北京丰台区高三一模数学试题及答案.docx
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北京丰台区高三一模数学试题及答案
2021北京丰台高三一模数学
2021.03
本试卷满分共150分考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试卷、草稿纸上答题无效。
4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={x|-2(A){x|-2(B){x|0(C){x|1(2)在复平面内,复数z=3-4i,则z对应的点位于
(A)第一象限(B)第二象限
(C)第三象限(D)第四象限
(3)已知双曲线
x2
a2y
=1(a>0)的离心率是
2
,则a=
(A)(B)2
(C)
2
(D)
4
(4)在平面直角坐标系xOy中,角α以Ox为始边,且sinα=2.把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度,
3
这时终边对应的角是β,则sinβ=
(A)-2
3
(B)2
3
(C)-5
3
(D)
5
3
(5)若直线y=kx+1是圆x2+y2-2x=0的一条对称轴,则k的值为
(A)-1
2
(B)-1
(C)1(D)2
(6)
某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥中最长的棱长为
(A)2
(B)
2
(C)
2
(D)4
(7)P为抛物线y2=2px(p>0)上一点,点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6,则p=
(A)2(B)4
(C)4或9(D)2或18
(8)大气压强p=
压力受力面积
,它的单位是“帕斯卡”(Pa,1Pa=1N/m2),大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的
变化规律是p=pe-kh(k=0.000126m-1),p是海平面大气压强.已知在某高山A,A两处测得的大气压强分
0012
别为p,p,p1=1,那么A,A两处的海拔高度的差约为(参考数据:
ln2≈0.693)
1212
2
(A)550m(B)1818m
(C)5500m(D)8732m
(9)已知非零向量a,b,c共面,那么“存在实数λ,使得a=λc成立”是“(ab)c=a(bc)”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
⎧|x+m|,x≤m,
(10)
⎩
已知函数f(x)=⎨x2,x>m,
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则实数m的
取值范围是
(A)(0,2)(B)(-∞,-2)(0,2)
(C)(-2,0)
(D)(-2,0)(2,+∞)
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分。
(11)
函数f(x)=ln(2x)+
的定义域为.
(12)在(x+2)6的展开式中,常数项为
x
.(用数字作答)
(13)在△ABC中,a=
3,b=22,B=2A,则cosA=.
(14)设等比数列{an}满足a1+a2=48,a4+a5=6,则log2(a1a2a3an)的最大值为.
(15)如图,从长、宽、高分别为a,b,c的长方体AEBF-GCHD中截去部分几何体后,所得几何体为三棱锥
A-BCD.下列四个结论中,所有正确结论的序号是.
①三棱锥A-BCD的体积为1abc;
3
②三棱锥A-BCD的每个面都是锐角三角形;
③三棱锥A-BCD中,二面角A-CD-B不会是直二面角;
④三棱锥A-BCD中,三条侧棱与底面所成的角分别记为α,β,γ,则sin2α+sin2β+sin2γ≤2.
三、解答题共6小题,共85分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(16)(本小题13分)
已知函数f(x)=sinωx+3cosωx(ω>0).
π
(Ⅰ)当ω=1时,求f()的值;
6
(Ⅱ)当函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是π
2
时,.
从①②③中任选一个,补充到上面空格处并作答.
π
①求f(x)在区间[0,]上的最小值;
2
②求f(x)的单调递增区间;
③若f(x)≥0,求x的取值范围.
注:
如果选择多个问题分别解答,按第一个解答计分.
(17)(本小题14分)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=π,M是棱PB上的点,O是AD中点,且PO⊥
3
底面ABCD,OP=
3OA.
(Ⅰ)求证:
BC⊥OM;
(Ⅱ)若PM=3PB,求二面角B-OM-C的余弦值.
5
(18)(本小题14分)
某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长(单位:
分钟)如下图所示.
(Ⅰ)从2011年至2020年中任选一年,求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率;
(Ⅱ)从2011年至2020年中任选两年,设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数,求X的分布列和数学期望E(X);
123
(Ⅲ)将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为s2,s2,s2,试比较
123
s2,s2,s2的大小.(只需写出结论)
(19)(本小题15分)
已知椭圆C:
x
a2
y2
+=1(a>b>0)长轴的两个端点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为.
b22
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)P为椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点,连接NA并延长交椭圆C于点Q.
(ⅰ)求证:
直线AP,AN的斜率之积为定值;
(ⅱ)判断M,B,Q三点是否共线,并说明理由.
(20)(本小题15分)
已知函数f(x)=x3-3x2+b(b∈R).
(Ⅰ)当b=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)存在三个零点,分别记为x1,x2,x3(x1(ⅰ)求b的取值范围;
(ⅱ)证明:
x1+x2>0.
(21)(本小题14分)
已知数列A:
a,a,,a(n∈N*),现将数列A的项分成个数相同的两组,第一组为B:
b,b,,b
,满足
n
122n12n
bi≥bi+1(i=1,2,L,n-1);第二组为C:
c1,c2,,cn,满足ci≤ci+1(i=1,2,L,n-1),记M=∑bi-ci.
i=1
(Ⅰ)若数列A:
1,2,4,8,写出数列A的一种分组结果,并求出此时M的值;
(Ⅱ)若数列A:
1,2,3,,2n,证明:
max{bi,ci}≥n+1(i=1,2,L
n);(其中max{bi,ci}表示b,c中较大的数)
ii
(Ⅲ)证明:
M的值与数列A的分组方式无关.
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)
2021北京丰台高三一模数学参考答案
一、选择题(共10小题,每小题4分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
A
B
C
D
C
C
B
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.(0,1]12.16013.6
3
14.1515.①②④
三、解答题(共6小题,共85分)
(16)(本小题13分)
πππ1
解:
(Ⅰ)当ω=1时,f()=sin+cos=+3⨯=2.
(Ⅱ)f(x)=sinωx+
66622
3cosωx=2sin(ωx+π).
3
因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离是π,
2
所以T=π=2π(ω>0),解得ω=2.
|ω|
所以f(x)=2sin(2x+π).
3
选①:
因为0≤x≤π,所以π≤2x+π≤4π.
2333
当2x+π=4π,即x=π时,
332
f(x)π
在区间[0,2]上有最小值为-.
选②:
令2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z,
232
解得kπ-5π≤x≤kπ+π,k∈Z,
1212
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-5π,kπ+π],k∈Z.
1212
选③:
因为f(x)≥0,所以sin(2x+π)≥0.
3
所以2kπ≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z.
3
解得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z.
63
(17)(本小题14分)
(Ⅰ)证明:
在菱形ABCD中,∠BAD=π,∆ABD为等边三角形.
3
因为O为AD的中点,所以OB⊥AD.
因为AD//BC,所以OB⊥BC.
因为PO⊥底面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以OP⊥BC.
因为OPOB=O,OP,OB⊂平面POB,所以BC⊥平面POB.
因为M是棱PB上的点,所以OM⊂平面POB.所以BC⊥OM.
(Ⅱ)解:
因为PO⊥底面ABCD,OB⊥AD,
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,设OA=1,则OP=OB=.
因为O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(-2,3,0),P(0,0,3),
所以OC=(-2,3,0).
由PM=3PB,
5
得OM=OP+
3
PB=(0,,).
555
设m=(x,y,z)是平面OMC的法向量,
⎧
⎪OM⋅m=0
⎧⎪3y+2z=0,
由⎨⋅m=0,得⎨2x-3y=0,
⎪⎩OC⎪⎩
令y=2,则x=3,z=-3,则m=(3,2,-3).
又因为平面POB的法向量为n=(1,0,0),
所以cos==3.
4
由题知,二面角B-OM-C为锐二面角,
所以二面角B-OM-C的余弦值为3.
4
(18)(本小题14分)
解:
(Ⅰ)从2011年至2020年中任选一年,动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年,2015年,
2017年,2018年,2019年和2020年,共6年.
记从2011年至2020年中任选一年,此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A,
则P(A)=6=3.
105
(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2.
C2
P(X=0)=4
10
=2;
15
C1C18
P(X=1)=46=;
2
10
C251
P(X=2)=6==.
C
10
2153
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
2
15
8
15
1
3
数学期望E(X)=0⨯2+1⨯8+2⨯1=6.
151535
123
(Ⅲ)s2>s2=s2.
(19)(本小题15分)
解:
(Ⅰ)由题意a=2,e=c=
a
3,所以c=
2
3,b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为
x2+2
4
=1.
(Ⅱ)(ⅰ)证明:
设P(x0,y0),
x2
因为P在椭圆C上,所以0+y2=1.
40
y0y0
因为直线AP的斜率为x0+2,直线BP的斜率为x0-2,
y=
所以直线BP的方程为
y0x0-2
(x-2)
.
所以N点的坐标为
N(-6,-8y0)
x0-2
-8y0
x0-2=
.
2y0
所以直线AN的斜率为-6+2
所以直线AP,AN的斜率之积为
x0-2.
y2y
2y2
2
x
2(1-0)1
0⋅0=0=4=-
x+2x-2x2-4x2-42
0000.
(ⅱ)M,B,Q三点共线.
设直线AP斜率为k,易得M(-6,-4k).
-
由(ⅰ)可知直线AN斜率为
⎧x2+4y2-4=0,
1
2k,所以直线AN的方程为
y=-
1(x+2)2k.
⎨x=-2ky-2,
(4+4k2)y2+8ky=0
联立⎩可得
-2k
.
2k2-2
-2k
解得Q点的纵坐标为1+k2,所以Q点的坐标为Q(1+k2
1+k2).
所以,直线BQ的斜率为
-2k-0
1+k2
=k,直线BM的斜率为
-4k-0=k.
2k2-22
1+k22
-6-22
因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率,所以M,B,Q三点共线.
(20)(本小题15分)
解:
(Ⅰ)当b=1时,f(x)=x3-3x2+1,得f'(x)=3x2-6x,因为f
(1)=-1,f'
(1)=-3,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-(-1)=-3(x-1),即3x+y-2=0.…4分
(Ⅱ)因为f'(x)=3x2-6x,
所以令f'(x)=0,得x=0,x=2.
f'(x),f(x)随x的变化如下:
x
(-∞,0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f(x)的极大值为f(0)=b,极小值为f
(2)=b-4.
(ⅰ)若函数f(x)存在三个零点,分别记为x1,x2,x3(x1⎧f(0)>0
⎩
则⎨f
(2)<0,所以0
当00,
此时f(-1)⋅f(0)<0,f(0)⋅f
(2)<0,f
(2)⋅f(3)<0,故f(x)存在三个零点,所以若函数f(x)存在三个零点,b的取值范围是0
(ⅱ)证明:
因为x1,x2,x3(x1222
因为f(x)=x3-3x2+b=0,
22222
所以f(-x)=(-x)3-3(-x)2+b=-x3-3x2+b
2222
=-2x3+(x3-3x2+b)=-2x3<0.
因为f(x1)=0,所以f(-x2)又因为x1,-x2∈(-∞,0),且f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,所以-x20.
(21)(本小题14分)
解:
(Ⅰ)可将数列A分成:
B:
8,4;C:
1,2.此时M=8-1+4-2=9.
(Ⅱ)因为bi≥bi+1,ci≤ci+1(i=1,2,L
n-1),
所以max{bi,ci}≥bi≥bi+1≥bi+2≥L
≥bn
(i=1,2,L
n),
max{bi,ci}≥ci≥ci-1≥ci-2≥L
≥c1.
所以max{bi,ci}≥max{bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L
因为bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L,c1共n+1项,
,c1}.
所以max{bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L
所以max{bi,ci}≥n+1.
,c1}≥n+1.
(Ⅲ)不妨将数列A:
a,a,L,a(n∈N*)重新排序得到
122n
数列A':
a',a',L,a'(n∈N*),满足a'≤a
'(i=1,2,L,2n-1).
122nii+1
因为bi≥bi+1,ci≤ci+1(i=1,2,L,n-1),
所以max{bi,ci}≥bi≥bi+1≥bi+2≥L
≥bn
(i=1,2,L
n),
max{bi,ci}≥ci≥ci-1≥ci-2≥L
≥c1.
所以max{bi,ci}≥max{bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L
因为bi,bi+1,bi+2,L,bn,ci,ci-1,ci-2,L,c1共n+1项,
,c1}.
所以max{b,c}恰为a',a',L,a
'(n∈N*)中某一项.
iin+1n+22n
同理min{b,c}恰为a',a',L,a'(n∈N*)中某一项(其中min{b,c}表示b,c中较小的数).
ii12niiii
因为bi-ci
=max{bi,ci}-min{bi,ci},
n
所以M=∑bi-ci
i=1
=(an+1'+an+2'+L+a2n')-(a1'+a2'+L+an').
所以M的值与数列A的分组方式无关.
(若用其他方法解题,请酌情给分)