立体几何10道大题.docx

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立体几何10道大题

立体几何练习题

四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC面ABCD，已知

ABC45，AB2，BC2.2，SBSC3

（1）设平面SCD与平面SAB的交线为I，求证：

1〃AB；

（2）求证：

SABC；

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，AD=AC=1，O

（2）证明：

AD—平面PAC

（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。

如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90,BC2AD,△PAB与厶PAD都是等边三角形.

（1）证明：

CD平面PBD;

（2）求二面角CPBD的平面角的余弦值.

如图，四棱锥P-ABCD中，PA丄底面ABCD,AC丄AD.底面ABCD为梯形，AB//DC,AB丄BC,PA=AB=BC=3，点E在棱PB上，且PE=2EB.

（I）求证：

平面PAB丄平面PCB;

（n）求证：

PD//平面EAC;

（川）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，平面

ABCDI平面ABPEAB，且ABBP2,ADAE1,AEAB，且AE//BP.

（1）设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN平面ABCD?

若存在，请证明；若不存在，请说明理由；

（2）求二面角DPEA的余弦值•

如图，在直三棱柱ABC-A1BQ1中，平面AiBC丄侧面AiABBi，且AAi=AB=2.

（1）求证：

AB丄BC;

3TI

（2）若直线AC与平面AiBC所成的角为一-，求锐二面角A-AiC-B的大小.

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD丄底面

ABCD.

（1）求证AB丄面VAD;

如图，在五面体

ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且/BAD=

，对角线AC与BD

相交于O,0F丄平面ABCD,BC=CE=DE=2EF=2.

（I）求证：

EF//BC;

（n）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.

AD//BC,ZBAD=90°,PA丄底面

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,

ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

（I）求证：

PB丄DM;

（n）求BD与平面ADMN所成的角.

10.

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,ADDCCB1,ABC60°，四边形ACFE

为矩形，平面ACFE平面ABCD,CF1.

（1）求证：

BC平面ACFE；

（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为（90°）,

试求cos的取值范围

立体几何试卷答案

【解析】

试題分析：

（1）匚ABUCDfv平面SC!

D,CDu平面SCD,人血〃平面ECQ,又［平面

妣与平面遜的交线为匚由线面平i亍的性嵐定理ffTBHim臬；⑵逹接现由余弦定理^AC=2?

取HG中点G』连接SGtA（j,则/

如囲以射线M加轴,以射绒佃为F轴，以射线口対卅由,以0为施建立空间直角坐标系

0-QG利用空间向址糠呵求出直觸如与面嗣所成ft的IE弦值.

试题解析；C1）证明；丁底面血CD为平（亍四边形

/.ABf/CD,

vAB圧平面SCO；CD匚平面SCD

/.ABf/^^SCD

又丁平面SCD与平面SAB的交线対1

.HIAB-4分

（2）证明：

连接AC,QABC45°,AB2,BC22,

由余弦定理得AC2,ACAB6分

取BC中点G，连接SG,AG，则AGBC.

QSBSC,SGBC,QSGIAGG,

BC面SAG,BCSA8•分

（川）如图，以射线OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，

建立空间直角坐标系Oxyz,

则从羽阴,6（0.72,0）.

S（0Q）D（血-2^0）SD=（^/2-2/2=0>-（0Q1》=（血,-2血厂0

砂=（血=（血』T）「BA=（忑Q0）-①血®=（72.-^30）

设平面SAB法问量为n=（^72）

科■SJ=72x—z—0、ini1e

；厂令工=1,则》=二圧=J2»n-BA=-jlx—2-^j2y—02

厂而\2而血-2血-4722

CO罰Fl,i£l}i==——=—

2-^TT-

因为AD=AC=1,二二—二「，所以_J

…辽分.

所tXl线血与面3所成角的正弦值为晋

2、试题解析：

（1）证明：

：

匸为AC的中点，即0为BD的中点，且M为PD的中点,

0M廿P&

又f二平面ACM，円乍平面ACM,

所以PB//平面ACM。

（2）证明：

因为—丄匸匸4_",AD=AC，所以―士二・,

所以LA-二，

又PO—平面ABCD，所以'■'-',-''-_二」-'■

所以AD—平面PAC。

（3）取OD的中点为N，因为’11•所以MN_平面ABCD，

所以一」匚二「为直线AM与平面ABCD所成角。

斗彳2

（1）证明见解析；

（2）试题解析：

（1）证明：

过P作PO平面ABCD于0,连OA•

依题意PAPBPD，则OAOB0D•又△ABD为Rt，故0为BD的中点.

•/P0面PBD,•••面PBD面ABCD•在梯形ABCD中，CD2DB2CB2,

T面ABCDC|面PBD』

CD丄平面FBD・

由⑴知切丄平面PSD?

又M+肿二沏S

.DP丄0P・

由三垂线定理知CP丄円・

二“PD为二面角C—BB—D的平面角,

4.【解答】（I）证明：

TPA丄底面ABCD,BC?

底面ABCD,：

PA丄BC.

又AB丄BC,PAAAB=A,•BC丄平面PAB.又BC?

平面PCB,：

平面PAB丄平面

PCB.…

（n）证明：

•••PC丄AD,

兀兀

•在梯形ABCD中，由AB丄BC,AB=BC，得/BAC==，•/DCA=/BAC=~

又AC丄AD，故△DAC为等腰直角三角形，

•DC=_】AC=.污（■「：

AB）=2AB.

DHJDCI

连接BD,交AC于点M，则---=〒-=2.

=Dffl

丽

=T"

连接〔“，在厶BPD中,

=2,•••PD//EM,

又PD?

/平面

EAC,EM?

平面EAC,「.PD//平面EAC.

（川）解：

以A为坐标原点,

AB,AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系•则A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2,

设，.=（X，y，1）为平面

i+y=0

2屮二0

AEC的一个法向量，则讥

1丄疋

■■

，讥1

=（0，2，

1），

1-"

2，y=-

~2，•门1

=2，

-2，

丄T■

解得x=

丄二丁

1）.

•••汀=（3，3，0），二

沪=（0，-3，3），

1）为平面PBC的一个法向量，则石;

，解得X，=0，yz=1，•••■：

=（0，

1，1）.

■/cosV

丄守，

AF可证心为平面PBC的一个法向量.

，和>=I

•平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为

（1）详见解析；

（2）-.

试题分析：

（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，证明MN平面ABCD，从而

MN即为所求；

（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解

试题解析：

（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN平面ABCD,

•/M为PD中点，N为BD中点，•••MN为PDB的中位线，二MN//PB,

又•••平面ABCD平面ABPE，平面ABCDI平面ABPEAB,BC平面

ABCD,BCAB,

丄平面ABPE,丄刃，泉丁PE丄血,=:

.PB丄平面ABCDf:

丄

平面ABCD.

（2）为原点，血込血所在直线分別为盘轴，F轴.£轴建立坐标系，

丄平面FEA,二平面去向量彳二忌二©QD,

又TQCO01）,恵（“仍,JX2.2.0）,.-.52=^0-1）,5?

=（1Z-1）,设平面①驱的法向量

_|,k_尼二君一1_—2

盹=（兀兀刁』贝r&令兀=1』信旳=（1厂一」）』「弋饰只理旳＞=一・

2z+2y-z=023

X-：

D-PE-A为锐二面角，二二面角D-FE-A的余萤值対-•

6【解答】（本小题满分14分）

（1）证明：

如右图，取AiB的中点D，连接AD，…

因AAi=AB，贝UAD丄AiB由平面AiBC丄侧面AiABBi,

且平面AiBCA侧面AiABBi=AiB。

得AD丄平面AiBC,又BC?

平面AiBC,所以AD丄BC.…

因为三棱柱ABCAiBiCi是直三棱柱，

则AAi丄底面ABC，所以AAi丄BC.又AAinAD=A，从而BC丄侧面AiABBi,

又AB?

侧面AiABBi，故AB丄BC.

（2）解：

连接CD，由（i）可知AD丄平面AiBC,

则CD是AC在平面AiBC内的射影

•••/ACD即为直线AC与平面AiBC所成的角，^UZACg——…

在等腰直角△AiAB中，AAi=AB=2，且点D是AiB中点

•汕斗釧B二Ji，且me二今，乙血二+二虬二辺…

过点A作AE丄AiC于点E,连DE

由（i）知AD丄平面AiBC,贝UAD丄AiC,且AEnAD=A

•••/AED即为二面角A-AiC-B的一个平面角，…

亠2X2^22麻

且直角△A1AC中：

ae-AjC=-^=^=—又机二屁z初阻今••血/迥罟遥4F

且二面角A-AiC-B为锐二面角

7.【解答】证明：

（

（1）由于面VAD是正三角形，设AD的中点为E,

贝UVE丄AD，而面VAD丄底面ABCD，贝UVE丄AB.

又面ABCD是正方形，则AB丄AD,故AB丄面VAD.

（2）由AB丄面VAD，则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由厶VAD是正△，贝UAF丄VD,由三垂线定理知BF丄VD，故/AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.

设正方形ABCD的边长为a,

则在RtAABF中,

AB=a,

ABa

2^3

tan/AFB=匚

故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为

8.【解答】（本小题满分12分）

证明：

（I）•••四边形ABCD为菱形

•••AD//BC,且BC?

面ADEF,AD?

面ADEF,

•••BC//面ADEF，且面ADEFQ面BCEF=EF二EF//BC.

解：

（n）•••FO丄面ABCD,•FO丄AO,FO丄OB

又•••OB丄AO,以O为坐标原点，OA,OB,OF分别为x轴,y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

取CD的中点M，连OM,EM.易证EM丄平面ABCD.

又•••BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标:

B（0,1,0）,C（-.

0,0）,D（0,-1,0）,

F（0,0,

Vs）,E（-

—-丄，.「；）,

向量『匸

=（-

（-,

丄,.-；）,向量■.「=（-.一；,-1,0）,向量

-1，V3）

设面BCFE的法向量为:

，得到

时，一=（-1,.「；,1）,

面AOF的一个法向量n=（0,1*0）

设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为0,

故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,设BC=1,

则A（0,0,0）P（0,0,2）,B（2,0,0）,M（1,12,1）,D（0,2,0）

（i）因为0・—刃（1,1）=0所以pb丄dm.

（n）因为「・「二一.-i「J..：

=0所以PB丄AD•

又PB丄DM.

因此1L・「的余角即是BD与平面ADMN.

所成的角.

因为co5^y所以<>=y

因此BD与平面ADMN所成的角为——.

10.试题解析：

（1）证明：

在梯形ABCD中，

•/AB//CD,ADDCCB1,ABC60o,二AB2,

•••AC2AB2BC22AB?

BC?

cos60°3,

222

•ABACBC,•BCAC,

•平面ACFE平面ABCD，平面ACFEI平面ABCDAC,BC平面ABCD,

•BC平面ACFE.

（2）由

（1）分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴发建立如图所示空间直角坐标系，

令FM（0.3），则C（0,0,0）,A（.3,0,0）,B（0,1,0）,M（,0,1）,

uuu-uuuuLT

•AB（.3,1,0）,BM（,1,1）•设n,（x,y,z）为平面MAB的一个法向量,

LTUUU-

AB0V3xy0u"厂厂

由cTuuuu，得3xy0，取x1，则q（1「3,'、3）,

n1?

BM0xyz0

•••n（1,0,0）是平面FCB的一个法向量，

LTUU

二cos

13（.3）21

|n^1gIE|

•/0

•、3,•••当

0时，C0S有最小值一，

3时，cos

有最大值丄，•••C0S["」]•

272

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