线性代数课后答案习题5和习题6复习课程.docx

1、线性代数课后答案习题5和习题6复习课程线性代数课后答案_习题 5 和 习 题 6习题五123001111)；2) 213 ； 3)010243361001.求下列矩阵的特征值和特征向量:31 04) 4 1048 2并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。1 1解: 1)2 4( 2)( 3)特征值 2,32时，1 ( 1,1)，故属于 2的特征向量为k1 1( k1 0)9时,(1,1,2)，故属于 9的特征向量为ks 3( ks0 )。3时，2 ( 1,2)，故属于 3的特征向量为k2 2( k2 0)由于线性无关的特征向量个数为 3，故可以对角化。0 13) 0 1 0 ( 1)( 1)2，

2、特征值 1,1。1 0当 1时，1 (0,1,0) ， 2 (1,0,1)。故属于 1的特征向量为1 k2 2 ( k1, k2 不全为零)。当 1时，3 ( 1,0,1)，故属于 1的特征向量为k3 3(k3 0 )。由于线性无关的特征向量个数为 3，故可以对角化3 1 04)4 1 0(1)2( 2)，特征值 1, 2。4 8 2当1时，1 ( 3,6,20)，故属于 1的特征向量为k1 1(k1 0)。当2时，2 (0,0,1)，故属于 2的特征向量为k2 2(k2 0 )。由于线性无关的特征向量个数为 2，故不可以对角化。2.已知方阵A满足A2 3A 2E 0，求A的所有可能的特征值。

3、解：设 是A的特征值，则有非零向量 X满足AX X。于是A2X 2X，(A2 3A 2E)X ( 2 3 2)X 0。因为 X 非零，所以 2 3 2 0。即A的特征值只能为 1或 2。3.设是A的特征值，证明：1) 2是A2的特征值，i( i为正整数)是A，的特征值；2)设f()是多项式，则f()是f(A)的特征值；3)如果A可逆，贝U 1是A1的特征值。证明：1)因为 AX X，则 A2X A( X) AX 2X。A3X A( 2X) 3X，依此类推，AiX X，即i是Ai的特征值。2)由 1) AiX X ( i 为正整数)，记 f( ) a。a H| a“ n，则f(A)X (aE I

4、” anEn)X f( )X，即 f()是 f (A)的特征值。3)如果A可逆，对AX X两边左乘A 1有：X A 1X。又可逆矩阵的特征值不为零(否则|0E A 0，与A可逆矛盾)。故 1X A 1X 。4.设Xi和X2是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明 Xi X2不是A的 特征向量。证明：由题意，设AXi 1X1，AX2 2X2， 1 2，则Xi,X2线性无关。(反证)若X1 X2是A的特征向量，则有：A(X1 X2) (X1 X2)。从而(1 )X1 ( 2 )X2 0。因为1 2，所以(1 ),( 2 )不全为零，于是X1,X2线性相关，矛盾。故X1 X2不是A的特征向量。5.如

5、果方阵A可逆，证明矩阵AB和BA相似。6.P 1AP1CQ D于是B D，即证明：因为A1(AB)A BA，所以矩阵AB和BA相似。D相似。7.计算Ak，其中量为 2(2,1,2);当 5 时,对应的特征向量为 3 (1, 2,1)。故可取02115051P 012，有P 1210，使得：AP5P5121120511 1545k(5)k2 5k2( 5)k0从而AkP5kP25k2( 5)k5k4( 5)k0(5)k4 5k(5)k 52 5k2( 5)k51O1 x 18.求x, y的值，使得矩阵A与B相似，其中A x 1 y ,1 y 10 0 0B 0 1 0。0 0 2解：因为B的特征

6、值为0,1,2，由A与B相似，可得0 E A 0 ,1 E A 0，2I 曲 2（x y） 02 E A 0。即 ，从而 x y 0 。2xy 09.证明：1） 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数；2） 正交矩阵的特征值的模等于1。证明：1）设A是实反对称矩阵， 是A的特征值，则有X 0，AX取共轭有AX X。考虑X AX，一方面X AX XX ;另一方面，x ax x Ax （ax） x _x x ；于是（_）x x 0。又因为X 0,所以X X 0。故 0，即为0或纯虚数。取共2）设A是正交称矩阵， 是A的特征值，则有X 0，AX X。轭有AX X，再转置X A X A X。所以XX X A

7、AX XX。因为 X0 ,所以XX 0。故1，即的模10.判断下列矩阵是否为正交矩阵:1)A23231323132313i，2)23解：1)因为AA E，1213故A为正交矩阵；2)11.设A, B为正交矩阵，证明:1)A 1与A为正交矩阵;2)A为正交矩阵。B证明:131。2不是正交矩阵。1)因为A为正交矩阵，所以AA E，即AA 1。又(A) A (AA) E E，故A 1与A为正交矩阵2)因为A, B为正交矩阵，所以AAE，BB。从而AAB BB为正交矩阵12.在R4中，求一单位向量与向量(1,1, 1,1), (1, 1,解：设所求向量为 (X1,X2,X3,X4)，贝U有解系为 (4

8、,0,1, 1)。故 k(4,0,1, 1)X1X2X3X40X1X2X3X40 。求得基础2为X2X30(k为任意擞)。1,1), (2,1,1,3)正交。13.求正交矩阵Q，使得Q 1AQ为对角形:1 1122 21)A 1 11 ；2)A25 4。1 1124 5111解：1)E A1112( 3)，特征值 0,3。111当0时，1 (1,1,0)，2(1,0,1) o。一当 3 时，3 (1,1,1)13 ( , 1,1)。由施密特正交化，取(2,1,0)，7翻023，则2313 3( 1, 2,2) o 令 Q31Q 1AQ QAQ 114.设3阶方阵A的特征值为1, 2, 3;对应

9、的特征向量为1 (0,1,0)，2 (1,1,0)， 3 (0,0,1) o 求矩阵 A0101解：由题意，令P110，贝U有P 1AP2 o故00131200A P 2 P 1110 o300315.设3阶实对称矩阵A的特征值为6和3 (二重根)。属于6的特征向量为3 (1,1,1)，求 A 及 |A3 3E|。2 ( 1,0,1) o令解：设X (Xi,X2,X3)是实对称矩阵A属于特征值为3的特征向量，则有1 1 134 1 1P 1 0 1，则 A P 3 P1 1 4 1 o | A3 3E | =0 1 161 1 43324P 33 P 1 3E|24122688 o63213X

10、i X2 X3 0。故特征值为3的特征向量1 ( 1,1,0)，提咼题a 1 c1.设矩阵A5 b 3 , A 1 , A*有特征值o，属于的一个特1 c 0 a征向量为 (1, 1,1)。求a, b,c和o的值0(1 c a) 12.已知3阶矩阵A与3维列向量X，向量组X，AX，A2X线性无关，且满A 1 a 2足 A3X 3AX 2A2X1)记 P (X, AX,A2X)，求 3阶矩阵 B，使得 A PBP 1 ;2)计算行列式A E1 2PAX(0,0,1)。由 A PBP 1，可得 B1 1 2 3P AP P (AX,A X, AX )解：1)因为P 1PP 1(X,AX,AX2)

11、E，所以 P 1AX (0,1,0)，000103。0121001134。011na1n 1I an，1,|,n是解：B AA秩为1,所以1 1 2 1 1 2(P 1AX,P 1A2X,3P 1AX 2P 1A2X)1 12) A E PBP 1 PP 1 B E3.设A是n阶方阵，记f( ) E A f()的n个根(重根按重数计算)。证明：1) 印1川ann 1 III n 印，称为方阵A的迹，记为tr(A)；2) an ( 1)n A ( 1)n 1 卅 n。证明：因为f( ) I E A n a1 n1卅an ( 1)卅(n)，令0，则有an ( 1)n|A ( 1)n 1卅n，即2)

12、成立。又由于特征多项式E A中n 1项由行列式定义知只能出现在(an) |( ann)内，它的系数为(a11卅ann) a1 ；而( 1) ( n)中1项的系数为(1 | n)。故 1)成立。4.设A G,川,an)，ai均为非零实数，B AA，求可逆矩阵P，使得P 1BP为对角阵。af 邛“0时，E A的，它为实对称矩阵。当20是 E B 0的n 1重根，由上题1)的结果知n 1项系数当 0时，可得：2 ( a?,川,0),，n ( an,0,|,ai)。由于属于特征值(12III21n)的特征向量X (X1，卅,Xn)与上述向量组正交，所以 1jx1 11xj(j2,|,n)。故1 (11,|,1n)。a2131n11110012令PHlIIIIII川，则0001n 100111n00P 1BP。211III21n5.证明上三角正交矩阵必为对角阵。故o2 nan 2