选修22生活中的优化问题举例.docx

选修22生活中的优化问题举例.docx

《选修22生活中的优化问题举例.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《选修22生活中的优化问题举例.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

选修22生活中的优化问题举例

1.4生活中的优化问题举例

预习案一新知导学

1.问题导航

⑴生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？

（2）解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？

（3）求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？

2.例题导读

通过P34〜35例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容:

（1）研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；

（2）求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解；

（3）解决优化问题的过程是典型的数学建模过程；

（4）掌握利用导数解决优化问题的一般步骤.

1.优化问题

生活中经常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题，通常称为优化问题，导数

是求函数最大（小）值的有力工具.

2.利用导数解决优化问题的基本思路

建立数学模型

>

解决数学模型

作答

>

3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

（1）分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）,注明定义域;

（2）求函数的导数f'刈，解方程f'x）=0;

（3）比较函数在区间端点和使f'x）=0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值;

（4）写出答案.

1•下列不属于优化问题的是（）

A•汽油的使用效率何时最高

B.磁盘的最大存储量问题

C.求某长方体容器的容积

D.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

答案：

C

2.有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为

A.32m2B.14m2

C.16m2D.18m2

解析：

选C.设矩形的长为xm,则宽为（8-x）m，矩形面积为S=x（8—x）（x>0），令S'=8—2x=0,得x=4，此时Smax=42=16（m2）.

3.内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为（）

a.233r

C.^R

解析：

选A.

作轴截面如图所示，设圆柱高为2h,则底面半径为R2-h2,圆柱体体积为V=n（R2

—h2）2h=2TtR2h-2冗h3•令V=2%R2-6冗h2=0,「・h=中只即当2h=2J^R时，圆柱体的体

积最大.

1OOOv2

4.一艘船从A地到B地，其燃料费w与船速v的关系为w（v）=（18WvW30）,

v—8

则燃料费最低时的船速v=.

2000v（v—8）—1000v21000v（v—16）

解析：

w'v（=2=2一>0,所以w（v）在［18,30］上

（v—8）2（v—8）2

单调递增，所以当v=18时，w（v）有最小值.

答案：

18

1.解决优化问题的常用方法

解决优化问题的方法很多，如：

判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数的性质及导数法等.不少优化问题，可以化为求函数的最值问题.一般来说，导数方法是解决这类问题的有效工具.

2.解决生活中的优化问题应当注意的问题

几何中的最值问题

卩越

（1）圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S,要使它的容积最大，它的高h与底面半

径R的比应为.

„S—2冗R2

［解析］因为S=2冗Rh+2冗R2，所以h=

2冗R

S—2TtR2

所以V（R）=ttR2,

2冗R

=2（S-2ttR2）R=1SR-nR3.

1

由V'R）=2S-3%R2=0,得S=6冗R2,

所以当S=6冗R2时，容积最大，

此时6冗R2=2冗Rh+2冗R2

即h:

R=2:

1.

［答案］2:

1

⑵请你设计一个包装盒.如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于

图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E，F两点在AB上，是被切去的一个

等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x（cm）.

1某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？

2某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值？

并求出此时包装盒的高与底

a=2x，h=60-22x=.；2

面边长的比值.

［解］设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm）.由已知得,（30—x），0

①S=4ah=8x（30—x）=—8（x—15）2+1800，

所以当x=15时，S取得最大值.

②V=a2h=2也（一x3+30X2），V'=6>/2x（20—x）.由V'=0，得x=0（舍去）或x=20.

当x€（0，20）时，V'>0;当x€（20，30）时，V'<0.

所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值.

h1一1

此时匚=亍，即包装盒的高与底面边长的比值为

a22

r-（.方怙用：

r

解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.

1

1.

（1）如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y=—^x2+2,x€［—

1

的坐标为（0,2），直线BC的方程为y=2•因为y=—空/+2,所以y'=—x,所以y'x斗t=—t,

12

所以直线AB的方程为y——2t2+2=—t（x—t）,

1

即y=—tx+尹+2,令y=0,

得x=于，所以A

t2+4

2t，

11

令y=2,得x=1，所以B^t，2,

11t2+444

所以S=2X尹+-x2x2=2t+4,S'=2—12,

令S=0，得t='2故当t=..'2时，S有最小值为4,：

2.

所以梯形ABCD的面积的最小值为4J2.

（2）从长为32cm,宽为20cm的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖

的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？

最大容积是多少？

解：

设剪去的正方形的边长为xcm，则箱子的容积V（x）=x（32—2x）（20—2x）=4x3—104*

+640x,（0

V'（x）=12x2—208x+640

=4（3x2—52x+160）

=4（3x—40）（x—4）.

40

令V'x）=0，得X1=§（舍去）,x2=4.

当00,

当4

因此V（x）在（0,10）内有唯一的极大值V（4），且该极大值即为函数

V（x）的最大值，其最

大值V（4）=4X（32—8）X（20—8）=1152（cm3）.

故当剪去的正方形边长为4cm时，箱子的容积最大，最大容积为

1152cm3.

用料、费用最省问题

A处，乙厂与甲厂在

忖巴如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边

海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a

［解］法一：

设C点距D点xkm（0

又设总的水管费用为y元，

依题意，得y=3a（50—x）+5ax2+402（0

=-3a+

5ax

x2+402

，令y'=0，解得x=30.

当x€（0,30）时，y'<0;当x€（30,50）时，y'>0.

•••当x=30时函数取得最小值，

此时AC=50-x=20（km）.

即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.

40

法二：

设/BCD=0,贝UBC=」^,

sin0

设总的水管费用为f（0元,

4040

依题意有f（0）=3a（50—）+5a•

tan0sin0

5—3cos0=150a+40a•

sin0

3sin0sin0—（5—3cos0）cos0

0）=40a-—

sin20

3—5cos0

=40a•sin20

3令f'0=0，得cos0=5.

3

根据问题的实际意义，当cos0=3时，函数取得最小值，

44

此时sin0=.•••tan0=.

53

40

.•AC=50—=20（km）.

tan0

即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省.

r［盘哇用佛］

法二取/BCD=0

（1）选取合适的量作为自变量（如法一取C、D之间的距离x为自变量，为自变量），并确定其取值范围.

⑵正确列出函数关系式；

（3）利用导数求最值；

⑷回归到原实际问题.

其中，正确列出函数关系式是解题的关键.

2.

左右边各空bcm，

（1）（教材例1变式题）一报刊图文应占Scm2,上、下边各空acm，若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？

解：

设图文所占区域的长为X，则宽为S，报刊的面积为y，如图所示

x

小Sc2bS

则y=（x+2b）x+2a=2ax++S+4ab（x>0）,

xx

求导得y=2a-2bS.

x

学或x—罟（舍去）•

冒,+^,y'>0,

•••当x=.乎时，y取得最小值.

即报刊长为bS+2b，宽为

2a时，报刊用纸最省.

（2）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x（x>10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+

48x（单位：

元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：

平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=

购地总费用、建筑总面积）

解：

设楼房每平方米的平均综合费用为f（x）元，则f（x）=（560+48x）+160爲00000

厶UUUA.

10800*

=560+48x+（x>10,x€N）,

x

10800f'（x）=48-旷,

令f'x）=0，得x=15或x=-15（舍去）,

当x>15时，f'（x）>0;

当10Wx<15时，f'（x）<0,

因此当x=15时，f（x）取最小值f（15）=2000.

15层.

故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为

22

f（x）=（x—3）+10（x—6）

X3

=2+10（x—3）（x—6）2（3

从而f'x）=10[（x—6）2+2（x—3）（x—6）]

=30（x—4）（x—6）.

于是，当x变化时，f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

（3,4）

4

（4,6）

f'x）

+

0

一

f（x）

单调递增

极大值42

单调递减

由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3,6）内的极大值点，也是最大值点•所以，当x

=4时，函数f（x）取得最大值，最大值为42.

故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.

尸[分徒用（*[r

（1）经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易

建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.

（2）关于利润问题常用的两个等量关系

1利润=收入—成本.

2利润=每件产品的利润X销售件数.

区眼踪训拣

3•某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万

3x+1

件）与年广告费x（万元）之间的函数关系为Q=（x>0）,已知生产此产品的年固定投入为

x+1

3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的

150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.

（1）试将年利润y（万元）表示为年广告费x（万元）的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？

（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

解:

（1）由题意，每年销售Q万件，共计成本为（32Q+3）万元，销售收入是（32Q+3）150%

+x50%,

113x+1

所以年利润y=（年收入）—（年成本）—（年广告费）=（32Q+3—x）=32X+3—x

22x+1

—x+98x+35

（x>0），

当x=100时，y<0,即当年广告费投入100万元时，企业亏损.

—x+98x+35⑵由y=f（x）=（x>0），可得

:

（x+1）

（-2x+98）•（x+1）—2（-x2+98x+35）

令f'x）=0，则x2+2x—63=0.

所以x=—9（舍去）或x=7.

又x€（0,7）时，f'（x）>0;x€（7,+^）时，f'（x）<0,所以f（x）极大值=f（7）=42.

又因为在（0,+g）上只有一个极值点，

所以f（X）max=f（x）极大值=f（7）=42.

故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大.

事靈粼提）开丿*

易错警示

因忽视讨论f'x0）=0中X0的范围而致误

侧④1甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时,

已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成：

可变部分与速度v（千米/时）的

平方成正比，比例系数为b（b>0）；固定部分为a元.

（1）把全部运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Ss

［解］

（1）依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为V，全程运输成本为y=a；+

2Sa

bv2v=S（v+bv）,

c].

所求函数及其定义域为y=Sa+bv，v€（0，

⑵令y'=S—》+b=0，得v=:

b，y最小;

②若，a>c，则v€（0，c］时y（<,0即y在（0，所以当v=c时，y最小.

综上可知，为使全程运输成本y最小，

a三c时，行驶速度v=,b；

当b>c时，行驶速度v=c.

［错因与防范］

（1）一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解

错误；另一方面由于忽视了对v=

b是否在区间（0,c］内的讨论，致使答案错误.

⑵在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，

并且注意自变量的取值范围.根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内，易因忽视定义

域而出错.

4•某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交

a元（3

x）2万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：

（1）分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式为：

L=（x—3—a）（12

—x）2,x€[9,11]•

（2）由

（1）知L=（x—3—a）（12—x）2,x€[9,11],

贝UL=（12—x）2—2（x—3—a）（12—x）

=（12—x）（18+2a—3x）•

2

令L'=0解得x=6+或x=12（舍去）•

228

'•3waw5,.°.8w6+3aw—.

2

在x=6+两侧L的值由正变负，

29

•①当8w6+尹<9，即3wa<-时，

Lmax=L（9）=（9—3—a）（12—9）2=9（6—a）•

2289

②当9W6+|aw詈，即2waw5时，

2222Lmax=L（6+尹）=（6+3a—3—a）[12—（6+?

a）]2

13

=4（3—§a）3,

9

（6—a）,3wa<2

139

（3—3a）3,2waw5

9

即若3wav》，则当每件销售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6

92

—a）（万元）；若|waw5，则当每件销售价为（6+|a）元时，分公司一年的利润L最大，最大

1

值Q（a）=4（3—3*）3（万元）•

一当）电……―

1.某产品的销售收入y1（万元）是产品x（千台）的函数，y1=17x2;生产总成本y2（万元）

也是产品x（千台）的函数，y2=2x3—x2（x>0），为使利润最大，应生产（）

A•9千台B•8千台

C.6千台D•3千台

解析：

选C.构造利润函数y=y1—y2=18/—2x3（x>0），求导得y'=36x—6x2=0?

x=6（x

=0舍去）•

2.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27n且用料最省，则圆柱的底面半径为

（）

A•5

C.3

解析：

选C.设圆柱的底面半径为

则V=nR2l=27n,/l=RL

要使用料最省，只需使水桶的表面积最小,

2254n

而S表=冗氏+2冗Rl=nR+

解得R=3，即当R=3时，S表最小.故选C.

54n

令Sbl=2冗R—眉=0,

3.如图，内接于抛物线

x轴上运动，则此矩形的面积

x2

•矩形ABCD的面积S=f（x）=x•I—2

3

x厂

=—4+x,x€（0,2）.由f'x）=—孑/+1=0,

22得x1=—3（舍去），x2=.3,

一2.

.3

•••当x€0,

2

73时，f'（x）>0,f（x）是递增的,

2时，f'（x）<0,f（x）是递减的,,f（x）取得最大值誓.

答案：

骨

训练案仙能提升

[A.基础达标]

1.将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为（）

A.2和6B.4和4

C.3和5D.以上都不对

解析：

选B.设一个数为x,则另一个数为8—x,贝Uy=x3+（8—x）3,0

—3（8—x）2,令y'=0,即3/—3（8—x）2=0，解得x=4•当0Wx<4时，y'<0;当40.•••当x=4时，y最小.

3

2.设函数ht（x）=3tx—2t2，若有且仅有一个正实数x°,使得h7（x。

）》ht（x°）对任意的正数

t都成立，则X0=（）

A.5B.5

C.3D.7

解析：

选D.■•h7（x0）>ht（x0）对任意的正数t都成立，

31

••hi7（x0）>ht（X0）max.记g（t）=ht（X0）=3tX0—2『，则g't（=3X0—3t2，令g'tx=0,得t=x0,易得ht（X0）max=g（X0）=x0,「・21x0—14.7>X3，将选项代入检验可知选D.

3.要建造一个容积为8m3，深为2m的无盖长方体蓄水池，已知池壁的造价为100元

/m,池底的造价为300元/m2,则总造价最低为（）

A.400元B.1200元

C.1600元D.2800元

解析：

选D.设总造价为y元，池底的一边长为xm.由题意知池底的面积为4m2,则池

4444

底的另一边长为；；m,池壁的面积为4x+-m2,有y=1200+100X4x+-=400x+-+1

x

4

200（x>0）.y=4001—x2，令y'=0,得x=2，由y'>0得x>2，由y'<0得0

4•如图，已知正方形ABCD的边长为1,点P从顶点A沿着AtB的方向向顶点B运动，速度为2，同时，点Q从顶点B沿着BtC的方向向顶点C运动，速度为1,则|PQ|的最小值为（）

D

12（0Wtw2，令f（t）=|PQ|2=（1—2t）2+12=5t2—4t+1，则f't（=10t—4,令f't（=0，得t=-.

解析：

设总利润为L（x）万元，则由题意得L（x）=x500—1200—75x3=—7|x3+50oG—

22250

1200（x>0）.由L'（x）=—新+破=0,得x=25.令L'x）>0,得025,

得L（x）在区间（0,25）上单调递增，在区间（25,+a）上单调递减，所以当x=25时，总利润最高.

答案：

25

7.某工厂要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，其中一边可以利用原有的墙壁，其

他三边需要砌新的墙壁.当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为.

解析：

要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料场地宽为xm,则长为512m,

x

512512

因此新墙总长为L=2x+-x^（x>0），贝UL=2—5x2■，令L=0,得x=±16,

又x>0,「.x=16,

512

则当x=16时，Lmin=64,长为16=32（m）.

答案：

32m,16m

&已知正三角形ABC的边长为2,点D是边BC上一动点，点D到AB,AC的距离分别为x,y,则xy的最大值为.

（1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；

（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？

并求此时运输成本的最小值.解：

（1）Q=P400=盘v4-