北京丰台区高三一模数学试题及答案.docx
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北京丰台区高三一模数学试题及答案
2021北京丰台高三一模数学
2021.03
本试卷满分共150分考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4.请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A={x|-2（A）{x|-2（B）{x|0（C）{x|1（2）在复平面内，复数z=3-4i，则z对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限
（C）第三象限（D）第四象限
（3）已知双曲线
x2
a2y
=1（a>0）的离心率是
2
，则a=
（A）（B）2
（C）
2
（D）
4
（4）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，且sinα=2.把角α的终边绕端点O逆时针方向旋转π弧度，
3
这时终边对应的角是β，则sinβ=
（A）-2
3
（B）2
3
（C）-5
3
（D）
5
3
（5）若直线y=kx+1是圆x2+y2-2x=0的一条对称轴，则k的值为
（A）-1
2
（B）-1
（C）1（D）2
（6）
某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥中最长的棱长为
（A）2
（B）
2
（C）
2
（D）4
（7）P为抛物线y2=2px（p>0）上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p=
（A）2（B）4
（C）4或9（D）2或18
（8）大气压强p=
压力受力面积
，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的
变化规律是p=pe-kh（k=0.000126m-1），p是海平面大气压强．已知在某高山A,A两处测得的大气压强分
0012
别为p,p，p1=1，那么A,A两处的海拔高度的差约为（参考数据：
ln2≈0.693）
1212
2
（A）550m（B）1818m
（C）5500m（D）8732m
（9）已知非零向量a,b,c共面，那么“存在实数λ，使得a=λc成立”是“（ab）c=a（bc）”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
⎧|x+m|,x≤m,
（10）
⎩
已知函数f（x）=⎨x2,x>m,
若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则实数m的
取值范围是
（A）（0,2）（B）（-∞,-2）（0,2）
（C）（-2,0）
（D）（-2,0）（2,+∞）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）
函数f（x）=ln（2x）+
的定义域为．
（12）在（x+2）6的展开式中，常数项为
x
．（用数字作答）
（13）在△ABC中，a=
3,b=22,B=2A，则cosA=．
（14）设等比数列{an}满足a1+a2=48,a4+a5=6，则log2（a1a2a3an）的最大值为．
（15）如图，从长、宽、高分别为a,b,c的长方体AEBF-GCHD中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥
A-BCD．下列四个结论中，所有正确结论的序号是．
①三棱锥A-BCD的体积为1abc；
3
②三棱锥A-BCD的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥A-BCD中，二面角A-CD-B不会是直二面角；
④三棱锥A-BCD中，三条侧棱与底面所成的角分别记为α,β,γ，则sin2α+sin2β+sin2γ≤2.
三、解答题共6小题，共85分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数f（x）=sinωx+3cosωx（ω>0）.
π
（Ⅰ）当ω=1时，求f（）的值；
6
（Ⅱ）当函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是π
2
时，.
从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.
π
①求f（x）在区间[0,]上的最小值；
2
②求f（x）的单调递增区间；
③若f（x）≥0，求x的取值范围.
注：
如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.
（17）（本小题14分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=π，M是棱PB上的点，O是AD中点，且PO⊥
3
底面ABCD，OP=
3OA．
（Ⅰ）求证：
BC⊥OM；
（Ⅱ）若PM=3PB，求二面角B-OM-C的余弦值．
5
（18）（本小题14分）
某电影制片厂从2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片的时长（单位：
分钟）如下图所示.
（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，求此年动画影片时长大于纪录影片时长的概率；
（Ⅱ）从2011年至2020年中任选两年，设X为选出的两年中动画影片时长大于纪录影片时长的年数，求X的分布列和数学期望E（X）；
123
（Ⅲ）将2011年至2020年生产的科教影片、动画影片、纪录影片时长的方差分别记为s2,s2,s2，试比较
123
s2,s2,s2的大小.（只需写出结论）
（19）（本小题15分）
已知椭圆C:
x
a2
y2
+=1（a>b>0）长轴的两个端点分别为A（-2,0）,B（2,0），离心率为.
b22
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆C上异于A,B的动点，直线AP,PB分别交直线x=-6于M,N两点，连接NA并延长交椭圆C于点Q.
（ⅰ）求证：
直线AP,AN的斜率之积为定值；
（ⅱ）判断M,B,Q三点是否共线，并说明理由.
（20）（本小题15分）
已知函数f（x）=x3-3x2+b（b∈R）．
（Ⅰ）当b=1时，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）存在三个零点，分别记为x1,x2,x3（x1（ⅰ）求b的取值范围；
（ⅱ）证明：
x1+x2>0．
（21）（本小题14分）
已知数列A:
a,a,,a（n∈N*），现将数列A的项分成个数相同的两组，第一组为B:
b,b,,b
，满足
n
122n12n
bi≥bi+1（i=1,2,L,n-1）；第二组为C:
c1,c2,,cn，满足ci≤ci+1（i=1,2,L,n-1），记M=∑bi-ci．
i=1
（Ⅰ）若数列A:
1,2,4,8，写出数列A的一种分组结果，并求出此时M的值；
（Ⅱ）若数列A:
1,2,3,,2n，证明：
max{bi,ci}≥n+1（i=1,2,L
n）；（其中max{bi,ci}表示b,c中较大的数）
ii
（Ⅲ）证明：
M的值与数列A的分组方式无关.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
2021北京丰台高三一模数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
A
B
C
D
C
C
B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．（0,1]12．16013．6
3
14．1515．①②④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
πππ1
解：
（Ⅰ）当ω=1时，f（）=sin+cos=+3⨯=2.
（Ⅱ）f（x）=sinωx+
66622
3cosωx=2sin（ωx+π）.
3
因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴之间的距离是π，
2
所以T=π=2π（ω>0），解得ω=2.
|ω|
所以f（x）=2sin（2x+π）.
3
选①：
因为0≤x≤π，所以π≤2x+π≤4π.
2333
当2x+π=4π，即x=π时，
332
f（x）π
在区间[0,2]上有最小值为-.
选②：
令2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z，
232
解得kπ-5π≤x≤kπ+π,k∈Z，
1212
所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-5π,kπ+π],k∈Z.
1212
选③：
因为f（x）≥0，所以sin（2x+π）≥0.
3
所以2kπ≤2x+π≤2kπ+π,k∈Z.
3
解得kπ-π≤x≤kπ+π,k∈Z.
63
（17）（本小题14分）
（Ⅰ）证明：
在菱形ABCD中，∠BAD=π，∆ABD为等边三角形．
3
因为O为AD的中点，所以OB⊥AD．
因为AD//BC，所以OB⊥BC．
因为PO⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以OP⊥BC．
因为OPOB=O，OP,OB⊂平面POB，所以BC⊥平面POB．
因为M是棱PB上的点，所以OM⊂平面POB．所以BC⊥OM．
（Ⅱ）解：
因为PO⊥底面ABCD，OB⊥AD，
建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，设OA=1，则OP=OB=．
因为O（0,0,0），A（1,0,0），B（0,3,0），C（-2,3,0），P（0,0,3），
所以OC=（-2,3,0）．
由PM=3PB，
5
得OM=OP+
3
PB=（0,,）.
555
设m=（x,y,z）是平面OMC的法向量，
⎧
⎪OM⋅m=0
⎧⎪3y+2z=0,
由⎨⋅m=0，得⎨2x-3y=0,
⎪⎩OC⎪⎩
令y=2，则x=3,z=-3，则m=（3,2,-3）．
又因为平面POB的法向量为n=（1,0,0），
所以cos==3.
4
由题知，二面角B-OM-C为锐二面角，
所以二面角B-OM-C的余弦值为3．
4
（18）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）从2011年至2020年中任选一年，动画影片时长大于纪录影片时长的年份分别是2011年，2015年，
2017年，2018年，2019年和2020年，共6年.
记从2011年至2020年中任选一年，此年动画影片时长大于纪录影片时长为事件A，
则P（A）=6=3.
105
（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2.
C2
P（X=0）=4
10
=2；
15
C1C18
P（X=1）=46=；
2
10
C251
P（X=2）=6==.
C
10
2153
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
2
15
8
15
1
3
数学期望E（X）=0⨯2+1⨯8+2⨯1=6.
151535
123
（Ⅲ）s2>s2=s2.
（19）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）由题意a=2,e=c=
a
3，所以c=
2
3,b2=a2-c2=1.
所以椭圆C的方程为
x2+2
4
=1.
（Ⅱ）（ⅰ）证明：
设P（x0,y0），
x2
因为P在椭圆C上，所以0+y2=1.
40
y0y0
因为直线AP的斜率为x0+2，直线BP的斜率为x0-2，
y=
所以直线BP的方程为
y0x0-2
（x-2）
.
所以N点的坐标为
N（-6,-8y0）
x0-2
-8y0
x0-2=
.
2y0
所以直线AN的斜率为-6+2
所以直线AP,AN的斜率之积为
x0-2.
y2y
2y2
2
x
2（1-0）1
0⋅0=0=4=-
x+2x-2x2-4x2-42
0000.
（ⅱ）M,B,Q三点共线.
设直线AP斜率为k，易得M（-6,-4k）.
-
由（ⅰ）可知直线AN斜率为
⎧x2+4y2-4=0,
1
2k，所以直线AN的方程为
y=-
1（x+2）2k.
⎨x=-2ky-2,
（4+4k2）y2+8ky=0
联立⎩可得
-2k
.
2k2-2
-2k
解得Q点的纵坐标为1+k2，所以Q点的坐标为Q（1+k2
1+k2）.
所以，直线BQ的斜率为
-2k-0
1+k2
=k，直线BM的斜率为
-4k-0=k.
2k2-22
1+k22
-6-22
因为直线BQ的斜率等于直线BM的斜率，所以M,B,Q三点共线.
（20）（本小题15分）
解：
（Ⅰ）当b=1时，f（x）=x3-3x2+1，得f'（x）=3x2-6x，因为f
（1）=-1，f'
（1）=-3，
所以曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为y-（-1）=-3（x-1），即3x+y-2=0．…4分
（Ⅱ）因为f'（x）=3x2-6x，
所以令f'（x）=0，得x=0，x=2．
f'（x），f（x）随x的变化如下：
x
（-∞,0）
0
（0,2）
2
（2,+∞）
f'（x）
+
0
-
0
+
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f（x）的极大值为f（0）=b，极小值为f
（2）=b-4．
（ⅰ）若函数f（x）存在三个零点，分别记为x1,x2,x3（x1⎧f（0）>0
⎩
则⎨f
（2）<0，所以0当00，
此时f（-1）⋅f（0）<0，f（0）⋅f
（2）<0，f
（2）⋅f（3）<0，故f（x）存在三个零点，所以若函数f（x）存在三个零点，b的取值范围是0（ⅱ）证明：
因为x1,x2,x3（x1222
因为f（x）=x3-3x2+b=0，
22222
所以f（-x）=（-x）3-3（-x）2+b=-x3-3x2+b
2222
=-2x3+（x3-3x2+b）=-2x3<0.
因为f（x1）=0，所以f（-x2）又因为x1,-x2∈（-∞,0），且f（x）在区间（-∞,0）上单调递增，所以-x20．
（21）（本小题14分）
解：
（Ⅰ）可将数列A分成：
B:
8,4；C:
1,2.此时M=8-1+4-2=9．
（Ⅱ）因为bi≥bi+1，ci≤ci+1（i=1,2,L
n-1），
所以max{bi,ci}≥bi≥bi+1≥bi+2≥L
≥bn
（i=1,2,L
n），
max{bi,ci}≥ci≥ci-1≥ci-2≥L
≥c1．
所以max{bi,ci}≥max{bi，bi+1，bi+2，L，bn,ci，ci-1，ci-2，L
因为bi，bi+1，bi+2，L，bn，ci，ci-1，ci-2，L，c1共n+1项，
，c1}.
所以max{bi，bi+1，bi+2，L，bn,ci，ci-1，ci-2，L
所以max{bi,ci}≥n+1．
，c1}≥n+1.
（Ⅲ）不妨将数列A:
a,a,L,a（n∈N*）重新排序得到
122n
数列A':
a',a',L,a'（n∈N*），满足a'≤a
'（i=1,2,L,2n-1）.
122nii+1
因为bi≥bi+1，ci≤ci+1（i=1,2,L,n-1），
所以max{bi,ci}≥bi≥bi+1≥bi+2≥L
≥bn
（i=1,2,L
n），
max{bi,ci}≥ci≥ci-1≥ci-2≥L
≥c1．
所以max{bi,ci}≥max{bi，bi+1，bi+2，L，bn,ci，ci-1，ci-2，L
因为bi，bi+1，bi+2，L，bn，ci，ci-1，ci-2，L，c1共n+1项，
，c1}.
所以max{b,c}恰为a',a',L,a
'（n∈N*）中某一项．
iin+1n+22n
同理min{b,c}恰为a',a',L,a'（n∈N*）中某一项（其中min{b,c}表示b,c中较小的数）.
ii12niiii
因为bi-ci
=max{bi,ci}-min{bi,ci},
n
所以M=∑bi-ci
i=1
=（an+1'+an+2'+L+a2n'）-（a1'+a2'+L+an'）.
所以M的值与数列A的分组方式无关.
（若用其他方法解题，请酌情给分）
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