依次参加各分运动，最终效果相同，即物体同时参与的分运动是相互独立的、彼此互不干扰，称之为运动的独立性原理．

（2）通过本题对两个互成角度分运动的合成的研究方法已见一斑，关键就是正确使用矢量计算法则．为使之理解更深刻，请参看下面问题．

若已知小船在静水中航速为u，水流速度为v（v＞u），试用矢量运算法则研究船向何方向航行时，船被河水向下游冲的距离最小．

做有向线段AB，用以表示水流速度v，再以B端为圆心，以表示小船在静水中速度u大小的线段BC为半径做圆弧，得到图5－3．依矢量合成法则，该图中从A点向圆弧任意点C所做的有向线段，就应该是此状态下的合速度．

现从A点作圆的切线AD，（由图可知）显然有向线段AD所表示的即为向下游所冲距离最小时合速度．由图5－3也不难看出此时船头指向应由图中α角表示

【例3】小船在200m宽的河中横渡,水流速度为2m/s,船在静水中的航速是4m/s,求:

（1）小船怎样过河时间最短,最短时间是多少.

（2）小船怎样过河位移最小,最小位移是多少?

[

拓展]上题中如果水流速度是4m/s,船在静水中的航速是2m/s,求

（1）小船怎样过河时间最短,最短时间是多少?

（2）小船怎样过河位移最小,最小位移是多少?

[小结]解决这类问题时,首先要明确哪是合运动,哪是分运动,然后根据合运动和分运动的等时性及平行四边形定则求解,解题时要注意画好示意图.

【例4】如图所示，在离水面高H的岸边有人以大小为V0的速度匀速收绳使船靠岸。

当船与岸上的定滑轮水平距离为S时，船速是多大？

【解析】收绳时使船靠岸，船水平向左运动（船的实际运动方向）是合运动，其速度为V。

可看成是由两个运动的合运动：

即一个分运动是沿绳收缩方向，速度大小V1=V0；另一个是垂直绳的方向使绳摆动的方向，设速度大小为V2。

设此时绳与水平面的夹角为θ，则

由图可以看出：

一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个分速度，若与实际情况不符，则所分解得到的分速度毫无物理意义，所以，速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分解。

常用的思想方法就是先确定合运动的方向（物体实际运动的方向），然后分析这个合运动所产生的实际效果[一方面沿绳（杆）伸缩的效果；另一方面使绳（杆）转动的效果]以确定两个分速度的方向。

由此而构建一个绳拉物（或物拉绳）类运动的模型。

【例5】如图所示,在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下,小车匀速向右运动时,物体A的受力情况是（）

A、绳的拉力大于A的重力；

B、绳的拉力等于A的重力；

C、绳的拉力小于A的重力；

D、绳的拉力先大于A的重力，后变为小于A的重力；

[例题6]如图所示，水平圆盘上放一木块m，木块随着圆盘一起以角速度ω匀速转动，则物

体对圆盘的摩擦力为多少?

[分析与解答]物体随圆盘一起绕轴线转动，需要向心力，而竖直方向物体受到的重力mg、支持力N不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物体的静摩擦力．因此根据牛顿第二定律可求出物体受到的静摩擦力的大小：

f=F向=mω2r方向沿半径指向圆心．

[例题7]行星的平均密度为

，靠近行星表面的卫星，其运行周期为T，试证明

为一常数。

[分析与解答]将行星看作一球体，半径为R

则

对卫星，万有引力提供向心力，贴地运行轨道半径

代入上式得

，G为万有引力恒量，

是一个对任何行星都适用的常数。

可见，若近地卫星运行周期为T，则行星平均密度

点拨：

若不是近地卫星，利用环绕周期T和轨道半径可计算行星质量M和密度

。

，

[例题8]两颗人造卫星绕地球做圆周运动，周期之比

，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（）

卫星绕地球运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，由此将

根据以上式子得出

例2 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。

A球的质量为m1，B球的质量为m2。

它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。

设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。

【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有

B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有

【错解原因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。

没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力。

总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。

【分析解答】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。

A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。

据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有

同理m2在最高点有

m2球由最高点到最低点机械能守恒

【评析】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。

找出其中的联系就能很好地解决问题。

例3 从地球上发射的两颗人造地球卫星A和B，绕地球做匀速圆周运动的半径之比为RA∶RB=4∶1，求它们的线速度之比和运动周期之比。

设A，B两颗卫星的质量分别为mA，mB。

【错解原因】这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。

根据万有引力定律知道：

可见，在“错解”中把A，B两卫星的重力加速度gA，gB当作相同的g来处理是不对的。

【分析解答】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有

【评析】我们在研究地球上的物体的运动时，地面附近物体的重力加速度近似看做是恒量。

但研究天体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变化，g值是改变的。

例4 使一小球沿半径为R的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？

【错解】如图4-2所示，根据机械能守恒，小球在圆形轨道最高点A时的势能等于它在圆形轨道最低点B时的动能（以B点作为零势能位置），所以为

从而得

【错解原因】小球到达最高点A时的速度vA不能为零，否则小球早在到达A点之前就离开了圆形轨道。

要使小球到达A点（自然不脱离圆形轨道），则小球在A点的速度必须满足

式中，NA为圆形轨道对小球的弹力。

上式表示小球在A点作圆周运动所需要的向心力由轨道对它的弹力和它本身的重力共同提供。

当NA=0时，

【分析解答】以小球为研究对象。

小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力。

小球在圆形轨道最高点A时满足方程

根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B时的速度满足方程

解

（1），

（2）方程组得

轨道的最高点A。

例5用长L=1.6m的细绳，一端系着质量M=1kg的木块，另一端挂在固定点上。

现有一颗质量m=20g的子弹以v1=500m／s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2=100m／s的速度前进。

问木块能运动到多高？

（取g=10m／s2，空气阻力不计）

【错解】在水平方向动量守恒，有

mv1=Mv+mv2                                 

（1）

式①中v为木块被子弹击中后的速度。

木块被子弹击中后便以速度v开始摆动。

由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即

h为木块所摆动的高度。

解①，②联立方程组得到

v=8（v/s）

h=3.2（m）

【错解原因】这个解法是错误的。

h=3.2m，就是木块摆动到了B点。

如图4-3所示。

则它在B点时的速度vB。

应满足方程

这时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需要的向心力。

解

如果vB＜4m/s，则木块不能升到B点，在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动。

而木块在B点时的速度vB=4m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在B点时的能量为（选A点为零势能点）

两者不相等。

可见木块升不到B点，一定是h＜3.2m。

实际上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。

当木块运动到某一临界位置C时，如图4－4所示，木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力。

此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。

木块就从这个位置开始，以此刻所具有的速度vc作斜上抛运动。

木块所能到达的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最大高度之和。

【分析解答】如上分析，从式①求得vA=v=8m/s。

木块在临界位置C时的速度为vc，高度为

h′=l（1+cosθ）

如图所示，根据机船能守恒定律有

木块从C点开始以速度vc做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为

【评析】 物体能否做圆运动，不是我们想象它怎样就怎样这里有一个需要的向心力和提供向心力能否吻合的问题，当需要能从实际提供中找到时，就可以做圆运动。

所谓需要就是符合牛顿第二定律F向=ma向的力，而提供则是实际中的力若两者不相等，则物体将做向心运动或者离心运动。

衍射波传播过程中遇到孔和障碍物时，绕过孔和障碍物的现象叫波的衍射。

发生明显衍射的条件是孔、障碍物的尺寸与波长可比拟。

衍射是波特有的现象。

[学习感悟]

[实战训练场]

一、选择题（以下题目所给出的四个答案中，有一个或多个是正确的。

）

1．关于曲线运动下列叙述正确的是（　　）

A．物体之所以做曲线运动，是由于物体受到垂直于速度方向的力（或者分力）的作用

B．物体只有受到一个方向不断改变的力，才可能作曲线运动

C．物体受到不平行于初速度方向的外力作用时，物体做曲线运动

D．平抛运动是一种匀变速曲线运动

2．若已知物体的速度方向和它所受合力的方向，如图1所示，可能的运动轨迹是（）

3．河宽420m，船在静水中速度为4m／s，水流速度是3m／s，则船过河的最短时间为（）

A．140sB．105sC．84sD．

s

4．物体受到几个外力的作用而做匀速直线运动，如果撤去其中的一个力而保持其余的力的大小方向都不变，则物体可能做（）

A．匀减速圆周运动B．匀加速直线运动

C.平抛运动D.匀速圆周运动

5．下列关于平抛运动说法正确的是（）

A．在日常生活中，我们将物体以水平速度抛出后物体在空气中一定做平抛运动．

B．做平抛运动的物体水平位移越大，则说明物体的初速度越大．

C．做平抛运动的物体运动时间越长，则说明物体距离地面的竖直高度越大．

D．做平抛运动的物体落地时速度方向与水平方向夹角的正切值与时间成正比．

6．图2所示在皮带传动中，两轮半径不等，下列说法哪些是正确的?

（）

A．两轮角速度相等

B．两轮边缘线速度的大小相等

C．大轮边缘一点的向心加速度大于小轮边缘一点的向心加速度

D．同一轮上各点的向心加速度跟该点与中心的距离成正比

7．人造卫星在轨道上绕地球做圆周运动，它所受的向心力F跟轨道半径r的关系是（）

A．由公式

可知F和r成反比

B．由公式F=mω2r可知F和r成正比

C．由公式F=mωv可知F和r无关

D．由公式

可知F和r2成反比

8．由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么，卫星的（）

速率变大，周期变小

B．速率变小，周期变大

C．速率变大，周期变大

D．速率变小，周期变小

9．关于地球同步卫星，下列说法中正确的是（）

A.同步的含义是该卫星运行的角速度与地球的自转角速度相同

B．地球同步卫星的轨道一定与赤道平面共面

C．同步卫星的高度是一个确定的值

D．它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间

10．两行星A、B各有一颗卫星a和b，卫星的圆轨道接近各自行星表面，如果两行星质量之比MA：

MB=P，两行星半径之比RA：

RB＝q则两个卫星周期之比Ta：

Tb为（）

A．

B.

C.

二、填空题

11.一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的3倍，所需的向心力就比原来的向心力大40N，物体原来的向心力大小为________.

12.一根质量可以忽略不计的轻杆．它的一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定着一个质量为m的小球．使小球绕O轴在竖直平面内转动．在最低点小球受到轻杆作用力的方向是________,在最高点小球受到轻杆作用力的方向是__________________.

13.从高为5m的楼上，以5m/s的速度水平抛出一个小球，从抛出点到落地点的位移大小是_________________m.（g取10m/s2,结果保留一位有效数字．）

14.人造地球卫星运行轨道离地面的高度与地球半径R相等．已知地球表面的重力加速度为g，此卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度为__________________.

三、计算题

15．从距离地面1m的高度水平抛出两个物体，它们的速度分别为1m/s和2m/s，则它们落地时的速度大小之比是多少？

（g取10m/s2）

16．如图3所示，在光滑的水平面上有两个质量相同的球A和球B，A、B之间以及Ｂ球与固定点Ｏ之间分别用两段轻绳相连，以相同的角速度绕着O点做匀速圆周运动．

1）画出球A、B的受力图．

2）如果OB=2AB,,求出两段绳子拉力之比TAB:

TOB

[能力提升篇]

一、选择题（以下题目所给出的四个答案中，有一个或多个是正确的．）

1．关于运动合成的下列说法中正确的是（）

A.合速度的大小一定比每个分速度的大小都大

B．合运动的时间等于两个分运动经历的时间

C．两个匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动

D.只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动

2．游泳运动员以恒定的速率垂直河岸横渡，当水速突然增大时，对运动员横渡经历的路程、时间发生的影响是（）

A．路程增加、时间增加B．路程增加、时间缩短

C．路程增加、时间不变D．路程、时间均与水速无关

3．从同一高度、同时水平抛出五个质量不同的小球，它们初速度分别为v，2v，3v，4v，5v．在小球落地前的某个时刻，小球在空中的位置关系是（）

A．五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面平行．

B．五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面垂直．

C．五个小球的连线为一条直线，且连线与水平地面既不平行，也不垂直．

D．五个小球的连线为一条曲线．

4．如图1所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体与圆筒一起运动，物体相对桶壁静止．则（）

A．物体受到4个力的作用．

B．物体所受向心力是物体所受的重力提供的．

C．物体所受向心力是物体所受的弹力提供的．

D．物体所受向心力是物体所受的静摩擦力提供的．

5．一物体做平抛运动，在两个不同时刻的速度分别为v1和v2,时间间隔为Δｔ那么（）

A．v1和v2的方向一定不同．

B．若v2是后一时刻的速度，则v1

C．由v1到v2的速度变化量Δv的方向一定竖直向下．

D．

由v1到v2的速度变化量Δv的大小为

．

6．一个物体在光滑水平面上以初速度v做曲线运动，已知物体在运动过程中只受到水平恒力的作用，其运动轨迹如图2所示，那么，物体在由M点运动到N点的过程中，速度大小的变化情况是（）

A．逐渐增大．

B．逐渐减小．

C．先增大后减小．

D．先减小后增大．

7．下说法正确的是（）

A.同一物体在地球上的任何位置所受重力都相同．

B.把物体从地面移向空中，物体所受重力减小．

C.同一物体在赤道上受到的重力比两极大．

D.物体所受重力的方向与所受万有引力的方向一定不相同．

8．当一个做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的2倍时，则

A.卫星的线速度也增大到原来的2倍．

B.卫星所需向心力减小到原来的1/2倍．

C.卫星的线速度减小到原来的

倍．

D.卫星所需向心力减小到原来的1/4倍．

9．已知万有引力恒量G，则还已知下面哪一选项的数据，可以计算地球的质量（）

A.已知地球绕太阳运行的周期及地球中心到太阳中心的距离．

B.已知月球绕地球运行的周期及月球中心到地球中心的距离．

C.已知人造地球卫星在地面附近绕行的速度和运行周期．

D.已知地球同步卫星离地面的高度．

10．在太阳的活动期，地球大气受太阳风的影响而扩张，这样使一些在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，而开始下落．大部分垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的则会落到地面上给我们造成威胁和危害．那么太空垃圾下落的原因是（）

A.大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致的．

B.太空垃圾在燃烧过程中质量不断减小，根据牛顿第二运动定律，向心加速度就会不断增大，所以垃圾落向地面．

C.太空垃圾在大气阻力的作用下速度减小，那么它做圆运动所需的向心力就小于实际的万有引力，因此过大的万有引力将垃圾拉向了地面．

D.太空垃圾上表面受到的大气压力大于下表面受到的大气压力，所以是大气的力量将它推向地面的．

11．两个靠近的天体称为双星，它们以两者连线上某点O为圆心做匀速圆周运动，其质量分别为m1、m2，如右图所示，以下说法正确的是（）

A.它们的角速度相同．

B.线速度与质量成反比．

C.向心力与质量的乘积成正比．

D.轨道半径与质量成反比．

12．一辆汽车的质量为M，当它通过拱形桥时，可能因为速度过快而飞离桥面，导致汽车失去控制．所以为了车内车外人的安全，我们应该限制汽车的车速．这辆汽车要想安全通过拱形桥，在桥顶处车速不应该超过_________．已知拱形桥的曲率半径为R．

13．如图3所示，斜面倾角为θ，从此斜面上的A点以速度v0将一小球水平抛出，它落在斜面的B点处，则小球从A点到B点的运动时间为__________．

14．一根长为l的轻绳悬吊着一个质量为m的物体沿着水平方向以速度v做匀速直线运动，突然悬点遇到障碍物停下来，小球将_____________运动．此刻轻绳受到小球的拉力大小为___________.

15．一个物体做平抛运动，位移方向与水平方向之间的夹角为α，某时刻它的速度方向与水平方向之间的夹角为β，如图4所示，请证明

16．在距离地面1500m的高空，一架飞机正以v0＝360km/h的速度水平飞行，有一名跳伞运动员从机上落下，在离开飞机10s后张开降落伞，开始做匀速运动，跳伞运动员要准确地落到地面某处，应该在离开该处水平距离多远处开始跳下?

（假设水平方向运动不受降落伞影响，g取10m／s2）

[本章高考试题集合]

1.（2001春季）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

2．（2000年全国）在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为

。

设拐弯路段是半径为