线性代数课后答案习题5和习题6复习课程.docx
《线性代数课后答案习题5和习题6复习课程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课后答案习题5和习题6复习课程.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
线性代数课后答案习题5和习题6复习课程
线性代数课后答案_习
题5和习题6
习题五
1
2
3
0
0
1
1
1
1）
；2）2
1
3；3）
0
1
0
2
4
3
3
6
1
0
0
1.求下列矩阵的特征值和特征向量:
310
4）410
482
并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
11
解:
1）24
（2）（3）'特征值2,3
2时，1（1,1），故属于2的特征向量为k11（k10）
9时,
（1,1,2），故属于9的特征向量为ks3（ks
0）。
3时，2（1,2），故属于3的特征向量为k22（k20）
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化。
01
3）010
（1）
（1）2，特征值1,1。
10
当1时，1（0,1,0），2（1,0,1）。
故属于1的特征向量为
1k22（k1,k2不全为零）。
当1时，3（1,0,1），故属于1的特征向量为k33
（k30）。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化
310
4）
410
（1）2
（2），特征值1,2。
482
当
1时，1（3,6,20），故属于1的特征向量为k11
（k10
）。
当
2时，2（0,0,1），故属于2的特征向量为k22
（k20）。
由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。
2.已知方阵A满足A23A2E0，求A的所有可能的特征值。
解：
设是A的特征值，则有非零向量X满足AXX。
于是A2X2X，
（A23A2E）X（232）X0。
因为X非零，所以2320。
即A的特征值只能为1或2。
3.设是A的特征值，证明：
1）2是A2的特征值，i（i为正整数）是A，的特征值；
2）设f（）是多项式，则f（）是f（A）的特征值；
3）如果A可逆，贝U1是A1的特征值。
证明：
1）因为AXX，则A2XA（X）AX2X。
A3XA（2X）3X，依此类推，AiX‘X，即i是Ai的特征值。
2）由1）AiX‘X（i为正整数），记f（）a。
a^H|a“n，则
f（A）X（a°EI”anEn）Xf（）X，即f（）是f（A）的特征值。
3）如果A可逆，对AXX两边左乘A1有：
XA1X。
又可逆矩阵
的特征值不为零（否则|0EA0，与A可逆矛盾）。
故1XA1X。
4.设Xi和X2是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明XiX2不是A的特征向量。
证明：
由题意，设AXi1X1，AX22X2，12，则Xi,X2线性无关。
（反证）若X1X2是A的特征向量，则有：
A（X1X2）（X1X2）。
从而
（1）X1
（2）X20。
因为12，所以
（1）,
（2）不全为零，于
是X1,X2线性相关，矛盾。
故X1X2不是A的特征向量。
5.如果方阵A可逆，证明矩阵AB和BA相似。
6.
P1AP
1CQD
于是
BD，即
证明：
因为A1（AB）ABA，所以矩阵AB和BA相似。
D相似。
7.计算Ak，其中
量为2
（2,1,2）;当5时,
对应的特征向量为3（1,2,1）。
故可取
0
2
1
1
5
0
5
1
P0
1
2
，有P1
2
1
0
，使得：
A
P
5
P
5
1
2
1
1
2
0
5
1
11
5
4
5k
（5）k
25k
2（5）k
0
从而Ak
P
5k
P
2
5k
2（5）k
5k
4（5）k
0
（5）k
45k
（5）k5
25k
2（5）k
5
1
O
1x1
8.求x,y的值，使得矩阵A与B相似，其中Ax1y,
1y1
000
B010。
002
解：
因为B的特征值为0,1,2，由A与B相似，可得0EA0,
1EA0，
2
I曲2（xy）0
2EA0。
即'"，从而xy0。
2xy0
9.证明：
1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数；
2）正交矩阵的特征值的模等于1。
证明：
1）设A是实反对称矩阵，是A的特征值，则有X0，AX
取共轭有AXX。
考虑XAX，一方面XAXXX;另一方面，
xaxxAx（ax）x_xx；于是（_）xx0。
又因为
X0,所以XX0。
故—0，即为0或纯虚数。
取共
2）设A是正交称矩阵，是A的特征值，则有X0，AXX。
轭有AXX，再转置XAXAX。
所以
XXXAAXXX。
因为X
0,所以XX0。
故
1，即的模
10.判断下列矩阵是否为正交矩阵:
1）A
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
i，2）
2
3
解：
1）
因为AAE，
1
2
1
3
故A为正交矩阵；2）
11.设A,B为正交矩阵，证明:
1）
A1与A为正交矩阵;
2）
A
为正交矩阵。
B
证明:
1
3
1
。
2
不是正交矩阵。
1）因为A为正交矩阵，所以AAE，即A
A1。
又
（A）A（AA）EE，故A1与A为正交矩阵
2）
因为A,B为正交矩阵，所以
AA
E，BB
。
从而
AA
BB
B为正交
矩阵
12.在R4中，求一单位向量
与向量（1,1,1,1）,（1,1,
解：
设所求向量为（X1,X2,X3,X4），贝U有
解系为（4,0,1,1）。
故k（4,0,1,1）
X1
X2
X3
X4
0
X1
X2
X3
X4
0。
求得基础
2为
X2
X3
0
（k为任意
擞）
。
1,1）,（2,1,1,3）正交。
13.求正交矩阵Q，使得Q1AQ为对角形:
11
1
2
22
1）
A11
1；
2）A
2
54。
11
1
2
45
1
1
1
解：
1）
EA
1
1
1
2（3）
，特征值0,3。
1
1
1
当
0时，
1（
1,1,0），
2
（1,0,1）o。
一
当3时，3（1,1,1）
1
3（^,1,1）。
由施密特正交化，取
—（2,1,0），
7翻
0
23，则
23
1
33（1,2,2）o令Q
3
1
Q1AQQAQ1
14.设3阶方阵A的特征值为1,2,3;对应的特征向量为1（0,1,0），
2（1,1,0），3（0,0,1）o求矩阵A
0
1
0
1
解：
由题意，令P
1
1
0
，贝U有P1AP
2o
故
0
0
1
3
1
2
0
0
AP2P1
1
1
0o
3
0
0
3
15.设3阶实对称矩阵
A的特征值为6和3（二
•重根）。
属于
6的特征向量为
3（1,1,1），求A及|A33E|。
2（1,0,1）o令
解：
设X（Xi,X2,X3）是实对称矩阵A属于特征值为3的特征向量，则有
111
3
411
P101，则AP3P
1141o|A33E|=
011
6
114
33
24
P33P13E|
24
122688o
63
213
XiX2X30。
故特征值为3的特征向量1（1,1,0），
提咼题
a1c
1.设矩阵A
5b3,A1,A*有特征值o，属于°的一个特
1c0a
征向量为（1,1,1）。
求a,b,c和o的值
0（1ca）1
2.已知3阶矩阵A与3维列向量X，向量组X，
AX，A2X线性无关，且满
A1a2
足A3X3AX2A2X
1）记P（X,AX,A2X），求3阶矩阵B，使得APBP1;
2）计算行列式AE
12
PAX
（0,0,1）。
由APBP1，可得B
1123
PAPP（AX,AX,AX）
解：
1）因为P1P
P1（X,AX,AX2）E，所以P1AX（0,1,0），
0
0
0
1
0
3
。
0
1
2
1
0
0
1
1
3
4。
0
1
1
n
a1
n1
"Ian，1,||
n是
解：
BAA
秩为1,所以
112112
（P1AX,P1A2X,3P1AX2P1A2X）
11
2）AEPBP1PP1BE
3.设A是n阶方阵，记f（）EAf（）的n个根（重根按重数计算）。
证明：
1）印1川ann1IIIn印，称为方阵A的迹，记为tr（A）；
2）an
（1）nA
（1）n1卅n。
证明：
因为f（）IEAna1n1卅an
（1）卅（n），令
0，则有an
（1）n|A
（1）n1卅n，即2）成立。
又由于特征多项式
EA中n1项由行列式定义知只能出现在（an）||（ann）内，它的系数
为（a11卅ann）a1；而
（1）（n）中"1项的系数为
（1|||n）。
故1）成立。
4.设AG,川,an），ai均为非零实数，BAA，求可逆矩阵P，使得
P1BP为对角阵。
af邛“
0时，EA的
，它为实对称矩阵。
当
2
0是EB0的n1重根，由上题1）的结果知n1项系数
当0时，可得：
2（a?
®,川,0）,…，n（an,0,|||,ai）。
由于
属于特征值
（12
III
2
1n
）的特征向量X（X1，卅,Xn）与上述向量组正交，所
以1jx111xj
（j
2,|||,n）
。
故
1（11,|||,1n）。
a2
13
1n
11
11
0
0
12
令P
Hl
III
III
川，则
0
0
0
1n1
0
0
11
1n
0
0
P1BP
。
2
11
III
2
1n
5.证明上三角正交矩阵必为对角阵。
故
o
2n
a
n2
升级会员 