平移和旋转几何动态.docx

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平移和旋转几何动态

平移和旋转几何动态

一、平移和旋转：

例：

已知：

RT△ABC与RT△DEF中，ACB=EDF=90，DEF=45，EF=8cm，AC=16cm，BC=12cm．现将RT△ABC和RT△DEF按图1的方式摆放，使点C与点E重合，点B、C（E）、F在同一条直线上，并按如下方式运动．运动一：

如图2，△ABC从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿EF方向向右匀速运动，DE与AC相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动；运动二：

在运动一的基础上，如图3，RT△ABC绕着点C顺时针旋转，CA与DF交于点Q，CB与DE交于点P，此时点Q在DF上匀速运动，速度为，当QCDF时暂停旋转；运动三：

在运动二的基础上，如图4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题

（1）在RT△ABC从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时10s；

（2）在整个运动过程中，设RT△ABC与RT△DEF的重叠部分的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段AB的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．考点：

相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平移的性质；旋转的性质。

专题：

代数几何综合题。

分析：

（1）运动一，停止时，EC=4cm，用时为：

41=4秒；运动二，停止时，DQ=2cm，用时为：

2=2秒；运动三，点C与点F重合时，CF=4cm，用时为：

41=4秒；综上，总用时为：

4+2+4=10（秒）；

（2）运动一，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分为直角△QCE的面积，表示出即可；运动二，连接CD，可得E=CDQ，ECP=ECQ，EC=DC，所以△ECP≌△DCQ，RT△ABC与RT△DEF的重叠部分不变：

y=8（4＜t＜6）；运动三，四边形QDPC为矩形，CF=4﹣（t﹣6）=t﹣2，EC=4+t﹣6=t﹣2，所以，S矩形QDPC=（t﹣2）（10﹣t）=t2+6t﹣10；（3）点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，可得AQ=QB，所以，AC﹣CQ=，又AC=16cm，BC=12cm，得，CQ=3.5cm，又由DEF=45，所以，EC=3.5cm，解答出即可．解答：

解：

（1）根据题意得，运动一：

∵△DEF是等腰三角形，ACB=90，EF=8cm，EC=4cm，运动一所用时间为：

41=4（秒），运动二：

∵当QCDF时暂停旋转，∵CD=CF，DQ=QF=2cm运动二所用时间为：

2=2（秒），运动三：

∵CF=4cm，运动三所用的时间为：

41=4（秒），整个过程共耗时4+2+4=10（秒）；故答案为：

10；

（2）运动一：

如图2，设EC为tcm，则CQ为tcm，S△ECQ=tt，S与t之间的函数关系式为：

y=t2（0t4），运动二：

如图3，连接CD，E=CDQ，ECP=ECQ，EC=DC，△ECP≌△DCQ，S与t之间的函数关系式为：

y=8（4＜t＜6），运动三：

如图4，四边形QDPC为矩形，CF=4﹣（t﹣6）=t﹣2，EC=4+t﹣6=t﹣2，S矩形QDPC=（t﹣2）（10﹣t），=t2+6t﹣10；S与t之间的函数关系式为：

y=t2+6t﹣10（6t10）；（3）如图5，存在点Q，理由如下：

∵点Q在线段AB的中垂线上，连接BQ，AQ=QB，AC﹣CQ=，又∵AC=16cm，BC=12cm，解得，CQ=3.5cm，∵DEF=45，EC=3.5cm，此时，t为：

3.51=3.5秒．点评：

本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是

（2）中，要根据P点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点Q的位置，是解答的关键．练习：

1、已知，RtABC和RtADE中，90ABCADE==,30CAB=,60DAE=,AD=3，AB=63，且AB，AD在同一直线上，把图1中的ADE沿射线AB平移，记平移中的ADE为备用图图2图1‘ADE（如图2），且当点D与点B重合时停止运动，设平移的距离为x．

（1）当顶点E恰好移动到边AC上时，求此时对应的x值；

（2）在平移过程中，设’ADE与RtABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式以及相应的自变量x的取值范围；（3）过点C作CF//AE交AB的延长线于点F，点M为直线BC上一动点，连接FM，得到MCF，将MCF绕点C逆时针旋转60，得到’‘MCF（M的对应点为’M，F的对应点为’F），问’FMM的面积能否等于3？

若能，请求’AM的长度，若不能，请说明理由．解：

（1）333312x=+=

（2）03x，238Sx=ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’ABCFMF’M’363x，23333242Sxx=+6312x，21331113（183）242Sxx=++12633x+，239931822Sxx=+（3）①设’CMCMx==‘‘‘FCMFMMFCMMCMSSSS==211343233224xxx=化简得：

2440xx+=2x=‘12210AM==②设’CMCMx==‘‘‘FCMFMMMCMFCMSSSS=+=213123433242xxx+=化简得：

2440xx=222x=（舍负）222x=+‘12（222）1022AM=+=③设’CMCMx==‘‘‘FCMFMMMCMFCMSSSS=+=231143233422xxx+=化简得：

2440xx+=222x=（舍负）222x=+‘12（222）1022AM=++=+‘AM的值为10或1022或1022+12分2、如图①，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点,5,25,OABACE==、F、G、H分别为菱形的四边中点，顺次连接E、F、G、H四点得矩形EFGH。

（1）求矩形EFGH的边EF、EH的长；

（2）如图②，固定菱形ABCD，将矩形EFGH沿OD方向向右平移，直至点D落在EF上时停止运动。

设平移距离为x，记矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）如图③，固定菱形ABCD，将矩形EFGH绕点O旋转，使边EH的中垂线OM交线段AD于点M，射线OH交线段CD于点N，连接MN。

当MDN为直线三角形时，请直接写出AM的长。

图形翻折：

例题：

如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8，8），点P在边OC上，点M在边AB上．把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处．动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动．

（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；

（2）在

（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在

（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由．考点：

相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质。

专题：

动点型。

分析：

（1）本题根据图形，知道点Q为线段BC边中点，有知道点B的坐标，所以可以求出P、M的坐标．

（2）本题需先根据

（1）的条件，可以分两种情况进行解答，第一种情况当0t5时，可以求出S的值，第二种情况当5t8时，设EF与PM交点为R，作RIy轴，MSy轴，可以证出RI=FI，有根据FI=2PI可以证出FP=PI，PI=2PF，PF=t﹣5，RI=2（t﹣5）最后解出结果．（3）本题需先根据

（1）的条件，可以分三种情况进行讨论，第一种情况先作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2，则PH1=MH1，PH2=MH2，所以点H1，H2即为所求点，分别求出H1、H2的坐标；第二种情况当PM=PH3时的情况，分别求出PM、MH3、OH3的值，最后求出H3的坐标．第三种情况当PM=MH4时，分别求出PM、MH4BH4的值，即可求出H4的坐标．（4）本题需先根据所给的条件证出△CPQ∽△BQN，再设CQ=m，根据三角形的性质即可求出△BQN的周长．解答：

解：

（1）∵点Q为线段BC边中点，B（8，8），P（0，5），M（8，1）；

（2）①当0t5时，S=②当5t8时，如图，设EF与PM交点为R，作RIy轴，MSy轴，∵EO=FO，RI=FI，又∵，RI=2PI，FI=2PI，FP=PI，PI=2PF，PF=t﹣5，RI=2（t﹣5），S=S△OEF﹣S△PRF，=，=；（3）①如图作PM的中垂线交正方形的边为点H1，H2，则PH1=MH1，PH2=MH2，点H1，H2即为所求点，设OH1=x，∵PH1=MH1，x2+52=（8﹣x）2+12，H1（），同理，设CH2=y，∵PH2=MH2，32+y2=（8﹣y）2+72，H2（），②当PM=PH3时，∵，，，，③当PM=MH4时，∵，，，，综上，一共存在四个点，H1（），H2（），，；（4）∵PQN=90，CQP=BQN=90，又∵CQP+CPQ=90，CPQ=BQN，又∵C=B=90，△CPQ∽△BQN，设CQ=m，则在Rt△CPQ中，∵m2+CP2=（8﹣CP）2，，，又∵△CPQ的周长=CP+PQ+CQ=8+m，△BQN的周长==16．△BQN的周长不发生变化，其值为16．点评：

本题主要考查了相似三角形判定和的性质，在解题时要注意要根据点的不同位置进行分类讨论。

练习：

1、如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止运动，设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．

（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；

（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．求出此时△APQ的面积．（3）在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB﹣BO﹣OP于点F．当DF经过原点O时，请直接写出t的值．考点：

平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰梯形的性质；解直角三角形。

专题：

应用题；分段函数。

分析：

过Q作QHAP于H点，构造直角三角形APQ．

（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理求得AB；①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4﹣t．根据平行线截线段成比例的性质求得QH，然后求△APQ的面积；②P由A向O运动时，AP=t﹣4，AQ=t，由直角三角形ABO中的锐角的正弦求得QH=，然后求△APQ的面积；

（2）根据翻折的性质知△APQ≌△DPQ，AQP=90．在直角三角形AOB与直角三角形APQ中通过A的余弦值求得cosA===．①当0＜t4时，求得t值；②当4＜t5时，求得t值；然后将其代入

（1）中的函数解析式；（3）①若PE∥BQ，则梯形PQBE是等腰梯形．过E、P分分别作EMAB于M，PNAB于N．构造矩形PNME．则有BM=QN，由PE∥BQ，得，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQOA于P点．由OP+AP=OA求得t值；（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=AE，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8﹣t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ2=QG2+OG2，列出关于t的方程，解方程即可．解答：

解：

（1）在Rt△AOB中，OA=4，OB=3AB=①P由O向A运动时，OP=AQ=t，AP=4﹣t过Q作QHAP于H点．由QH∥BO，得即（0＜t4）②当4＜t5时，即P由A向O运动时，AP=t﹣4AQ=tsinBAO=QH=，=；

（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，AQP=90，cosA===，当0＜t4即当4＜t5时，=，t=﹣16（舍去）；（3）存在，有以下两种情况①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE过E、P分分别作EMAB于M，PNAB于N．则有BM=QN，由PE∥BQ，得，；又∵AP=4﹣t，AN=，，由BM=QN，得，；②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中BQ=EP且PQOA于P点由题意知∵OP+AP=OA，t=，OE=，点E（0，﹣）由①②得E点坐标为（0，）或（0，﹣）．（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．可得QOA=QAOQOB=QBOOQ=BQ=tBQ=AQ=AE；②当P由A向O运动时，OQ=OP=8﹣tBQ=5﹣t，在Rt△OGQ中，OQ2=QG2+OG2即（8﹣t）2=t=5点评：

本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键．例题：

如图1，在Rt△AOB中，AOB=90，AO=，ABO=30．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值．

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0t2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？

若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．考点：

二次函数综合题；三角形的面积；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质。

专题：

几何综合题；分类讨论。

分析：

（1）利用直角三角形中30所对的边是斜边的一半即可求出AP，进而求出t的值；

（2）利用△BPH∽△BAO，得出PH的长，再利用解直角三角形求出PN的长；（3）根据当0t1时以及当t=1时和当t=2时，分别求出S的值；（4）根据当D为顶点，OD=OR1=6时，当R2为顶点，OR2=DR2时，③当O为等腰△的顶点时，分别得出即可．解答：

解：

（1）∵△PMN是等边三角形，P1M1N1=60；∵在Rt△AOB中，AOB=90，ABO=30，AP10=90，在Rt△AP1O中，AP1=AO=2，t=，即t=2；

（2）∵△BPH∽△BAO，，PH=，∵cos30=，PN===8﹣t，（3）当0t1时，S1=S四边形EONF，作GHOB于H，∵GNH=60，GH=2，HN=2，∵PN=NB=8﹣t，ON=OB﹣NB，ON=12﹣（8﹣t）=4+t，OH=4+t﹣2=2+t，S1=（2+t+4+t）2=2t+6，∵2＞0，S随t增大而增大，当t=1时，S最大=8，当1＜t＜2时，S2=S五边形IFONG，作GHOB于H，∵AP2=tAF=2t，OF=4﹣2t，EF=2﹣（4﹣t）=2t﹣2，EI=2t﹣2，S2=S梯形EONG﹣S△EFI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4，∵﹣2＜0，当t=﹣=时S2最大=，当t=2时，MP=MN=6，N与D重合，S3=S梯形IMNG，=36﹣4，=8，，S最大=，（4）∵△ODH是等腰三角形，①当D为顶点，OD=OR1=6时，OR1=6﹣2＞2（不合题意舍去），当D为顶点时，R1不存在，此时R1不存在，使△ODR是等腰三角形，②当R2为顶点，OR2=DR2时，ER2=P2R2=3，CP2=3，AP2=4﹣3=，t2==1，③当O为等腰△的顶点时，CR3=6﹣2，CP3=2=6﹣6，AP3=4﹣（6﹣6），=6﹣2，t3==2﹣2．点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识，（3）（4）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．练习：

1、如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t0）．

（1）当等边△EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？

若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．是等腰三角形？

若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．考点：

相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形。

专题：

代数几何综合题；动点型；分类讨论。

分析：

（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，解直角三角形可求t的值；

（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0t＜1，1t＜3，3t＜4，4t＜6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．解答：

解：

（1）当边FG恰好经过点C时，CFB=60，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tanCFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，当边FG恰好经过点C时，t=1；

（2）当0t＜1时，S=2t+4；当1t＜3时，S=﹣t2+3t+；当3t＜4时，S=﹣4t+20；当4t＜6时，S=t2﹣12t+36；（3）存在．理由如下：

在Rt△ABC中，tanCAB==，CAB=30，又∵HEO=60，HAE=AHE=30，AE=HE=3﹣t或t﹣3，1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EMAH于M，则AM=AH=，在Rt△AME中，cosMAE=，即cos30=，AE=，即3﹣t=或t﹣3=，t=3﹣或t=3+，2）当HA=HO时，（如图③）则HOA=HAO=30，又∵HEO=60，EHO=90，EO=2HE=2AE，又∵AE+EO=3，AE+2AE=3，AE=1，即3﹣t=1或t﹣3=1，t=2或t=4；3）当OH=OA时，（如图④），则OHA=OAH=30，HOB=60=HEB，点E和点O重合，AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（