冀教版初中数学八年级上册163角的平分线的性质教案.docx

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冀教版初中数学八年级上册163角的平分线的性质教案

角的平分线的性质

 教学目标：

知识与技能目标：

通过观察、测量等方法，发现角的平分线的性质定理及逆定理，能准确表述内容，能正确地写出已知、求证，能运用三角形全等的“AAS”判定方法和全等三角形的性质证明角的平分线的性质。

过程与方法目标：

明确尺规作图的基本要求，知道用尺规作角的平分线的方法与原理，能在教师的引导下利用角分线性质用尺规作出一个已知角的平分线。

学生能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题。

情感态度与价值观目标：

培养学生应用数学知识的意识，体验数学知识来源于生活并为生活服务，激发学生学习数学兴趣。

教学重点和难点：

重点:

1.掌握角平分线性质定理及其逆定理的应用；2.掌握角平分线尺规作图

难点:

探究角平分线性质定理的逆定理的理解及其应用。

关键:

通过情景问题的设计,引导学生

发现、分析和解决问题.

学情分析

 通过平时的观察、了解，本节课的学习中，学生可能在分清角的平分线的性质的条件和结论，并进行严格的逻辑证明的过程中常常感到困难．例如，在用符号语言表述性质的条件和结论时，不知“距离”应为“条件”还是“结论”．其主要原因是角的平分线的性质是以文字命题的形式给出的，其条件和结论具有一定的隐蔽性．教学时，教师要引导学生分析性质中的条件和结论（必要时可让学生将性质改写成“如果……那么……”的形式），找出结论中的隐含条件（垂直），正确写出已知和求证，并归纳出证明几何命题的一般步骤。

教学策略选择与设计 

角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，也是证明两条线段相等的常用方法。

数学问题中涉及角的平分线时，就相当于已知一对线段（角的平分线上的点到角的两边的垂线段）相等。

让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路。

以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力。

 教学方法：

实践探究法，启发诱导法，引导学生观察分析，自主探索，合作交流等教学方法。

教学过程

教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

独学独做

导入新课

群学新知总结规律

合作探究

形成知识

群学新知

总结规律

三、

巩固训练，形成技能

巩固提高

思维拓展

五、课堂检测，夯实基础

如图1，下图是房梁屋架设计图，已知BD=CD，∠1=∠2，求证：

AB=AC

问题1：

在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？

情景1：

给出一个纸片做的角,不利用工具,能不能找出这个角的角平分线呢?

思考：

如果将纸片换成木板、钢板等无法对折的材料,能不能找出这个角的角平分线呢?

情景2：

如图,是一个木匠用的角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.沿AC画一条射线AE.AE就是∠BAD的角平分线,你能说明它的道理吗?

指导学生尺规作图作角平分线，一边做，一边说出作法：

１.以O为圆心,适当长为半径作弧,交

OE于点N,交OF于点M．

２.分别以M,N为圆心,大于MN一半的长为半径作弧,两弧在∠EOF的内部交于点Ｃ．

３.作射线OC．

追问2：

将∠AOB对折,在折痕上任取一点P,过P点再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）,然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论？

验证猜想，得出结论：

结论:

PO为∠AOB的角平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE.

猜想:

角的平分线上的点到角两边的距离相等.

得出结论：

角平分线上的点到角两边的距离相等。

规范几何语言：

∵PO为∠AOB的角平分线,PD⊥OA,PE⊥OB.

∴PD=PE

例1.尺规作图,做下列角的角平分线.

例2.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且EB=FC，求证：

DB=DC.

合作交流，巩固提高：

1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,且EM=3cm,求点E到OA的距离.

2.已知:

如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,

DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别是E,F.

求证:

EB=FC.

继续探究：

我们已经知道角平分线上的点到角两边的距离相等，那么若一个点到角两边的距离相等，这个点是否在这个角的平分线上呢？

谈谈你的看法.

火眼金睛：

如图，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，那么P点在∠AOB的平分线上吗？

为什么？

应用训练：

问题：

如图3，直线表示三条相交的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处B．两处C．三处D．四处

问题2利

中考链接：

如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于一点O，求证：

点O到三边AB、BC、CA的距离相等.

问题揭秘

如图，CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O，求证∠1=∠2.

（1）当∠BAO=∠CAO时，OB=OC;

（2）当OB=OC时，∠BAO=∠CAO

用尺规我们可以作

课堂小结，提升能力：

1.如何做一个已知角的角平分线?

2.角平分线的性质是什么?

五、课堂检测，夯实基础

1、如图，∠1=∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D．AE，BD交于点C，试说明AC=BC．

2.如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：

AC+CD=AB．

2．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

1、（必做题）

课本123页习题A组2，3

2、选做题：

已知,如图,∠C=∠D=90度,AE是∠BAD的平分线,交CD于点E,且AE⊥BE.

求证:

BE平分∠ABC

根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．

已知：

如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．

求证：

PD=PE．

追问2：

由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？

追问3：

角的平分线的性质的作用是什么？

1．下列结论一定成立的是（       ）

A．OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE．

B.PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE

C．OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D．若PD=3，则点P到OB的距离为3．

2．△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：

EB=FC．

（独立完成，对子互判，交流讨论为新知做准备）学生根据三角形全等的知识口述其中的证明方法，直观感受角的平分线。

引导学生通过操作的方法解决问题。

学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．

引导学生分析并着手解决问题，说明为什么

教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．

师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳利用尺规作角的平分线的具体方法

学生折纸，观察并思考，然后说明结论。

学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质

先独立思考，小组之间交流讨论,找同学说出证明思路。

让学生做好笔记，提醒同学们今后使用规范的几何语言。

明确命题中的已知和求证．已知：

一个点在一个角的平分线上．结论：

这个点到这个角两边的距离相等．

学生动手操作，然后对子互查。

师生共同概括证明几何命题的一般步聚：

1．明确命题中的已知和求证．

2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．

3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．

师生活动：

学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．

学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程

让学生展示劳动成果。

指导学生从轴对称的角度去说明。

先让学生试着找找，看如何利用角平分线的判定定理，然后小组间互相交流。

复习三角形全等知识，引入新课，为后续练习做好铺垫。

情景的创设极大地刺激学生的好奇心和求知欲，唤起他们丰富的联想，并能由此自然而然的引出课题。

从生活实例出发，并通过数学的角度发现和提出问题，不仅起到了学生对角的平分线初步感知的引导作用，而且能够激发学生对其进一步探究和学习的欲望。

这样设计，不仅可以突破本节重点，讨论交流的互动学习方式更能体现学生主体，教师主导的教学理念。

先让学生讨论角平分线的作法，然后引导学生完成作图，一边说作法一边完成作图，进一步巩固角平分线的作法，锻炼同学们的分析能力和作图能力。

在折叠过程中锻炼学生的动手、动脑、及观察、归纳总结的能力；培养学生敢于面对数学活动中的困难，并有克服困难的决心，培养学好数学的自信心，体会成功的快乐。

对本节知识以疑难解答的方式进行深一步探究，通过设计的题目，先是学生独立思考，然后交流，在矛盾与争议中教师和学生对本节的难点很自然的做出了解答，从而突破了本节对角平分线的性质充分认识这一难点。

进一步巩固角平分线的尺规作图，锻炼学生的作图和识图能力，让学生独立操作，然后对子间互相检查，找小组长到多媒体上展示成果，让学生在头脑里形成正确印象。

检验学生对基础知识的掌握情况，先设计比较简单的题目，为后面的题目做热身准备，由易到难

学生通过练习，加深对角的平分线性质的灵活的掌握，教师放手让学生自己来解决，把课堂交还给学生，体现了学生的主体地位，同时也突破了本节课的教学难点。

在火眼金睛环节中，有针对性的提出相关问题，采取先尝试，后引导，再探索辨析的方法，使学生在讨论交流中突破难点，得出角平分线的判定定理。

先让学生讨论方案，然后提出自己的观点，教师再指正，通过本题，增强学生数学来源于生活的的应用意识，提高学生的学习兴趣

鼓励小组每位成员动脑筋，自己想办法，然后小组间互相讲题，然后推举一名同学讲思路，并板演，提高同学们的解题技巧，使学生每节课面向中考，增强中考的紧迫感。

培养学生综合分析能力。

培养学生分析问题解决问题的能力，增强中考的应用意识。

通过小结，让学生对本节课所学的知识与过程进行梳理，以形成一个完整的知识体系，并培养学生的归纳能力和语言表达能力

锻炼学生综合运用知识,独立解决问题的能力。

既能提高学生的兴趣,又能使学生体会数学的实用性。

首先引导学生分析命题的条件和结论．然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．

让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路

通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．

教学评价设计 

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容：

1．本节课学习了哪些主要内容？

2．本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？

3．角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？

在应用这一性质时要注意哪些问题？

帮助和总结

本课学习角分线的性质，是对全等三角形证明几何命题的一次重要补充，学生头脑中关于几何形状的结构要有更加清晰的认识，而这些对学生来说显得更抽象，因此，为了接受这个新的知识，就必须对原有知识进行再构造整理，几个活动的追问就是想达到这个目的．实际课堂教学中也起到了良好的教学效果。

此课的教学设计也想更突出数学与实际生活的紧密联系，如平分角的仪器，可以使学生体会到数学的应用价值，体现数学来源生活服务生活的教学理念。

书本中的图片和例子都是生活生产中常见的事实，学生容易接受，设计上就让学生自己看书、学习，鼓励学生讨论交流，教师作适当引导就有了很好的效果。