立体几何10道大题.docx

1、立体几何10道大题立体几何练习题1.四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面 SBC 面ABCD，已知ABC 45，AB 2，BC 2.2，SB SC 3(1) 设平面SCD与平面SAB的交线为I，求证：1 AB ；(2)求证：SA BC ；2.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD=AC=1，O(2)证明：AD平面PAC(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值。3.如图，四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD 90 , BC 2AD , PAB与厶 PAD 都是等边三角形.(1)证明：CD 平面PBD ;(2 )求二面角C PB D的平面角的余弦值

2、.4.如图，四棱锥 P-ABCD中，PA丄底面 ABCD , AC丄AD .底面 ABCD为梯形，AB / DC, AB丄 BC, PA=AB=BC=3，点 E 在棱 PB 上，且 PE=2EB.(I )求证：平面 PAB丄平面PCB;(n )求证：PD /平面EAC;(川)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.5.如图，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面于直线 AB，平面ABCD I 平面 ABPE AB，且 AB BP 2 , AD AE 1 , AE AB，且 AE/BP .(1)设点M为棱PD中点，在面ABCD内是否存在点N，使得MN 平面ABCD ?

3、若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)求二面角D PE A的余弦值6.如图，在直三棱柱 ABC-A1BQ1中，平面 AiBC丄侧面 AiABBi，且 AAi=AB=2 .(1)求证：AB丄BC;3T I(2)若直线AC与平面AiBC所成的角为一-，求锐二面角 A- AiC- B的大小.7.在四棱锥V - ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD丄底面ABCD.(1)求证AB丄面VAD ;8.如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ABCD为菱形，且/ BAD=7T，对角线AC与BD相交于 O, 0F丄平面 ABCD, BC=CE=DE=2EF=2 .(I )求

4、证：EF/ BC;(n )求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.EBC9.AD / BC,Z BAD=90 , PA 丄底面如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面为直角梯形,ABCD,且 PA=AD=AB=2BC , M、N 分别为 PC、PB 的中点.(I )求证：PB丄DM ;(n )求BD与平面ADMN所成的角.10.如图，在等腰梯形 ABCD中，AB/CD , AD DC CB 1, ABC 60，四边形 ACFE为矩形，平面 ACFE 平面ABCD , CF 1.(1)求证：BC 平面ACFE ；(2) 点M在线段EF上运动，设平面 MAB与平面FCB二面角的平面角为 ( 9

5、0),试求cos的取值范围立体几何试卷答案【解析】试題分析：（1）匚ABUCD f v 平面SC!D, CDu平面SCD,人血平面ECQ ,又平面妣与平面遜的交线为匚由线面平i亍的性嵐定理ffTBHim臬；逹接现 由余弦定理AC = 2? 取HG中点G连接SGtA（j ,则/G_LHC由线面垂直的利定定理租性质即可证明箔果如囲 以射线M加轴,以射绒佃为F轴，以射线口対卅由,以0为施 建立空间直角坐标系0 - QG利用空间向址糠呵求出直觸如与面嗣所成ft的IE弦值.试题解析；C1）证明；丁底面血CD为平（亍四边形/. ABf/CD,v AB圧平面SCO ； CD匚平面SCD/. ABf/SCD又

6、丁平面SCD与平面SAB的交线対1:.HI AB - 4 分（2）证明：连接 AC, Q ABC 45, AB 2, BC 2 2 ,由余弦定理得 AC 2, AC AB 6分取BC中点G，连接SG, AG，则AG BC .Q SB SC, SG BC,QSGI AG G,BC 面 SAG, BC SA 8分（川）如图，以射线 OA为x轴，以射线OB为y轴，以射线OS为z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系 O xyz,i LS则从羽阴,6(0.72,0).S（0Q）D（血-20） SD =（/2-2/2=0 -（0Q1=（血,-2血厂0砂=（血=（血T）BA =（忑Q0） -血 = （72.-

7、30）设平面SAB法问量为n =(7 2)科SJ = 72x z 0 、 ini 1 e ； 厂 令工=1,则=二圧=J2 n - BA = -jlx 2-j2y 0 2厂而 2而 血-2血-4 722CO罰 Fl, il i = = = SD2-TT-11因为 AD=AC=1 ,二二二，所以 _ J辽分.所tXl线血与面 3 所成角的正弦值为 晋2、试题解析：(1)证明：匸为AC的中点，即0为BD的中点，且 M为PD的中点,0M 廿 P&又 f 二平面ACM，円乍平面ACM,所以PB/平面ACM。(2)证明：因为丄匸匸 4_ , AD=AC，所以士二 ,所以 LA -二，又 PO平面 ABC

8、D，所以 -, - - _ 二 -所以AD 平面PAC。(3)取OD的中点为N，因为1 1 所以MN_平面ABCD，所以一匚二为直线AM与平面ABCD所成角。斗彳23.（1）证明见解析；（2） 试题解析：（1）证明：过P作PO 平面ABCD于0,连OA 依题意PA PB PD，则OA OB 0D 又 ABD为Rt ，故0为BD的中点./ P0 面 PBD , 面 PBD 面 ABCD 在梯形 ABCD 中，CD2 DB2 CB2,T面 ABCD C|面 PBD CD丄平面FBD由知切丄平面PSD ?又M+肿二沏S:.DP丄0P由三垂线定理知CP丄円二“PD为二面角CBBD的平面角,C B4.【

9、解答】（I ）证明：T PA丄底面ABCD, BC?底面ABCD,： PA丄BC.又AB丄BC, PAA AB=A , BC丄平面PAB .又BC?平面PCB,：平面 PAB丄平面PCB.（n ）证明： PC丄 AD,兀 兀在梯形 ABCD 中，由 AB丄 BC, AB=BC，得/ BAC= ，/ DCA= / BAC=又AC丄AD，故 DAC为等腰直角三角形， DC= _ 】 AC=.污 （： AB） =2AB .DHJ DC I连接BD,交AC于点M，则- =- =2 .PE= Dffl丽=T连接“，在厶BPD中,=2 , PD/ EM,又PD? /平面EAC, EM?平面 EAC,. P

10、D /平面 EAC.（川）解：以A为坐标原点,AB, AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 A（ 0，0，0），B（ 0，3，0），C（ 3，3，0），P（ 0，0，3），E（ 0，2 ,设，. =（X，y，1）为平面i+y=02屮二0AEC的一个法向量，则讥1丄疋 ，讥1=（0，2，1 )，11 -112 ，y=-2 ，门1=2，-2 ，丄T 解得x=丄二丁1).汀=（3，3，0），二沪=（0，- 3，3 ），1）为平面PBC的一个法向量，则石; ，解得 X，=0，yz =1，：=(0，1，1)./ cos Vnl丄守 ，AF可证心 为平面PBC的一个法向量.，和 =

11、Inln2|=平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为5.（1）详见解析；（2）-.3试题分析：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，证明MN 平面ABCD，从而MN即为所求；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解试题解析：（1）连接AC，BD交于点N，连接MN，则MN 平面ABCD ,/ M为PD中点，N为BD中点， MN为PDB的中位线，二MN /PB ,又平面ABCD 平面ABPE，平面ABCD I平面ABPE AB , BC 平面ABCD , BC AB ,丄平面 ABPE , 丄刃，泉丁 PE 丄 血,= :. PB 丄平面 ABCD f :,丄平面ABCD.

12、 （2） 为原点，血 込 血所在直线分別为盘轴，F轴.轴建立坐标系，丄平面FEA,二平面去向量彳二忌二QD ,又 TQCO01）,恵（“仍,JX2.2.0） , .-.52 = 0-1）, 5?=（1Z-1）,设平面驱的法向量_ | ,k_尼二君 一 1 _ 2盹=（兀兀刁贝r &令兀=1信旳=（1厂一）弋饰只理旳=一2z+2y-z =0 2 3X-：D-PE-A为锐二面角，二二面角D-FE-A的余萤值対-36【解答】（本小题满分 14分）（1） 证明：如右图，取 AiB的中点D，连接AD，因AAi =AB，贝U AD丄AiB 由平面 AiBC丄侧面 AiABBi ,且平面 AiBCA 侧面

13、AiABBi=AiB。得AD丄平面 AiBC,又BC?平面AiBC,所以AD丄BC.因为三棱柱 ABC AiBiCi是直三棱柱，则AAi丄底面 ABC，所以 AAi丄BC.又 AAi n AD=A，从而 BC丄侧面 AiABBi,又AB?侧面AiABBi，故AB丄BC.（2） 解：连接CD，由（i）可知AD丄平面AiBC,则CD是AC在平面AiBC内的射影, %/ACD即为直线AC与平面AiBC所成的角， U ZACg6在等腰直角 AiAB中，AAi=AB=2，且点D是AiB中点汕斗釧B二Ji，且 me二今，乙血二+二虬二辺过点A作AE丄AiC于点E,连DE由（i）知 AD丄平面 AiBC,贝

14、U AD丄AiC,且 AEn AD=A/ AED即为二面角 A - AiC- B的一个平面角， 亠 2X22 2 麻且直角 A1AC 中：ae- AjC =-= 又机二屁z初阻今血/迥罟遥4F且二面角 A - AiC- B为锐二面角7.【解答】证明：（1 ）由于面VAD是正三角形，设 AD的中点为E,贝U VE丄AD，而面 VAD丄底面 ABCD，贝U VE丄AB.又面ABCD是正方形，则 AB丄AD,故 AB丄面VAD .（2）由AB丄面VAD，则点B在平面 VAD内的射影是 A,设VD的中点为F,连AF, BF 由厶VAD是正，贝U AF丄VD,由三垂线定理知 BF丄VD，故/ AFB是面

15、 VAD与面 VDB所 成的二面角的平面角.设正方形ABCD的边长为a,则在RtA ABF中,AB=a,AB a23tan / AFB=匚_ 3Ta故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为8.【解答】（本小题满分 12分）证明：（I ）四边形 ABCD为菱形 AD / BC, 且 BC?面 ADEF, AD?面 ADEF, BC/面 ADEF，且面 ADEFQ 面 BCEF=EF 二 EF/ BC.解：(n ) FO 丄面 ABCD , FO 丄 AO , FO丄 OB又 OB丄AO,以O为坐标原点，OA , OB , OF分别为x轴, y轴，z轴，建立空间直角坐标系,取CD的中点 M，连OM

16、 , EM.易证EM丄平面ABCD.又 BC=CE=DE=2EF=2，得出以下各点坐标:B (0, 1 , 0), C (-.,0 , 0) , D (0, - 1 , 0),F ( 0, 0,Vs ) , E(- -丄，.；),向量匸=(-(-,丄,.-；),向量. = (- . 一； , - 1, 0),向量-1，V3)设面BCFE的法向量为:，得到BE时，一 =(-1, .； , 1),面AOF的一个法向量n=(0, 1* 0)设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为 0 ,故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系 A-xyz,设BC=1 ,则

17、A ( 0, 0, 0) P (0, 0, 2), B (2, 0, 0), M (1 , 12, 1), D (0 , 2 , 0)(i )因为 0刃(1,1)=0 所以 pb丄dm .(n )因为二 一.-iJ. . ：=0 所以 PB丄AD又PB丄DM .因此1 L 的余角即是BD与平面ADMN .所成的角.因为 co5y 所以 =y因此BD与平面ADMN所成的角为 .610.试题解析：(1)证明：在梯形 ABCD中，/ AB/CD , AD DC CB 1, ABC 60o ,二 AB 2, AC2 AB2 BC2 2AB?BC?cos60 3 ,2 2 2AB AC BC , BC

18、AC ,平面ACFE 平面ABCD，平面ACFE I平面ABCD AC , BC 平面ABCD ,BC 平面 ACFE .(2 )由(1)分别以直线CA,CB,CF为x轴，y轴，z轴发建立如图所示空间直角坐标 系，令 FM (0 .3)，则 C(0,0,0), A( .3,0,0), B(0,1,0), M( ,0,1),uuu - uuuu LT AB ( .3,1,0), BM ( , 1,1)设 n, (x,y,z)为平面 MAB 的一个法向量,LT UUU -m ? AB 0 V3x y 0 u厂厂由 cT uuuu ，得 3x y 0，取 x 1，则 q (13,、3 ),n1 ?BM 0 x y z 0un n (1,0,0)是平面FCB的一个法向量，LT UU二 cos1 3 ( . 3 )2 1|n1 g IE |/ 0、3 ,当0时，C0S有最小值一，,3 时，cos有最大值丄， C0S 2 7 2