全国各地中考数学真题分类汇编专题19 几何探究型问题1练习版+答案解析版.docx

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全国各地中考数学真题分类汇编专题19几何探究型问题1练习版+答案解析版

2019年全国各地中考数学真题分类汇编——专题19几何探究型问题1（练习版+答案解析版）

1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

2．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．

（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．

①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．

3．（2019•陕西）问题提出：

（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使

∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？

若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

4．（2019•海南）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．

（1）求证：

△PDE≌△QCE；

（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，

①求证：

四边形AFEP是平行四边形；

②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．

5．（2019•江西）在图1，2，3中，已知ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=__________°；

（2）如图2，连接AF．

①填空：

∠FAD__________∠EAB（填“>”“<”“=”）；

②求证：

点F在∠ABC的平分线上．

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．

6．（2019•宁夏）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

7．（2019•安徽）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．

（1）求证：

△PAB∽△PBC；

（2）求证：

PA=2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3．

8．（2019•重庆A卷）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．

（1）若DP=2AP=4，CP，CD=5，求△ACD的面积．

（2）若AE=BN，AN=CE，求证：

ADCM+2CE．

2019年全国各地中考数学真题分类汇编——专题19几何探究型问题1（答案解析版）

1．（2019•北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

【解析】

（1）如图2，以DE为直径的半圆弧，就是△ABC的最长的中内弧，连接DE，

∵∠A=90°，AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，

∴BC4，DEBC4=2，

∴弧2π=π．

（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t时，C（2，0），∴D（0，1），E（1，1），F（，1），

设P（，m）由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE上方射线FP上均可，∴m≥1，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠ACO=45°，

∵DE∥OC，

∴∠AED=∠ACO=45°，

作EG⊥AC交直线FP于G，FG=EF，

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求，

∴m，

综上所述，m或m≥1．

②如图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM，

∴P（t，），

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠AOB=90°，

∴AE，

∵PD=PE，

∴∠AED=∠PDE，

∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，

∴∠DAE=∠ADP，

∴AP=PD=PEAE，

由三角形中内弧定义知，PD≤PM，

∴AE，AE≤3，即3，解得：

t，

∵t>0，

∴0

【名师点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．

2．（2019•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2．

（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；

（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′=t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．

①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；

②当S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．

【解析】（Ⅰ）∵点A（6，0），

∴OA=6，

∵OD=2，

∴AD=OA-OD=6-2=4，

∵四边形CODE是矩形，

∴DE∥OC，

∴∠AED=∠ABO=30°，

在Rt△AED中，AE=2AD=8，ED4，

∵OD=2，

∴点E的坐标为（2，4）．

（Ⅱ）①由平移的性质得：

O′D′=2，E′D′=4，ME′=OO′=t，D′E′∥O′C′∥OB，

∴∠E′FM=∠ABO=30°，

∴在Rt△MFE′中，MF=2ME′=2t，FE′t，

∴S△MFE′ME′·FE′tt，

∵S矩形C′O′D′E′=O′D′·E′D′=2×48，

∴S=S矩形C′O′D′E′-S△MFE′=8，

∴St2+8，其中t的取值范围是：

0

②当S时，如图③所示：

O'A=OA-OO'=6-t，

∵∠AO'F=90°，∠AFO'=∠ABO=30°，

∴O'FO'A（6-t），

∴S（6-t）（6-t），

解得：

t=6，或t=6（舍去），

∴t=6；当S=5时，如图④所示：

O'A=6-t，D'A=6-t-2=4-t，

∴O'G（6-t），D'F（4-t），

∴S[（6-t）（4-t）]×2=5，

解得：

t，

∴当S≤5时，t的取值范围为t≤6．

【名师点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．

3．（2019•陕西）问题提出：

（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使

∠BPC=90°，求满足条件的点P到点A的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？

若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

【解析】

（1）如图记为点D所在的位置．

（2）如图，

∵AB=4，BC=10，∴取BC的中点O，则OB>AB．

∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，

连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC=90°，点P不能再矩形外，

∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，

作P1E⊥BC，垂足为E，则OE=3，

∴AP1=BE=OB-OE=5-3=2，

由对称性得AP2=8．

（3）可以，如图所示，连接BD，

∵A为BCDE的对称中心，BA=50，∠CBE=120°，

∴BD=100，∠BED=60°，

作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧上，取的中点E′，连接E′B，E′D，

则E′B=E′D，且∠BE′D=60°，∴△BE′D为正三角形．

连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A=AC′，连接BC′，DC′，

∵E′A⊥BD，

∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′=120°，

作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA-E′O+OA=E′A，

∴S△BDE·BD·EF·BD·E′A=S△E′BD，

∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′=2S△E′BD=1002·sin60°=5000（m2），

所以符合要求的BCDE的最大面积为5000m2．

【名师点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题