高中文科数学优化设计第一轮复习19高考模拟卷.docx

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高中文科数学优化设计第一轮复习19高考模拟卷

第九章解析几何

9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程

122

直线的倾斜角与斜率

1.（2015广西玉林、贵港4月模拟,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题）设F为抛物线y2=5x的焦点,P是抛物线上x轴上方的一点,若|PF|=3,则直线PF的斜率为（　　）

A.3B.C.D.2

解析:

F为抛物线y2=5x的焦点,

设P点坐标为（x,y）,y>0.

根据抛物线定义可知x+=3,解得x=,代入抛物线方程求得y=.

直线PF的斜率为.

答案:

C

2.（2015广西柳州一模,文12,直线的倾斜角与斜率,选择题）过点（,0）引直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△ABO的面积取得最大值时,直线l的斜率等于（　　）

A.B.-C.±D.-

解析:

由y=,得x2+y2=1（y≥0）.

所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点）,

设直线l的斜率为k,要保证直线l与曲线有两个交点,且直线不与x轴重合,

则-1

则原点O到l的距离d=,l被半圆截得的半弦长为

.

则S△ABO=

=.

令=t,则S△ABO=,当t=,

即时,S△ABO有最大值为.

此时由,解得k=-.

答案:

B

15.（2015江西重点中学协作体二模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题）设直线x-2y+1=0的倾斜角为α,则cos2α+sin2α的值为　　　　　. 

解析:

∵直线x-2y+1=0的倾斜角为α,∴tanα=.

∴cos2α+sin2α=

=.

答案:

15.（2015江西上饶一模,文15,直线的倾斜角与斜率,填空题）过双曲线=1（a>0,b>0）右焦点的直线m,其方向向量u=（b,a）,若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线距离的2倍,则直线m的斜率为　　　　　. 

解析:

双曲线=1的右焦点F（c,0）,

一条渐近线方程为y=x,

则F到渐近线的距离为d==b,

直线m:

y=（x-c）,

原点到直线m的距离为=a,

由题意可得a=2b,则直线m的斜率为=2.

答案:

2

9.（2015甘肃嘉峪关一中三模,文9,直线的倾斜角与斜率,选择题）过点P（-,-1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.B.C.D.

解析:

由题意可得点P（-,-1）在圆x2+y2=1的外部,故要求的直线的斜率一定存在,设为k,则直线方程为y+1=k（x+）,即kx-y+k-1=0.

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1,

即3k2-2k+1≤k2+1,解得0≤k≤,

故直线l的倾斜角的取值范围是.

答案:

D

10.（2015甘肃兰州一中三模,文10,直线的倾斜角与斜率,选择题）P是双曲线-y2=1右支（在第一象限内）上的任意一点,A1,A2分别是左右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是（　　）

A.（0,1）B.C.D.

解析:

设点P（x,y）（x>0,y>0）,

由题意知,A1（-2,0）,A2（2,0）,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,

故k1k2k3=

=.

答案:

B

5.（2015吉林长春实验中学三模,文5,直线的倾斜角与斜率,选择题）直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是（　　）

A.[0,π）B.

C.D.

解析:

直线xsinα+y+2=0的斜率为k=-sinα,

∵|sinα|≤1,∴|k|≤1.

∴倾斜角的取值范围是.

答案:

B

123

直线的方程

1.（2015广西柳州一模,文21,直线的方程,解答题）已知椭圆=1的一个焦点为F（2,0）,且离心率为.

（1）求椭圆方程;

（2）斜率为k的直线l过点F,且与椭圆交于A,B两点,P为直线x=3上的一点,若△ABP为等边三角形,求直线l的方程.

解:

（1）∵椭圆=1的一个焦点为F（2,0）,且离心率为.

∴c=2,,a2=b2+c2,解得a2=6,b2=2.

∴椭圆方程为=1.

（2）直线l的方程为y=k（x-2）.

联立方程组消去y并整理,

得（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

故x1+x2=,x1x2=.

则|AB|=|x1-x2|

=

=.

设AB的中点为M（x0,y0）.

可得x0=,y0=-.

直线MP的斜率为-,又xP=3,

所以|MP|=·|x0-xP|

=.

当△ABP为正三角形时,|MP|=|AB|,

∴,

解得k=±1.

∴直线l的方程为x-y-2=0,或x+y-2=0.

20.（2015吉林三模,文20,直线的方程,解答题）已知椭圆C:

=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-1,0）,F（1,0）,过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为4.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点（4,0）作与直线l平行的直线m,且直线m与抛物线y2=4x交于P,Q两点,若A,P在x轴上方,直线PA与直线QB相交于x轴上一点M,求直线l的方程.

解:

（1）依题意,4a=4,a2-b2=1.

所以a=,b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,P（x3,y3）,Q（x4,y4）,PQ与x轴的交点记为点N,

直线l的方程为x=ty-1,直线m的方程为x=ty+4.

依题意得,

则,可得,令=λ（λ<0）,

由消去x,得（t2+2）y2-2ty-1=0,

则把y1=λy2代入整理,得

=-.①

由消去x,得y2-4ty-16=0,

则把y3=λy4代入,整理得=-t2.②

由①②消去λ,得=t2,解得t=0或t=±.

故直线l的方程为x=-1或x-y+1=0或x+y+1=0.

15.（2015江西上饶重点中学二模,文15,直线的方程,填空题）过点P（3,-1）引直线,使点A（2,-3）,B（4,5）到它的距离相等,则这条直线的方程为　　　　　. 

解析:

由题意,所求直线有两条,其中一条是经过点P且与AB平行的直线;另一条是经过P与AB中点C的直线.

∵A（2,-3）,B（4,5）,

∴AB的斜率k==4.

可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x-3）,

化简得4x-y-13=0.

∵AB中点为C（3,1）,

∴经过P,C的直线方程为x=3.

综上,所求直线的方程为4x-y-13=0或x=3.

答案:

4x-y-13=0或x=3

7.（2015甘肃嘉峪关一中三模,文7,直线的方程,选择题）若P（2,1）为圆（x-1）2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程为（　　）

A.x+y-1=0B.2x-y-5=0

C.2x+y=0D.x+y-3=0

解析:

圆（x-1）2+y2=25的圆心为（1,0）,直线AB的斜率等于=-1,由点斜式得到直线AB的方程为y-1=-（x-2）,即x+y-3=0.

答案:

D

9.2点与直线、两条直线的位置关系

124

两条直线的平行与垂直

6.（2015甘肃嘉峪关一中三模,文6,两条直线的平行与垂直,选择题）已知a≠0,直线ax+（b+2）y+4=0与直线ax+（b-2）y-3=0互相垂直,则ab的最大值等于（　　）

A.0B.2C.4D.

解析:

若b=2,两直线方程分别为y=-x-1和x=,此时两直线相交但不垂直.

若b=-2,两直线方程分别为x=-和y=x-,此时两直线相交但不垂直.

所以当b≠±2时,两直线方程分别为y=-x-和y=-x+,

此时两直线的斜率分别为-,-,

由-=-1,得a2+b2=4.

因为a2+b2=4≥2ab,

所以ab≤2,即ab的最大值等于2,当且仅当a=b=时取等号.

答案:

B

4.（2015黑龙江绥化一模,文4,两条直线的平行与垂直,选择题）设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·x-ay-c=0与bx+sinB·y+sinC=0的位置关系是（　　）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

解析:

a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,

则直线sinA·x-ay-c=0的斜率为,

bx+sinB·y+sinC=0的斜率为,

∵=-1,

∴两条直线垂直.

答案:

C

9.3圆的方程

128

求圆的方程

14.（2015江西上饶二模,文14,求圆的方程,填空题）以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆的方程为　　　　　. 

解析:

抛物线y2=20x的焦点坐标为（5,0）,双曲线=1的两条渐近线方程为3x±4y=0.

由题意,r==3,则所求圆的方程为（x-5）2+y2=9.

答案:

（x-5）2+y2=9

20.（2015甘肃兰州一中三模,文20,求圆的方程,解答题）已知☉C过点P（1,1）,且与☉M:

（x+2）2+（y+2）2=r2（r>0）关于直线x+y+2=0对称.

（1）求☉C的方程.

（2）过点P作两条相异直线分别与☉C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?

请说明理由.

（1）解:

设圆心C（a,b）,则解得

则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,

故圆C的方程为x2+y2=2.

（2）解:

由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:

y-1=k（x-1）,PB:

y-1=-k（x-1）,且k≠0,

由得（1+k2）x2-2k（k-1）x+k2-2k-1=0,

∵点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=,

同理,xB=,

∴kAB=

==1=kOP,

∴直线AB和OP一定平行.

20.（2015黑龙江哈尔滨六中四模,文20,求圆的方程,解答题）过抛物线C:

x2=4y对称轴上任一点P（0,m）（m>0）作直线l与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点.

（1）当直线l方程为x-2y+12=0时,过A,B两点的圆M与抛物线在点A处有共同的切线,求圆M的方程.

（2）设=λ,证明:

⊥（-λ）.

（1）解:

由得点A,B的坐标分别是（6,9）,（-4,4）,

则AB的中点为,斜率为k=,

故AB的垂直平分线方程为4x+2y-17=0.

由x2=4y得y=x2,y'=x,所以抛物线在点A处的切线斜率为3.

设圆M的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,

则

解得a=-,b=,r2=.

所以圆M的方程为.

（2）证明:

设AB方程为y=kx+m,A,B两点的坐标分别是（x1,y1）,（x2,y2）,

代入抛物线方程x2=4y,得x2-4kx-4m=0,x1+x2=-4k,x1x2=-4m.

由=λ,得λ=-,又点Q（0,-m）,从而=（0,2m）,

-λ=（x1-λx2,y1-λy2+（1-λ）m）,

所以·（-λ）=2m[y1-λy2+（1-λ）m]

=2m（x1+x2）·=0,

所以⊥（-λ）.

129

与圆有关的轨迹问题

6.（2015山西朔州怀仁一中一模,文6,与圆有关的轨迹问题,选择题）若△PAB是圆C:

（x-2）2+（y-2）2=4的内接三角形,且PA=PB,∠APB=120°,则线段AB的中点的轨迹方程为（　　）